2025年九年级中考数学一轮复习课件：第17讲解直角三角形

第17讲　解直角三角形 中考课标要求 明确要求，精准备考 ①利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值. ②会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角. ③能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题. 核心知识梳理 串联体系，厘清脉络 解直角三角形 解直角三角形 巩固基础·提升能力 基础知识逐点练 锐角三角函数与解直角三角形 考查角度1：锐角三角函数 1.(2024·云南)如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝( )   A. B. C. D. C 2.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是  　.  3.(2023·威海)如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米.用计算器求AB的长，下列按键顺序正确的是( )   A.7×sin28＝ B.7÷sin28＝ C.7×tan28＝ D.7÷tan28＝ B 考查角度2：特殊角的三角函数值 4.计算. (1)cos30°＋tan60°＝  　.  (2)sin30°·tan30°＋cos60°·tan60°＝  　.  5.计算：(－)－1＋tan60°－|2－|＋(π－3)0－＝　 　.  6.在锐角△ABC中，若＋(cosB－)2＝0，则∠C的度数是　 　.  75°　 －3　 第7题图 考查角度3：解直角三角形 7.(2022·陕西)如图，AD是△ABC的高，若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为( ) A.3 B.3 C.3 D.6 D 8.如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是(1，0)，(0，)，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是　 　.  (4，) 考查角度1：仰角、俯角问题 9.(2024·德阳)某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° (AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上)， 则建筑物CD的高为( )米. 解直角三角形的实际应用 B A.20 B.15 C.12 D.10＋5   10.(2024·赤峰)综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB的高度.如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且AC＝10米，无人机从C处竖直上升到达D处，在D处测得古树顶部B的俯角为45°，古树底部A的俯角为65°，则古树AB的高度约为 　 　米.(结果精确到0.1米，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145)  11.5　 考查角度2：方向角问题 11.(2024·重庆)如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港.(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45) (1)求A，C两港之间的距离.(结果保留一位小数) (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B，D两港的时间相同)，哪艘货轮先到达C港?请通过计算说明. 答案：解：(1)如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E，则∠BAE＝45°，∠EBC＝60°，∠ECB＝30°.因为AB＝40，所以AE＝BE＝20，所以BC＝40，EC＝20，所以AC＝AE＋EC＝20()≈77.2，即A，C两港之间的距离约为77.2海里. (2)因为∠GAD＝60°，∠CDF＝30°，且DF∥AG，所以∠ADF＝60°，则∠ADC＝90°.因为AC＝20()，所以CD＝10()，AD＝CD＝10＋30.因为甲货轮航行的路程为AB＋BC＝40＋40≈96.4(海里)，乙货轮航行的路程为AD＋CD＝20＋40≈105.4(海里)，所以甲货轮先到达C港. 12.(2023·临沂)如图，灯塔A周围9海里内有暗礁.一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上.如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险?(参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.600) 答案：解：如图，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，设AD＝x海里.由题意，得∠ABD＝32°，∠ACD＝45°，BC＝6海里.在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，∴AD＝CD＝x海里.在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，∴BD＝＝6＋x，解得x＝10.∵10＞9，∴如果渔船不改变航线继续向西航行，没有触礁危险. 考查角度3：坡度(坡角)问题 13.(2024·山西)一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为( ) A.155° B.125° C.115° D.65° C 14.(2023·湖北)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4(坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比).已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，则斜坡AB的长约为　 　米.(结果精确到0.1米，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)  10.3　 考查角度4：梯子问题 15.如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯 子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了( ) A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米 C 16.如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点.已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3米，则点B到地面的垂直距离BC为　 　米.  3 考查角度5：在生活情境中解直角三角形 17.(2023·枣庄)如图是一种汲水工具示意图，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，已知杠杆AB＝6米，AO∶OB＝2∶1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为　 　米.(结果保留根号)  (3＋) 18.(2023·达州)某湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱.如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度约为多少米.(结果精确到0.1m，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50≈1.2) 答案：解：如图，过点B作BT⊥ON于点T，过点A作AK⊥ON于点K.在Rt△OBT中，OT＝OB·cos26°≈3×0.9＝2.7(m).∵∠BMN＝∠MNT＝∠BTN＝90°，∴四边形BMNT是矩形，∴TN＝BM＝0.9m，∴ON＝OT＋TN＝3.6m.在Rt△AOK中，OK＝OA·cos50°≈3×0.64＝1.92(m)，∴KN＝ON－OK＝3.6－1.92≈1.7(m)，∴座板距地面的最大高度约为1.7m. 考查角度1：考点整合 19.如图，在△ABC中，点O是角平分线AD，BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是( )   A. B.2 C. D. 学科整合与数学文化 A 20.(2022·荆州)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC∶BC＝1∶2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若P(1，1)，则tan∠OAP的值是( )   A. B. C. D.3 C 考查角度2：跨学科整合 21.(2023·深圳)如图，爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m耗能(1.025－cosα)J，若某人爬了1000 m，该坡角为30°，则他耗能约为( )(参考数据：≈1.732，≈1.414) A.58 J B.159 J C.1 025 J D.1 732 J B 22.(2024·安徽)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处.已知BE与水平线的夹角α＝36.9°，点B到水面的距离BC＝1.20 m，点A处水深为1.20 m，到池壁的水平距离AD＝2.50 m.点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内.记入射角为β，折射角为γ，求 的值.(精确到0.1，参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75) 答案：解：如图，过点E作EH⊥AD于点H，因为∠CEB＝α＝36.9°，EH＝1.20m，所以CE＝＝1.60(m)，AH＝AD－CE＝2.50－1.60＝0.90(m)，所以AE＝＝1.50(m)，所以sinγ＝＝0.60.因为sinβ＝sin∠CBE＝＝cos∠CEB＝cosα≈0.80，所以 ≈1.3. 考查角度3：数学文化 23.(2023·杭州)如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE，△ABF，△BCG，△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE.设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n，tanα＝tan2β，则n＝( )   A.5 B.4 C.3 D.2 C 24.(2024·江西)图①是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来源于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”.如图②，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上.经测量ME＝FN＝20.0m，EF＝40.0m，BE＝2.4m，∠ABE＝152°.(结果精确到0.1m) (1)求“大碗”的口径AD的长. 答案：解：(1)因为AM⊥MN，DN⊥MN，所以四边形AMND是矩形，所以AD＝MN＝ME＋EF＋FN＝20.0＋40.0＋20.0＝80.0(m)，即“大碗”的口径AD的长为80.0 m. (2)求“大碗”的高度AM的长.(参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88) 答案：(2)如图，延长 CB 交 AM 于点 G，由题意，得 BE＝GM＝2.4 m，BG＝ME＝20.0 m，BG⊥AM，∠EBG＝90°.因为 ∠ABE＝152°，所以 ∠ABG＝∠ABE－∠EBG＝62°.在Rt△ABG 中，AG＝BG·tan62°≈20.0×1.88＝37.6(m)，所以AM＝AG＋MG＝37.6＋2.4＝40.0(m)，即“大碗”的高度 AM 的长约为40.0 m. $$