2025年九年级中考数学一轮复习课件：第19讲矩形、菱形、正方形

第19讲　矩形、菱形、正方形 中考课标要求 明确要求，精准备考 ①理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形(新增)的概念，以及它们之间的关系. ②探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直.探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系. 核心知识梳理 串联体系，厘清脉络 矩 形 、 菱 形 、 正 方 形 矩 形 、 菱 形 、 正 方 形 矩 形 、 菱 形 、 正 方 形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：　 考查角度1：矩形的性质 1.(2024·甘肃)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°， AB＝2，则AC的长为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 矩形的性质与判定 C 巩固基础·提升能力 基础知识逐点练 2.(2023·兰州)如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心、BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，则AG＝( ) A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 C 3.(2022·江西)沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形(如图甲)，再用这副七巧板拼成一个长方形(如图乙)，则长方形的对角线长为  　.  4.(2024·德阳)如图，四边形ABCD是矩形，△ADG是正三角形，点F是GD的中点，点P是矩形ABCD内一点，且△PBC是以BC为底的等腰三角形，则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是　 　.  2　 考查角度2：矩形的判定 5.(2023·北京)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF. (1)求证：四边形AECF是矩形. (2)若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝，求BC的长. 答案：(1)证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD＝BC，AD∥BC. ∵ BE＝DF，∴ AD－DF＝BC－BE，即 AF＝EC，∴四边形 AECF 是平行四边形. ∵ AC＝EF， ∴平行四边形AECF是矩形. (2)BC＝3   6.(2023·内江)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F. (1)求证：AF＝BD. (2)连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形. 答案：证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.又∵E为AD的中点，∴AE＝DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC.又∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD. (2)∵AF＝BD，AF∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形ADBF是矩形. 考查角度3：矩形性质与判定的综合应用 7.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则EO＋EF的值为( )   A. B. C. D. C 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点A作AE∥BC，且AE＝BC，连接DE. (1)求证：四边形ABDE是平行四边形. (2)作FG⊥AB于点G，AG＝4，cos∠GAF＝，求FG和FD的长. 答案：(1)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC.∵AE＝BC，∴AE＝BD.又∵AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形. (2)解：∵FG⊥AB，∴∠AGF＝90°.∵AG＝4，cos∠GAF＝，∴AF＝5，∴FG＝＝3.如图，连接CE，由(1)知AE＝CD.∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形.又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形，∴CF＝AF＝5，FD＝FE，AC＝DE，∴FD＝AF＝5. 考查角度1：菱形的性质 9.(2023·乐山)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝( ) A.2 B. C.3 D.4 菱形的性质与判定 B 10.(2024·广安)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的点，BE＝BF，求证：∠DEF＝∠DFE. 答案：证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C.因为BE＝BF，所以 AB－BE＝BC－BF，所以 AE＝CF.在△DAE和△DCF 中，，所以△DAE≌△DCF(SAS)，所以DE＝DF，所以∠DEF＝∠DFE. 考查角度2：菱形的判定 11.(2024·广西)如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为　 　cm.  8 12.(2022·聊城)如图，在△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F. (1)求证：AD＝CF. (2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形?证明你的结论. (2)解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形.证明如下：由(1)知AD＝CF.∵AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形.∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形.∵点D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴四边形ADCF是菱形. 答案：证明：∵CF∥AB，∴∠ADE＝∠CFE，∠DAE＝∠FCE.∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE(AAS)，∴AD＝CF. 考查角度3：菱形性质与判定的综合应用 13.(2024·临夏州)如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3，4)，则顶点A的坐标为( )   A.(－4，2) B.(－，4) C.(－2，4) D.(－4，) C 14.(2022·辽宁)如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F.若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是 　 　.  16　 考查角度1：正方形的性质 15.(2022·青岛)如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形.若AB＝2，则OE的长度为( ) A. B. C.2 D.2 正方形的性质与判定 B 16.(2023·枣庄)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点.若△CEF的周长为32，则OF的长为  　.  考查角度2：正方形的判定 17.(2022·包头)如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC.若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系是( )   A.2OC＝EF B.OC＝2EF C.2OC＝EF D.OC＝EF A 18.(2023·十堰)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP. (1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由. (2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形? 答案：解：(1)四边形BPCO为平行四边形.理由：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD.∵分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，∴OB＝CP，BP＝OC，∴四边形BPCO为平行四边形. (2)当AC⊥BD且AC＝BD时，四边形BPCO为正方形.理由：∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°.∵AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，∴OB＝OC.∵四边形BPCO为平行四边形，∴四边形BPCO为正方形. 考查角度3：正方形性质与判定的综合应用 19.(2024·重庆)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M.若BE＝DF＝1，则DM的长度为( )   A.2 B. C. D. D 学科整合与数学文化 考查角度1：考点整合 20.(2024·河北)在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是( )   A.点A B.点B C.点C D.点D B 考查角度2：跨学科整合 21.如图是抽象出的台球桌面示意图，已知长方形桌面ABCD中，AD∥BC，一个球在桌面上的点E处滚向桌边AD，碰到AD后在点F处反弹，再碰到BC后在点G处再次反弹进入点D处的底袋.在球碰到桌边反弹的过程中，击出线与桌边的夹角∠1等于反弹线与桌边的夹角∠2，同理∠3＝∠4.若∠1＝48°，则∠DGF的度数是( )   A.48° B.84° C.96° D.98° B 考查角度3：数学文化 22.翻花绳是一种儿童游戏，如图①是翻花绳的一种图案，可以抽象成图②，在矩形ABCD中，IJ∥KL，EF∥GH，∠1＝∠2＝30°，∠3的度数为( )   A.30° B.45° C.50° D.60° D 23.(2023·内江)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF＋EG＝  　.  $$