广东省深圳市福田区2024-2025学年九年级上学期质量检测考试数学试题

2024-2025年深圳市福田区质量检测考初三数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名 、班级 、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共 8 小题，满分 24分，每小题 3 分） 1．（3 分）《清朝野史大观 · 清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粤之潮州府功夫茶为最. ℽ 如图1是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是( ) A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三视图都相同 2．（3 分）在一个不透明的布袋中装有 50个黄 、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸 球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 0.3 左右，则布袋中白球可能有( ) A．40个 B．35个 C．20个 D． 15个 3．（3 分）对于反比例函数 ，下列说法不正确的是( A．图象经过点(1,-1) B．图象在第二 、四象限 C． x>0 时， y 随 的增大而增大 D． x<0时， y 随 的增大而减小 4．（3 分）等腰三角形两边长是方程x2-7x+12-0 的两个根，那么这个三角形的周长( ) A． 10 B． 11 C． 12 D． 10 或 11 5．（3 分）如图，在 AABC 中， CD 、BE 分别为AB 、AC 边上的中线， BE 与 CD 相交于点F ，则下列结论 一定不正确的是( ) A. B. C． D. 6．（3 分）在同一平面直角坐标系中，函数与 为常数，且 的图象大致是 A. B. C. D. 7．（3 分）已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积 V（ml）满足 关系 通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少 20%时，测得气体对气缸壁所 产生的压强增加 15kPa．设加压前汽缸内气体的体积为 x（ml），则可列方程为 ( ) 8．（3 分）如图，点 D，E，F 分别在△ABC 的边上，DE∥ BC，EF∥ AB，点 M 是 DF的中点， 连接 CM并延长交AB 于点N，的值是 ( ) A． B． C． D. 第 Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共 5 小题，满分 15分，每小题 3 分） 9．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P(2,2)处，木杆AB 两端的坐标分别为(0,1) ， (3,1) ．则 木杆AB 在 X 轴上的影长CD 为 . 10．（3 分）化学实验操作考试前，小明从“配置质量分数为4% 的 Nacl溶液”、“ CO2的实验室制取与性质”、 “水的电解”中随机抽取一个进行操作，他抽到“水的电解”的概率为 . 11．（3 分）已知关于x 的一元二次方程(k-1)x2++2=0有解，求 k 的取值范围 . 12．（3 分）如图，在 RtΔABC 中，°C=90e ，AC=2 ，BC=6 ，点 P 是 AB 边上的一点（异于A 、B 两点）， 过点P 分别作AC ， BC 边的垂线，分别为M ， ，连接MN ，则 MN 的最小值是 . 13．（3 分）如图，点 E 为正方形ABCD 的边CD 的中点，连接AE ，BE ，BE 交对角线AC 于点F ，连接FD 交 AE 于点G ，如果DF=4 ，那么AB 的长为 . 三．解答题（共 7 小题，满分 61分） 14．（6 分）用适当的方法解下列方程： （1） x2+5x-1-0 ； （2） 7x(5x+2)=6(5x+2) ； 15．（8 分）在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升. （1）某汽车企业 2020年到 2022 年这两年新能源汽车的销售总量增长了96% ．求该汽车企业这两年新能源 汽车销售总量的平均年增长率； （2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为 15万元辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该 款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出 8 辆；售价每降低 0.5万元，平均每周多售出 1 辆．若该店计 划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价. 16．（8 分）如图，在 ΔABC 中，BC=3 ，D 为 AC 延长线上一点，AC=3CD ，∠CBD=∠A ，过D作 DH//AB ，交 BC 的延长线于点H （1）求证：ΔHCD∽ AHDB . （2）求 DH 长度. 17．（8 分）在 4⽉ 23 ⽇ “世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部 分学生调查了他们的平均每周的课外阅读时间 t（单位：小时）．把调查结果分为四档A 档：t＜8；B 档：8 ≤t＜9；C 档：9≤t＜10；D 档：t≥10．根据调查情况，并绘制成两幅统计图（不完整）．根据以上信息解答问 题： （1）本次调查的学生共有 人；扇形统计图中， C 档对应的圆心角度数为 ；请将条形统计图补充 完整； （2）学校要从D档的 4 名学生中随机抽取 2名作读书经验分享，已知这 4 名学生中 1 名来自七年级，1 名 来自八年级，2 名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的 2 名学生来自不同年级的概率. 18．（10 分）根据以下素材，探索完成任务. 项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳能，某 厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池 板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研 究. 素材一 将电池板的侧面摆放情况抽象成如图所示的数 学示意图，其中第一排电池板AD 位置固定，第 二排 HG 位置待确定，每块电池板与坡面夹角固 定不变，DE，GM所在的直线垂直于水平线AC， 坡面 AB＝4m，∠ BAC＝16。，AD＝HG＝100cm， AE＝91cm，∠ DAC＝31。. 参考数据： 2 ≈ 1.41， 3 ≈ 1.73， 6 ≈ 2.45 素材二 上午太阳光线与水平线的夹角α范围为 14。<α≤ 29。，EF 为阴影长，为了使得太阳能电池板有充 足的阳光照射，点 H 要落在阴影外面 . 问题解决 任务一 计算角度 当α等于 14。时，∠ AFD = . 任务二 探究影长 求 DE 在斜坡上的阴影EF 的取值范围（精确到 0. 1cm）. 任务三 方案选择 （选择其中的一种方案进行研究） 方案一：若在该斜坡上安装3 排 100cm 的电池板， 每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况 下，电池板下面两个端点之间的最大间距为多少 （精确到 1cm）. 方案二：若在该斜坡上安装 2 排电池板，电池板 与坡面夹角保持不变，那么原来 100cm 长的电池 板最大可以定制多长（精确到 0. 1cm）. 19．（9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y=− 与反比例函数的图象交于 A，B 两点（点A 在点B 左侧），已知A 点的横坐标是﹣4； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线 l1：y=− 向上平移后的直线 l2 与反比例函数在第二象限内交于点 C，如果△ABC 的面积为 30，求平移后的直线 l2 的函数表达式. 20．（12 分）如图①, 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 概念理解：如图②, 在四边形ABCD 中，如果 AB＝AD，CB＝CD，那么四边形ABCD 是垂美四边形吗？ 请说明理由. 性质探究：垂美四边形ABCD 两组对边AB，CD 与 BC，AD 之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并 给出证明. 问题解决：如图③, 分别以 Rt△ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE， 连接 CE，BG，GE，已知AC＝2，AB＝5，则 GE = . 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2024-2025学年福田区质量检测考初三数学 参考答案与试题解析 一．选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分） 1．（3 分）《清朝野史大观 ⋅清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粤之 潮州府功夫茶为最．”如图 1 是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确 的是 ( ) A．主视图与左视图相同 B ．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D ．三视图都相同 【答案】 A 【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案． 【解答】解：这个茶杯的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选： A． 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键． 2．（3分）在一个不透明的布袋中装有 50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同， 小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 0.3 左右，则布袋中白球可能有 ( ) A．40个 B ．35个 C ．20个 D ．15个 【答案】 B 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以 从比例关系入手，设出未知数列出方程求解． 【解答】解：设袋中有黄球 x个，由题意得 0.3 50 x  ， 解得 15x  ，则白球可能有50 15 35  （个 )． 故选： B． 【点评】本题利用了大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式 列方程求解得到黄球的个数． 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 2 3．（3分）对于反比例函数 1y x   ，下列说法不正确的是 ( ) A．图象经过点 (1, 1) B．图象在第二、四象限 C． 0x  时， y随 x的增大而增大 D． 0x  时， y随 x的增大而减小 【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解： A、 1 1 1    ，点 (1, 1) 在它的图象上，故本选项正确； B、 1 0k    ，它的图象在第二、四象限，故本选项正确； C、 1 0k    ，当 0x  时， y随 x的增大而增大，故本选项正确； D、 1 0k    ，当 0x  时， y随 x的增大而增大，故本选项错误． 故选： D． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数 ( 0)ky k x   ，（1） 0k  ，反比例 函数图象在一、三象限，在每一个象限内， y随 x的增大而减小；（2） 0k  ，反比例函 数图象在第二、四象限内，在每一个象限内， y随 x的增大而增大． 4．（3分）等腰三角形两边长是方程 2 7 12 0x x   的两个根，那么这个三角形的周长 ( ) A．10 B．11 C．12 D．10或 11 【分析】利用因式分解法求出方程的解得到 x的值为 3或 4，分两种情况考虑：当 3为腰， 4为底边时，求出周长；当 3为底，4为腰时，求出周长即可． 【解答】解：方程 2 7 12 0x x   ， 分解因式得： ( 3)( 4) 0x x   ， 可得 3 0x   或 4 0x   ， 解得： 1 3x  ， 2 4x  ， 当 3为等腰三角形的腰时，4为底边，此时三角形三边分别为 3，3，4，周长为 3 3 4 10   ； 当 4为等腰三角形的腰时，3为底边，此时三角形三边分别为 3，4，4，周长为 3 4 4 11   ， 综上，这个三角形的周长为 10或 11． 故选： D． 【点评】此题考查了解一元二次方程 因式分解法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的 性质，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为 0，左边的多项式分解因式，然后利用 两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0转化为两个一元一次方程来求解． 5．（3分）如图，在 ABC 中，CD、BE 分别为 AB、AC边上的中线，BE 与CD相交于点 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 3 F ，则下列结论一定不正确的是 ( ) A． 1 2 DE BC  B． AD EF AB BF  C． 1 3 ADE ABC C C    D． 1 4 DFE BFC S S    【答案】C 【分析】先证明DE是 ABC 的中位线，得到 1/ / , 2 DE BC DE BC ，证明 ADE ABC ∽ ， DEF CBF ∽ ，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解： CD 、 BE分别为 AB、 AC边上的中线， DE 是 ABC 的中位线，  1/ / , 2 DE BC DE BC ADE ABC ∽ ， DEF CBF ∽ ，  1 1, 2 2 AD DE EF DE AB BC BF BC     ，  AD EF AB BF  ， 1 2 ADE ABC C C    ， 2 1( ) 4 DFE BFC S DE S BC     ， 四个选项中只有C选项不成立， 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定等等，证明 DE 是 ABC 的中位线是解题的关键． 6．（3 分）在同一平面直角坐标系中，函数 y x k  与 (ky k x  为常数，且 0)k  的图象大 致是 ( ) A． B． 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 4 C． D． 【答案】 A 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断哪个选项中图象是正确的， 本题得以解决． 【解答】解：函数 y x k  与 (ky k x  为常数，且 0)k  当 0k  时， y x k  经过第一、三、四象限， ky x  经过第一、三象限，故选项 A符合题 意，选项 B不符合题意， 当 0k  时， y x k  经过第一、二、三象限， ky x  经过第二、四象限，故选项C 、 D不 符合题意， 故选： A． 【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用 一次函数和反比例函数的性质解答． 7．（3 分）已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强 ( )p kPa 与汽缸内气体的体积 ( )V ml 满足关系： 6000p V  ．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少 20%时， 测得气体对气缸壁所产生的压强增加15kPa．设加压前汽缸内气体的体积为 ( )x ml ，则可列 方程为 ( ) A． 6000 6000 15 0.8x x   B． 6000 6000 15 0.8x x   C． 6000 6000 15 1.2x x   D． 6000 6000 15 1.2x x   【答案】 A 【分析】设加压前汽缸内气体的体积为 x ml，则对汽缸顶部的活塞加压后气体的体积为 0.8x ml，根据已知关系式和“气体对气缸壁所产生的压强增加15kPa”列出方程，此题得 解． 【解答】解：根据题意，得 6000 6000 15 0.8x x   ． 故选： A． 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 5 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的 等量关系是解决问题的关键． 8．（3分）如图，点 D，E，F分别在△ABC的边上， ，DE∥BC，EF∥AB，点 M是 DF的中点，连接 CM并延长交 AB于点 N， 的值是（ ） A． B． C． D． 【分析】过点 F作 FG∥CN交 AB于点 G，证明 MN是△DGF的中位线，得 GF＝2MN， 由 GF∥CN，EF∥AB，得四边形 GFHN是平行四边形，证明 MH＝MN，设 MH＝MN＝a， 则 GF＝2a，然后证明 CN＝4GF＝8a，所以 CH＝CN﹣NH＝8a﹣2a＝6a，得 CM＝CH+MH ＝6a+a＝7a，进而可以解决问题． 【解答】解：过点 F作 FG∥CN交 AB于点 G， ∵点 M是 DF的中点， ∴N是 DG的中点， ∴MN是△DGF的中位线， ∴GF＝2MN， ∵GF∥CN，EF∥AB， ∴四边形 GFHN是平行四边形， ∴NH＝GF＝2MN， ∴MH＝MN， 设 MH＝MN＝a，则 GF＝2a， ∵DE∥BC， △ADE∽△ABC， ∴ ＝ ＝ ， ∴BC＝4DE， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 6 ∵EF∥AB，DE∥BC， ∴四边形 DEFB是平行四边形， ∴DE＝BF， ∵FG∥CN， ∴△BFG∽△BCN， ∴ ＝ ， ∵ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴CN＝4GF＝8a， ∴CH＝CN﹣NH＝8a﹣2a＝6a， ∴CM＝CH+MH＝6a+a＝7a， ∴ ＝ ＝ ， 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的 判定与性质，由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键． 二．填空题（共 5小题，满分 15分，每小题 3分） 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于 (2,2)P 处，木杆 AB两端的坐标分别为 (0,1)， (3,1)．则木杆 AB在 x轴上的影长CD为 6 ． 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 7 【分析】利用中心投影，作 PE x 轴于 E，交 AB于M ，如图，证明 PAB CPD ∽ ，然后 利用相似比可求出CD的长． 【解答】解：过 P作 PE x 轴于 E，交 AB于M ，如图， (2,2)P ， (0,1)A ， (3,1)B ． 1PM  ， 2PE  ， 3AB  ， / /AB CD ，  AB PM CD PE   3 1 2CD  6CD  ， 故答案为：6． 【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面 平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． 10．（3分）化学实验操作考试前，小明从“配置质量分数为 4%的 NaCl溶液”、“ 2CO 的实 验室制取与性质”、“水的电解”中随机抽取一个进行操作，他抽到“水的电解”的概率为 1 3 ． 【答案】 1 3 ． 【分析】直接运用概率公式解答即可． 【解答】解：共有 3个实验，分别是“配置质量分数为 4%的 NaCl溶液”、“ 2CO 的实验 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 8 室制取与性质”、“水的电解”， 他抽到“水的电解”的概率为： 1 3 ． 故答案为： 1 3 ． 【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比． 11．（3分）已知关于 x的一元二次方程 2( 1) 2 0k x k x    有解，求 k的取值范围 80 7 k 且 1k  ． 【分析】一元二次方程有实数根应注意两种情况：△ 0，二次项的系数不为 0．依此建立 关于 k的不等式，求得 k的取值范围． 【解答】解： 1a k  ，b k ， 2c  ， △ 2 4 4 ( 1) 2 0b ac k k       ， 整理得：△ 7 8 0k   ， 8 7 k ，且 0k ， 又 1 0k   ， 1k  ， ， 80 7 k 且 1k  ． 故答案为： 80 7 k 且 1k  ． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式中二次项系数不能为 0．同时考查了一元二次 方程根的情况与判别式△的关系： （1）△ 0 方程有两个不相等的实数根；（2）△ 0 方程有两个相等的实数根；（3） △ 0 方程没有实数根． 12．（3分）如图，在Rt ABC 中， 90C  ， 2AC  ， 6BC  ，点 P是 AB边上的一点（异 于 A、 B两点），过点 P分别作 AC， BC边的垂线，分别为M ， N，连接MN ，则MN 的 最小值是 3 10 5 ． 【答案】 3 10 5 ． 【分析】连接 PC，判定四边形 PMCN是矩形，得到MN PC ，当 PC AB 时，MN 最小， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 9 由 三角 形 面 积公 式 得 到 ABC 的 面积 1 1 2 2 AB PC BC AC    ， 由勾 股 定 理求 出 2 2 2 10AB AC BC   ，即可得到 3 10 5 PC  ，因此MN 的最小值是 3 10 5 ． 【解答】解：连接 PC， PM AC ， PN BC ， 90C  ， 四边形 PMCN是矩形， MN PC  ， 当 PC最小时，MN 最小，当 PC AB 时， PC最小， 此时， ABC 的面积 1 1 2 2 AB PC BC AC    ， 90C   ， 2AC  ， 6BC  ， 2 2 2 10AB AC BC    ， 2 10 2 6PC    ， 3 10 5 PC  ， MN 的最小值是 3 10 5 ． 故答案为： 3 10 5 ． 【点评】本题考查矩形的判定和性质，三角形的面积，垂线段，关键是判定四边形 PMCN是 矩形，得到MN PC ，明白当 PC AB 时，MN 最小． 13．（3分）如图，点 E为正方形 ABCD的边CD的中点，连接 AE，BE ，BE 交对角线 AC 于点 F ，连接 FD交 AE于点G，如果 4DF  ，那么 AB的长为 12 5 5 ． 【答案】 12 5 5 ． 【分析】先证明 ABF CEF ∽ ，得到 EF 与 BF 的数量关系，进而求得 BE ，设正方形的边 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 10 长为 a，再根据勾股定理列出 a的方程求得结果便可． 【解答】解：四边形 ABCD是正方形， / /AB CD ， AB BC CD  ， ABF CEF ∽ ，  BF AB EF CE  ， 点 E是CD的中点， 2AB CD CE   ，  2BF EF  ， 正方形 ABCD关于 AC对称， 4BF DF   ， 2EF  ， 6BE  ， 设 AB a ，则 BC a ， 1 2 CE a ， 90BCD   ， 2 2 2BC CE BE   ， 即 2 2 2 1( ) 6 2 a a  ， 解得 12 5 5 a  ， 【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是应用 相似三角形求得 EF的长度． 三．解答题（共 7小题，满分 61分） 14．（6分）用适当的方法解下列方程： （1） 2 5 1 0x x   ； （2） 7 (5 2) 6(5 2)x x x   ； 【答案】（1） 1 2 5 29 5 29, 2 2 x x     ； （2） 1 2 2 6, 5 7 x x   ． 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 11 【解答】解（1） 2 5 1 0x x   ， 1a  ， 5b  ， 1c   ， △ 2 24 5 4 1 ( 1) 29 0b ac         ，  2 4 5 29 2 2 b b acx a        ， 解得 1 2 5 29 5 29, 2 2 x x     ； （2） 7 (5 2) 6(5 2)x x x   ， 7 (5 2) 6(5 2) 0x x x     ， (7 6)(5 2) 0x x    ， 7 6 0x   或 5 2 0x   ， 解得 1 2 2 6, 5 7 x x   ； 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解 法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 15．（8 分）在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐 年上升． （1）某汽车企业 2020年到 2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了 96%．求该汽车企 业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为 15万元 /辆的新能源汽车，经销一段时 间后发现：当该款汽车售价定为 25万元 /辆时，平均每周售出 8辆；售价每降低 0.5万元， 平均每周多售出 1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为 96万元，并且尽量让 利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1） 40%； （2）21万元． 【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为 x，该汽车企业 2020年新能源汽车销售总量为 a辆，则该汽车企业 2022年新能源汽车销售总量为 (1 96%)a 辆，利用该汽车企业 2022年新能源汽车销售总量 该汽车企业 2020年新能源汽车销售总量 (1 该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率）2，可得出关于 x的一元二次 方程，解之取其正值，即可得出结论； 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 12 （2）设下调后每辆汽车的售价为 y万元，则每辆汽车的销售利润为 ( 15)y  万元，平均每周 可售出 (58 2 )y 辆，利用该店销售该款汽车平均每周的销售利润 每辆的销售利润每周的 销售量，可得出关于 y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为 x，该汽车企 业 2020 年新能源汽车销售总量为 a辆，则该汽车企业 2022 年新能源汽车销售总量为 (1 96%)a 辆， 根据题意得： 2(1 ) (1 96%)a x a   ， 解得： 1 0.4 40%x   ， 2 2.4x   （不符合题意，舍去）． 答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为 40%； （2）设下调后每辆汽车的售价为 y万元，则每辆汽车的销售利润为 ( 15)y  万元，平均每周 可售出 258 1 (58 2 ) 0.5 y y    辆， 根据题意得： ( 15)(58 2 ) 96y y   ， 整理得： 2 44 483 0y y   ， 解得： 1 21y  ， 2 23y  ， 又要尽量让利于顾客， 21y  ． 答：下调后每辆汽车的售价为 21万元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键． 16．（8分）如图，在 ABC 中， 3BC  ，D为 AC延长线上一点， 3AC CD ， CBD A   ， 过D作 / /DH AB，交 BC的延长线于点H ． （1）求证： HCD HDB ∽ ． （2）求DH 长度． 【分析】（1）根据两个角对应相等即可证明 HCD HDB ∽ ； （2）根据 / /DH AB， 3AC CD ，对应线段成比例可得 1CH  ，再结合（1） HCD HDB ∽ ， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 13 对应边成比例即可求出 DH 的长度． 【解答】解：（1）证明： / /DH AB ， A HDC   ， CBD A   ， HDC CBD   ，又 H H   ， HCD HDB ∽ ； （2） / /DH AB ，  CD CH AC BC  ， 3AC CD ，  1 3 3 CH  ， 1CH  ， 3 1 4BH BC CH      ， 由（1）知 HCD HDB ∽ ，  DH CH BH DH  ， 2 4 1 4DH    ， 2DH  （负值舍去）． 答： DH 的长度为 2． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与 性质． 17．（8分）在 4月 23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从 全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间 t（单位：小时） 把调查 结果分为四档， A档： 8t  ； B档：8 9t  ；C档：9 10t  ；D档： 10t ．根据调查情 况，绘制了如图所示的两幅不完整统计图，根据图中信息解答问题： 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 14 （1）本次调查的学生共有 40 人；扇形统计图中，C档对应的圆心角度数为 ；请将 条形统计图补充完整； （2）学校要从 D档的 4名学生中随机抽取 2名作读书经验分享，已知这 4名学生中 1名来 自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的 2名 学生来自不同年级的概率． 【答案】（1）40、108，补全图形见解答；（2） 5 6 ． 【分析】（1）由 B档人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用 360乘以C档人数所占 比例，最后用总人数减去 B、C、 D人数和即可求出 A档人数，从而补全图形； （2）分别用 A，B，C ，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数， 再用概率公式求解即可． 【解答】解：（1）本次调查的学生共有16 40% 40  （人 )， 扇形统计图中，C档对应的圆心角度数为 12360 108 40   ， A档人数为 40 (16 12 4) 8    （人 )， 补全图形见解答： 故答案为：40、108； （2）用 A表示七年级学生，用 B表示八年级学生，用C和 D分别表示九年级学生，画树状 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 15 图如下， 因为共有 12种等可能的情况数，其中抽到的 2名学生来自不同年级的有 10种， 所以抽到的 2名学生来自不同年级的概率是 10 5 12 6  ． 【点评】本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要 求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏． 18．（10分）根据以下素材，探索完成任务． 项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳 能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保 证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的 摆放位置进行研究． 素材一 将电池板的侧面摆放情况 抽象成如图所示的数学示 意图，其中第一排电池板 AD位置固定，第二排 HG 位置待确定，每块电池板与 坡面夹角固定不变，DE， GM 所在的直线垂直于水 平线 AC ，坡面 4AB m ， 16BAC   ， 100AD HG cm  ， 91AE cm ， 31DAC  ． 参考数据： 2 1.41 ， 3 1.73 ， 6 2.45 素材二 上午太阳光线与水平线的 夹 角  范 围 为 14 29  ， EF 为阴影 长，为了使得太阳能电池板 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 16 有充足的阳光照射，点H 要 落在阴影外面． 问题解决 任务一 计算角度 当 等于14时， AFD  30 ． 任务二 探究影长 求DE在斜坡上的阴影 EF 的取值范 围（精确到 0.1 )cm ． 任务三 方案选择（选择其中的一种 方案进行研究） 方案一：若在该斜坡上安装 3排100cm 的电池板，每一排之间的间距相同， 在充分利用斜坡的情况下，电池板下 面两个端点之间的最大间距为多少 （精确到1 )cm ． 方案二：若在该斜坡上安装 2 排电池 板，电池板与坡面夹角保持不变，那 么原来100cm长的电池板最大可以定 制多长（精确到 0.1 )cm ． 【答案】任务一： 30；任务二： 31.5 50cm EF cm；任务三：方案一约为13cm；方案二 约为172.1cm． 【分析】任务一：过点 F 作 / /OF AC ，先根据平行线的性质可得 16AFO BAC    ，再 根据 AFD AFO DFO    即可得； 任务二：作 AN DF 于点 N，延长 NF 交 AC 于点Q，①当 14  时，先解直角三角形求 出 50 2AN cm ，再根据含 30 度角的直角三角形的性质可得 2 100 2AF AN cm  ，从而 可得 EF 的值，②当 29  时，同样的方法可得 EF 的值，由此即可得出答案； 任务三：方案一：求出 100 2AF cm ，设电池板下面两个端点之间的最大间距为 FH x cm，则100 2 100 2 91 4 100x x      ，解方程即可得；方案二：设新电池板的长度 AD y  cm，过点D作水平线 AC 的垂线，交 AB于点 E ，求出 2AF y cm，再利用 相似三角形的判定与性质可得 91 100 yAE  ，然后根据 400AE AF   建立方程，解方程即可 得． 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 17 【解答】解：任务一：如图，过点 F 作 / /OF AC， 16AFO BAC    ， 由题意得： 14DFO    ， 30AFD AFO DFO     ， 故答案为： 30； 任务二：作 AN DF 于点 N，延长 NF 交 AC 于点Q， ①当 14  时，则 14NQA   ， 31DAC   ， 45NDA DAC NQA      ， 100AD cm ，  sin 50 2AN AD NDA cm    ， 30AFD   ，  2 100 2AF AN cm  ， 91AE cm ，  100 2 91 50( )EF AF AE cm     ， ②当 29  时， 同理可得： 50 6 91 31.5( )EF AF AE cm     ， 31.5 50cm EF cm  ； 任务三：方案一： H 在任意时刻均不能落在 EF 内， AF 最大，即 100 2AF cm ， 要充分利用斜坡， 最后一排恰好落在 B处， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 18 设电池板之间的最大间距为 FH x cm， 则100 2 100 2 91 4 100x x      ， 解得 13x  ， 答：电池板之间的最大间距约为13cm； 方案二：如图，设新电池板的长度 AD y  cm， 过点 D作水平线 AC的垂线，交 AB于点 E ，则 / /DE D E  H 在任意时刻均不能落在 EF 内， AF 最大，即当 14  时， AF 最大， 同任务二可得： 2AF y cm， 电池板与坡度保持不变， / /DE D E ， ADE ∽△ AD E ，  AE AD AE AD    ，即 91 100 AE y  ， 解得 91 100 yAE  ， 由题意得： 91 2 4 100 100 y y   ， 解得 172.1y  ， 答：原来100cm长的电池板最大可以定制约为172.1cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握解 直角三角形的方法是解题关键． 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线 1 1: 2 l y x  与反比例函数 ky x  的图象交于 A， B两点（点 A在点 B左侧），已知 A点的横坐标是 4 ； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出 1 2 kx x   的解集； （3）将直线 1 1: 2 l y x  沿 y向上平移后的直线 2l 与反比例函数 ky x  在第二象限内交于点 C，如果 ABC 的面积为 30，求平移后的直线 2l 的函数表达式． 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 19 【答案】（1）反比例函数的表达式为 8y x   ； （2） 4x   或 0 4x  ； （3） 1 15 2 2 y x   ． 【分析】（1）直线 1l 经过点 A，且 A点的纵坐标是 2，可得 ( 4,2)A  ，代入反比例函数解析 式可得 k的值； （2）依据直线 1 1: 2 l y x  与反比例函数 ky x  的图象交于 A， B两点，即可得到不等式 1 2 kx x   的解集为 4x   或 0 4x  ； （3）设平移后的直线 2l 与 x轴交于点D，连接 AD，BD，依据 / /CD AB，即可得出 ABC 的面积与 ABD 的面积相等，求得 (15,0)D ，即可得出平移后的直线 2l 的函数表达式． 【解答】解：（1）直线 1 1: 2 l y x  经过点 A， A点的横坐标是 4 ， 当 4x   时， 2y  ， ( 4,2)A  ， 反比例函数 ky x  的图象经过点 A， 4 2 8k      ， 反比例函数的表达式为 8y x   ； （2）直线 1 1: 2 l y x  与反比例函数 ky x  的图象交于 A， B两点， (4, 2)B  ， 不等式 1 2 kx x   的解集为 4x   或 0 4x  ； （3）如图，设平移后的直线 2l 与 x轴交于点 D，连接 AD， BD， / /CD AB ， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 20 ABC 的面积与 ABD 的面积相等， ABC 的面积为 30， 30ABD AOD BODS S S      ，即 1 (| | | |) 30 2 A B OD y y  ，  1 4 30 2 OD   ， 15OD  ， (15,0)D ， 设平移后的直线 2l 的函数表达式为 1 2 y x b   ， 把 (15,0)D 代入，可得 10 15 2 b    ， 解得 15 2 b  ， 平移后的直线 2l 的函数表达式为 1 15 2 2 y x   ． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数 图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．解决问题的关键是依据 ABC 的面积与 ABD 的面积相等，得到 D点的坐标为 (15,0)． 20．（12分）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形 ABCD中，如果 AB AD ，CB CD ，那么四边形 ABCD是 垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：垂美四边形 ABCD两组对边 AB，CD与 BC，AD之间有怎样的数量关系？写出 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 21 你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图③，分别以Rt ACB 的直角边 AC和斜边 AB为边向外作正方形 ACFG和正 方形 ABDE，连接CE ， BG ，GE，已知 2AC  ， 5AB  ，则GE  37 ． 【分析】概念理解：根据垂直平分线的判定定理证明即可； 性质探究：根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 问题解决：根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【解答】解：概念理解：四边形 ABCD是垂美四边形．理由如下： AB AD ， 点 A在线段 BD的垂直平分线上， CB CD ， 点C在线段 BD的垂直平分线上， 直线 AC是线段 BD的垂直平分线， AC BD  ，即四边形 ABCD是垂美四边形； 性质探究： 2 2 2 2AD BC AB CD   ．理由如下： 如图 2，已知四边形 ABCD中， AC BD ，垂足为 E， AC BD ， 90AED AEB BEC CED        ， 由勾股定理得， 2 2 2 2 2 2AD BC AE DE BE CE     ， 2 2 2 2 2 2AB CD AE BE CE DE     ， 2 2 2 2AD BC AB CD    ； 问题解决：连接CG、 BE ，如图 3所示： 90CAG BAE     ， CAG BAC BAE BAC     ，即 GAB CAE   ， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 22 在 GAB 和 CAE 中， AG AC GAB CAE AB AE       ， ( )GAB CAE SAS   ， ABG AEC   ，又 90AEC AME   ， 90ABG AME   ，即CE BG ， 四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得， 2 2 2 2CG BE CB GE   ， 2AC  ， 5AB  ， 21BC  ， 2 2CG  ， 5 2BE  ， 2 2 2 2 37GE CG BE CB     ， 37GE  ； 故答案为： 37 ． 【点评】本题是四边形综合题目，考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直 的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/20 10:46:28；用户：蓝天初数 5；邮箱：skycs05@xyh.com；学号： 22587574