江西省会昌中学2024-2025学年高一上学期数学每日一题（10月27日-11月2日）

2027届高一数学每日一题（10月27日~11月2日） 学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________ 1．（24-25高一上·天津西青·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； (3)若，求函数的值域. 2． （23-24高一上·四川成都·期中） （1）是一次函数，且满足，求的解析式; （2）已知函数，求函数的解析式． （3）已知，求的解析式． 3．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，的定义域均为． (1)请在所给的图中画出的图像； (2)若不等式的解集为，求a的取值范围； (3)讨论函数的零点个数． 4．（23-24高一上·福建南平·期中）已知函数. (1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (2)当时，求在区间上的最小值. 5．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义法证明在上的单调性； (3)解关于x的不等式． 6．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知定义在R上的偶函数满足：当时， (1)在平面直角坐标系中画出函数在R上的图象，并根据图像写出单调递减区间； (2)求出时的解析式； (3)由图象写出不等式的解集. 7．（22-23高一上·贵州遵义·期中）已知函数对于一切实数x，y，都有成立，且当时，． (1)求． (2)求的解析式． (3)若函数，试问是否存在实数a，使得的最小值为？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2027届高一数学每日一题（10月27日~11月2日）答案 1．(1);(2)增函数，证明见解析;(3) 【分析】（1）根据奇函数的性质及函数所过点求解； （2）判断函数的单调性，利用定义证明即可； （3）令，化简函数的解析式为，结合函数的单调性可求得函数在上的值域. 【详解】（1）解：因为函数函数是定义在上的奇函数， 则，则，解得， 所以，， 又因为，解得，故. （2）证明：函数在上单调递增，证明如下： 设任意、，且， 则， 因为，则，所以，。， 又，，所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）解：对于函数，任取、，且， 则，所以，，，，， 则， 即，即，所以函数在上单调递减， 当时，令， ， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 因为，，显然，则， 所以，，故， 因此，当时，函数的值域为. 2．（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）利用待定系数法可求得函数解析式； （2）利用配凑法可求得函数解析式； （3）利用方程组法可求得函数解析式. 【详解】（1）由已知是一次函数，设函数，， 则， 即， 即，解得， 所以； （2）由， 则； （3）由已知①，， 则②， 所以①②得，， 所以，. 3．(1)图象见解析; (2) (3)当或时，函数的零点个数为0；当时，函数的零点个数为1；当时，函数的零点个数为2. 【分析】（1）将函数写成分段函数的形式，再画出图象即可； （2）利用函数图象可以解决恒成立问题； （3）将零点问题转化为两个函数图象的交点问题，再结合函数图像，分类讨论，即可解决. 【详解】（1）由题意知， 所以其函数图象如下所示：    （2）因为不等式的解集为，所以在上恒成立， 函数图象的对称轴为：，函数和的图象如下：      所以，由图可知： ， 故的取值范围为：. （3）因为，所以函数和图象的交点个数即为函数的零点个数， 由（2）可知，①当，或时， 函数和图象的交点个数为0，此时函数的零点个数为0， 此时或， ②当，且时， 函数和图象的交点个数为2，此时函数的零点个数为2， 此时， ③当，即时， 函数和图象的交点个数为1，此时函数的零点个数为1， 综上所述：当或时，函数的零点个数为0； 当时，函数的零点个数为1； 当时，函数的零点个数为2. 4．(1) (2) 【分析】（1）因二次项系数含参数，需先对参数进行讨论分类，再结合二次函数的图像开口与对称轴对单调性进行判断即得； （2）对于二次函数定轴动区间求最值问题，需就其对称轴与给定区间的位置分类讨论即得. 【详解】（1）当时，在上递减，符合题意. 当时，的开口向下，对称轴，所以函数在区间上单调递减，符合题意. 当时，开口向上，要使函数在区间上单调递减，则需，解得. 综上所述，的取值范围为. （2）当时，， 当时，即，， 当时，即，， 当时，， 故 5．(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）借助奇函数的性质计算可得、，借助可得，即可得解； （2）借助单调性的定义，令后计算的正负即可得； （3）结合函数定义域，奇函数的性质与函数的单调性计算即可得. 【详解】（1）由题意可得， 即，即，故，， 又，故，即； （2）在上单调递增，证明如下： 设， 则 ， 由，则，，， 故， 故在上单调递增； （3）由函数为奇函数，故， 又函数在上单调递增，故有， 解得. 所以不等式的解集为. 6．(1)答案见解析； (2)， (3)或． 【分析】（1）作出二次函数在的图象，再将其关于轴对称即可得． （2）根据偶函数的定义求解； （3）由图象分类讨论可得． 【详解】（1）先作出二次函数在的图象，再将关于原点对称，两者结合即得函数图象，如图： （2）时，； （3）或， 由图象得或， 所以不等式的解集为或． 7．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）令可得答案； （2）令可得答案； （3），令，记函数，然后分、、三种情况讨论即可. 【详解】（1）令，则， 解得或（舍去），所以． （2）令，则，． 所以的解析式为． （3）由，即． 令，记函数，对称轴为． ①当，即时，在上单调递增， 所以，解得，不符合题意，舍去； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，不符合题意，舍去； ③当，即时，在上单调递减， 所以，解得，符合题意． 综上，存在，使得的最小值为 $$