2025年九年级中考数学一轮复习课件：第16讲图形的相似

第16讲　图形的相似 中考课标要求 明确要求，精准备考 ①了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割. ②通过具体实例认识图形的相似.了解相似多边形和相似比. ③掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. ④了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似.*了解相似三角形判定定理的证明. ⑤了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方. ⑥了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小. ⑦会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. ⑧在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的. 核心知识梳理 串联体系，厘清脉络 成比例 中线 相似比的平方 夹角 相等 相等 成比例 锐角 对应成比例 底角 相似比 1.已知，则的值为( ) A. B. C. D. 比例的性质 C 巩固基础·提升能力 基础知识逐点练 2.(2024·云南)如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD.若，则 ＝ 　.  3.(2024·河南)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若AB＝4，则EF的长为( )   A. B.1 C. D.2 平行线分线段成比例 B 4.(2023·内江)如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点.若AC＝12，则DH的长为( ) A.1 B. C.2 D.3 C 5.如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上.已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是( ) A. B. C. D. C 6.(2024·滨州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是　 　.  (写出一种情况即可) 相似三角形的性质与判定 ∠ADE＝∠C(答案不唯一)　 考查角度1：相似三角形的判定 7.(2024·连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为( )     A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁 D 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝30°.求证：△ABD∽△DCE. 答案：证明：∵AB＝AC，且∠BAC＝120°，∴∠ABD＝∠ACB＝30°. ∵∠ADE＝30°，∴∠ABD＝∠ADE＝30°. ∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠DAB， ∴∠EDC＝∠DAB，∴△ABD∽△DCE.   考查角度2：相似三角形的性质、相似比、面积比 9.(2024·内江)已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是( ) A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9 B 10.(2024·临夏州)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'＝AD，则平移前后两三角形重叠 部分的面积是  　.  考查角度3：位似图形及其性质 11.(2024·绥化)如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(3，2)，C(0，2)，以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是( ) A.(9，4) B.(4，9) C.(1，) D.(1，) D 12.(2024·浙江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O.若点A(－3，1)的对应点为A'(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B'的坐标为( ) A.(－4，8) B.(8，－4) C.(－8，4) D.(4，－8) A 13.(2023·绥化)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与 △AB'C' 的相似比为1∶2， 点 A 是位似中心，已知点 A(2，0)，点 C(a，b)，∠C＝90°，则点 C' 的坐标为 　 　.(结果用含a，b的式子表示)  (6－2a，－2b)　   考查角度4：黄金分割 14.(2024·山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“ ”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP＝2cm，则BC的长为　 　cm.(结果保留根号)  (－1) 15.(2024·德阳)宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩形(AB＜BC)，点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 D 考查角度5：相似三角形性质与判定的综合应用 16.(2023·上海)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD. (1)求证：AF＝DE. (2)若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF·CE. 答案：证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ACF＝∠DAE.∵∠FAC＝∠EDA，AC＝DA， ∴△ACF≌△DAE(ASA)，∴AF＝DE. (2)∵△ACF≌△DAE，∴∠AFC＝∠DEA，∴∠AFB＝∠DEC.∵∠ABC＝∠CDE，∴△ABF∽△CDE，∴，∴AF·DE＝BF·CE.∵AF＝DE，∴AF2＝BF·CE. 考查角度1：考点整合 17.(2022·扬州)如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F.下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD.其中正确的是( )   A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 学科整合与数学文化 D 18.(2022·遂宁)如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，求△DEF面积的最大值. 答案：解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，则AN⊥DE，设AN＝a.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴， ∴，∴DE＝a，∴S△DEF＝DE·MN＝a·(6－a)＝ －a2＋4a＝＋6，∴当a＝3时，S△DEF有最大值，最大值为6. 考查角度2：跨学科整合 19.(2022·河北)如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E. (1)AB与CD是否垂直?　 　.(填“是”或“否”)  (2)AE＝  　.  是 20.(2023·南充)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆DE的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为( ) A.6.4m B.8m C.9.6m D.12.5m B 考查角度3：数学文化 21.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分割点”.如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割点”，则△ADE的面积为　 　.  10－4 22.(2023·潍坊)在《数书九章》(宋·秦九韶)中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB，CD，EF在同一平面内，点A，C，E在一条水平直线上.已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度.根据以上信息，塔的高度为　 　米.  18.2　 $$