函数的性质单元测试题-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的性质周测 一、单选题 1．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知定义在上的偶函数满足，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．已知是偶函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 4．已知函数的图象关于直线对称，且在(－∞，]上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的偶函数满足，且在上有，则（    ） A． B． C． D． 6．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数(其中欧拉常数)，则（    ） A．是奇函数，且在R上是减函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是增函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 二、多选题 9．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 10．若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②在定义域上单调递减，则称函数对“理想函数”，下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域均为R，且，则（    ） A．函数的图像关于点对称 B．函数的图像关于点对称 C．函数的图像关于直线对称 D．函数的图像关于直线对称 三、填空题 12．已知是定义在上的周期为的奇函数，且，则的值为 13．已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且在上单调递增，若点都是函数图象上的点，且，则实数的取值范围是 . 14．若定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，且，则满足的x的取值范围为 ． 四、解答题 15．已知函数，且. (1)求实数的值并判断该函数的奇偶性； (2)判断函数在（1，+∞）上的单调性并证明. 16．已知函数 (1)若，求的值； (2)若，判断在区间上的单调性，并用定义证明. 17．证明函数在区间上单调递增. 18．已知函数过点 (1)求的解析式; (2)证明函数在上单调递增. 19．已知函数. (1)当时，利用函数单调性定义证明在上单调递增； (2)当时，求函数在的值域； (3)若对任意，恒成立，试求实数a的取值范围. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B C B D A BD AD 题号 11 答案 AC 1．A 【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围. 【详解】函数的对称轴为，由于在上是减函数， 所以. 故选:A 2．C 【分析】根据的奇偶性、以及找到规律，从而求得. 【详解】依题意，是偶函数，， 令，得， 由于，所以， 令，得， 令，得， 以此类推，可知. 故选：C 3．D 【分析】方法一：由偶函数的性质，即可求得的值；方法二：由偶函数图像关于轴对称，求出二次函数对称轴，列出方程求解即可． 【详解】方法一：因为， 所以， 由，得， 解得； 方法二：， 因为是偶函数， 所以图像关于直线对称， 所以，解得， 故选：D． 4．B 【分析】由的图象关于对称，将问题转化为比较，，的大小. 【详解】的图象关于对称，所以， 又因为在上单调递增，所以在上单调递减， 所以. 故选：B. 5．C 【分析】由偶函数满足，可得周期为2，然后对化简求值即可 【详解】解：因为定义在上的偶函数满足， 所以，所以的周期为2， 因为在上有， 所以， 故选：C 6．B 【分析】由偶函数性质得函数在上的单调性，然后由单调性的定义解不等式． 【详解】解：因为偶函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小， 因为，所以，解得：. 故选：B． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查用单调性解不等式，属于基础题． 7．D 【分析】设，则可得为奇函数，从而将可化为，再由为上的增函数，可得，从而可求出解集 【详解】解：设， 则 ， 所以为奇函数， 因为均为上的增函数， 所以为上的增函数， 由，得， 所以， 所以，解得， 所以原不等式的解集为， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性和单调性的应用，解题的关键是构造函数，判断其为奇函数，从而将可化为，再由为上的增函数，可得，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题 8．A 【分析】根据奇偶函数的定义判断奇偶性，再由指数函数单调性判断函数单调性即可. 【详解】根据题意，函数， 则， 则函数为奇函数， 又由和是减函数，可知函数在R上为减函数， 故选: A. 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判定，函数的单调性，属于中档题. 9．BD 【分析】根据函数奇偶性与单调性对选项逐一分析判断. 【详解】A，函数是非奇非偶函数，故排除A；B，函数是上的奇函数也是减函数，故B正确；C，函数在定义域上是奇函数，但在和上是减函数，在定义域上不具有单调性，故排除C；D，函数是上的奇函数也是减函数，故D正确. 故选：BD 10．AD 【分析】根据题所给“理想函数”的定义，可知该函数是奇函数且为单调递减，然后对A、B、C、D四个选项的函数进行分析，同时满足奇函数和单调递减的函数为正确选项. 【详解】根据得为奇函致，且在定义域内单调递减. A：是奇函数且单调递减，故A正确. B：是幂函数且为偶函数，故B错误. C：，在区间(-∞，0)和(0，+∞)递减，但不是单调递减函数，故C错误. D：由的图象可知D选项正确. 故选：AD. 11．AC 【分析】构造函数，结合抽象函数的对称性推导出结论. 【详解】因为， 设，则， 所以的图象关于点对称，即正确； 设，则， 所以的图象关于点对称，即错误； 设，由可知，， 又，所以， 所以，所以的图象关于直线对称，即正确； 设，由可知，， 又，所以， 所以推不出，所以的图象不一定关于直线对称，即D错误； 故选：AC. 12． 【分析】由已知结合函数的周期性和奇函数的定义把进行转化，结合已知即可求解 【详解】解：因为是定义在上的周期为的奇函数，且， 所以，即， 解得， 所以， 故答案为： 13． 【分析】根据函数的图像关于对称，且在上单调递增，得到在上单调递减，根据，得到比离对称轴更远，从而得到关于的不等式，解得的值，得到答案. 【详解】因为定义在上的函数的图像关于直线对称， 且在上单调递增， 所以在上单调递减， 因为都是函数图象上的点，且 所以得到比离对称轴更远， 即 所以， 解得 故答案为：. 【点睛】本题考查根据函数的对称性研究单调性，函数对称性的应用，根据函数的性质解不等式，属于中档题. 14． 【分析】运用奇偶性与单调性的性质可得的草图，看图解不等式与，再解或即可. 【详解】因为对任意的，，有， 所以在上单调递减， 又因为在R上为偶函数，所以在上单调递增， 又因为，所以， 则的草图如图所示，    所以或或， ， 又因为， 所以或，即 或， 解得或， 所以x的取值范围为. 故答案为：. 15．(1)，函数为奇函数 (2)在上是增函数，证明见解析 【分析】（1）根据，代入函数解析即可求解； （2）利用函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）∵，且， ∴； 所以，定义域为关于原点对称， ∵， ∴函数为奇函数. （2）函数在上是增函数， 证明：任取，设，则 ∵，且， ∴， ∴，即， ∴在上是增函数. 16．(1)； (2)在区间上递增，证明见解析. 【分析】（1）由，将自变量代入求值即可； （2）设，应用作差法比较证明单调性. 【详解】（1）由题设，则，故； （2）在区间上递增，证明如下： 令，则， 又，则，且， 所以，即在区间上递增. 17．见解析. 【解析】利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论，这样的步骤完成即可. 【详解】证明：，且， 则. ，. 又，. ，即. ∴函数在区间上单递增. 【点睛】本题考查函数单调性的证明，属于基础题. 18．(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）直接代入左边得参数值，进而得解. （2）直接由单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由题意，解得，所以的解析式为. （2）由题意不妨设设， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以函数在上单调递增. 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据单调性的定义，设其定义域内，利用作差法，可得答案； （2）根据单调性的性质，建立不等式，结合值域的定义，可得答案； （3）解法一：根据定义域，化简不等式，构造函数，利用二次函数的单调性，可得答案； 解法二：根据定义域，化简不等式，利用参变分离，构造函数，利用二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）由，则，设，， ， 由，则，，，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）可知在上单调递增， 当时，则，，， 所以函数在上的值域为. （3）解法一：依题意在上恒成立， 即在上恒成立， 记，，由在上单调递增， 当时，取得最小值为， 所以当，即时，恒成立. 于是实数的取值范围为. 解法二：依题意在上恒成立， 即在上恒成立，则在上恒成立. 令，，由于在上单调递减， 所以当时，取得最大值为， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$