2025年九年级中考数学一轮复习课件：第23讲尺规作图、定义、命题、定理

第23讲　尺规作图、定义、命题、定理 中考课标要求 明确要求，精准备考 (1)尺规作图 ①能用尺规作图：作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；过直线外一点作这条直线的平行线(新增)；*过圆外一点作圆的切线(新增). ②能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形. ③能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形. (2)定义、命题、定理 ①通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. ②结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. ③知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式. ④了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的. ⑤通过实例体会反证法的含义. 核心知识梳理 串联体系，厘清脉络 1.能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是( ) A.x＝－1 B.x＝＋1 C.x＝3 D.x＝ 命题与反例 C 巩固基础·提升能力 基础知识逐点练 2.(2023·无锡)下列命题： ①各边相等的多边形是正多边形； ②正多边形是中心对称图形； ③正六边形的外接圆半径与边长相等； ④正n边形共有n条对称轴. 其中真命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 C 3.(2022·潍坊)利用反例可以判断一个命题是错误的，下列命题正确的是( ) A.若ab＝0，则a＝0 B.对角线相等的四边形是矩形 C.函数y＝的图象是中心对称图形 D.六边形的外角和大于五边形的外角和 4.(2022·无锡)请写出命题“如果a＞b，那么b－a＜0”的逆命题： 　 　.  　如果b－a＜0，那么a＞b　 C 尺规作图 考查角度1：基本尺规作图 5.如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b交于点N，M.在线段MN上求作一点A，使点A到a，b的距离相等. 答案：提示：作线段MN的垂直平分线交MN于点A.图略. 6.如图，用直尺和圆规在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F.若PE＝3，则PF的长为( ) A.1.5 B.3 C.4 D.5 B 7.(2024·海南二模)如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为( ) A.60° B.70° C.75° D.85° A 8.如图，在△ABC中，∠B＝90°，D 为 AC 的中点，按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径画弧，交 AC 于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，两弧在△ABC 的外部交于点 G；③作直线 DG 交 BC 于点 H.若 BH＝1，HC＝8，则＝  　.  考查角度2：作三角形 9.(2023·滨州)(1)已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n.(请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(请借助所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明) 答案：解：(1)如图，Rt△ABC即为所求. (2)已知：Rt△ABC，∠ACB＝90°，CE是AB边上的中线.求证：CE＝AB.证明：延长CE到点D，使得DE＝CE.连接BD，AD.∵CE是AB边上的中线，∴BE＝AE，∴四边形ACBD是平行四边形.∵∠BCA＝90°，∴四边形ACBD是矩形，∴AB＝CD，∴CE＝CD＝AB. 考查角度3：尺规作图的文字过程 10.(2023·凉山州)如图，在等腰△ABC 中，∠A＝40°，分别以点A、点B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点 M 和点 N，连接 MN，直线 MN 与 AC 交于点 D，连接 BD，则∠DBC 的度数是( ) A.20° B.30° C.40° D.50° B 11.(2023·荆州)如图，∠AOB＝60°，点C在OB上，OC＝2，P为∠AOB内一点.根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为　 　.  1　 考查角度4：利用尺规作图确定点的位置 12.(2022·青岛)已知：Rt△ABC，∠B＝90°. 求作：点P，使点P在△ABC内部，且PB＝PC，∠PBC＝45°. 答案：提示：作线段BC的垂直平分线与∠ABC的平分线，交点即为点P.图略. 13.已知：四边形ABCD.求作：点P，使点P在四边形ABCD的内部，PA＝PB，并且点P到∠BCD两边的距离相等. 答案：提示：作线段AB的垂直平分线MN与∠BCD的平分线CQ，MN与CQ的交点P即为所求.图略. 考查角度5：与圆有关的尺规作图 14.(2022·绥化)已知：△ABC. (1)尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O.(只保留作图痕迹，不写作法和证明) (2)如果△ABC的周长为14 cm，内切圆的半径为1.3 cm，求△ABC的面积. 答案：(1)提示：∠B与∠C的平分线的交点即为圆心O.图略. (2)△ABC的面积为9.1 cm2. 15.(2023·无锡)如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点. (1)尺规作图：请在图中作☉O，使得☉O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N. (2)在(1)的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，求所作的☉O的与PM，PN所围成图形的面积. 答案：解：(1)如图，☉O即为所求. (2)3－π 16.(2023·绥化)如图，已知点P是☉O外一点. (1)尺规作图：过点P作出☉O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明) (2)在(1)的条件下，若点D在☉O上(点D不与E，F两点重合)，且∠EPF＝30°，求∠EDF的度数. 答案：解：(1)如图，PE，PF即为所求. (2)连接OE，OF，如图.∵PE，PF为☉O的两条切线，∴OE⊥PE，OF⊥PF，∴∠OEP＝∠OFP＝90°，∴∠EOF＝180°－∠EPF＝180°－30°＝150°.当点D在优弧EF上时，∠EDF＝∠EOF＝75°；当点D'在劣弧EF上时，∠ED'F＝180°－∠EDF＝180°－75°＝105°.综上所述，∠EDF的度数为75°或105°. 考查角度1：考点整合 17.如图，在▱ABCD中，分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论错误的是( )   A.AE＝CF B.DE＝BF C.OE＝OF D.DE＝DC 学科整合与数学文化 D 18.(2023·济宁)如图，BD是矩形ABCD的对角线. (1)作线段BD的垂直平分线.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明) (2)设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF. ①判断四边形BEDF的形状，并说明理由. ②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长. 答案：解：(1)如图，直线MN就是线段BD的垂直平分线. (2)①四边形BEDF是菱形.理由：由作图可知EF垂直平分BD.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO.∵∠EOD＝∠FOB，OD＝OB，∴△EOD≌△FOB(ASA)，∴ED＝FB，∴四边形BEDF是平行四边形.∵BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形. ②∵四边形ABCD是矩形，BC＝10，∴∠A＝90°，AD＝BC＝10.由①可设BE＝ED＝x，则AE＝10－x.∵AB＝5，∴AB2＋AE2＝BE2，即25＋(10－x)2＝x2，解得x＝6.25，∴四边形BEDF的周长为6.25×4＝25. 考查角度2：跨学科整合 19.如图，某地有两所大学和两条相交叉的公路(点M，N表示大学，AO，BO表示公路).现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.你能确定仓库P应该建在什么位置吗?(尺规作图，不写作法，但必须保留作图痕迹) 答案：解：如图所示，点P，P'即为所求. A.35° B.30° C.25° D.20° 考查角度3：数学文化 20.(2023·兰州)我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法.如《淮南子·天文训》中记载：“正朝夕，先树一表东方，操一表却去前表十步，以参望日始出北廉.日直入，又树一表于东方，因西方之表以参望日，方入北廉则定东方.两表之中，与西方之表，则东西之正也.”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行.①以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；②分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA＝OB；③连接AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b.按以上作图顺序，若∠MNO＝35°，则∠AOC＝( ) A $$