精品解析：河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题

2024—2025学年（上）南阳六校高二年级期中考试 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直线方向向量的意义求得答案. 【详解】斜率为的直线的一个方向向量为，因此直线的一个方向向量为， 而ABC中向量与不共线，， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：D 2. 抛物线C：的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化抛物线方程为标准形式，再求出焦点坐标. 【详解】抛物线C：的焦点在轴上，其坐标为. 故选：C 3. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得中点的坐标，然后根据两点式求得边上的中线所在直线的方程. 【详解】的中点坐标为， 所以边上的中线所在直线的方程为， 整理得. 故选：B 4. 已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设曲线方程，带入点坐标得到等量关系，由渐近线方程的公式即可得到结论. 【详解】设双曲线：，点和在曲线上， ∴，两式相减可得，即. ∴渐近线方程为：， 故选：B. 5. “”是“直线与垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线垂直、充分和必要条件等知识对问题进行分析，从而确定正确答案. 【详解】若直线与垂直， 则，解得或， 当时，直线无意义，舍去； 当时，与垂直； 所以“”是“直线与垂直”的充要条件. 故选：C 6. 已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆的圆心和半径，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式，结合给定弦长求解即得. 【详解】圆C：的圆心，半径， 圆心到直线的距离为3，此直线与圆相切，因此直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或， 所以直线的方程为或. 故选：A 7. 如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（ ） A. 6.4m B. 6m C. 3.2m D. 3m 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的方程，进而求得正确答案. 【详解】以拱顶为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 依题意可知，抛物线过点， 所以， 所以抛物线方程为， 所以当时，， 解得，所以当水面上涨0.9m后，水面的宽度为. 故选：A 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，若P与恰好关于C的一条渐近线对称，且，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】连接交双曲线的渐近线于点，结合已知探讨的性质，进而求出面积. 【详解】连接交双曲线的渐近线于点，则（为原点）， 而分别为的中点，则，，且， 由双曲线的一条渐近线为，得，则， 所以的面积为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线表示椭圆 B. 若曲线表示双曲线，则 C. 无论取何值，曲线都不能表示圆 D. 无论取何值，曲线都不能表示抛物线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆、双曲线、圆、抛物线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若曲线表示椭圆， 则，解得，所以A选项错误. B选项，若曲线表示双曲线， 则，解得，所以B选项正确. C选项，由上述分析可知，当时，曲线方程可化为， 表示圆，所以C选项错误. D选项，依题意可知且， 由上述分析可知：无论取何值，曲线C都不能表示抛物线，D选项正确. 故选：BD 10. 在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线记为曲线C，由曲线C构成的封闭图形记为Ω，则下列说法正确的是（ ） A. 图形Ω为菱形 B. 图形Ω的面积为2 C. 若P为曲线C上的点，则 D. 曲线C与椭圆有四个公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】去绝对值符号探讨曲线C的形状，并画出图形，再逐项计算判断即可. 【详解】依题意，当时，曲线C表示直线上两点间的线段， 当时，曲线C表示直线上两点间的线段， 当时，曲线C表示直线上两点间的线段， 当时，曲线C表示直线上两点间的线段， 对于AB，图形Ω是边长为的菱形，其面积为，A正确，B错误； 对于C，观察图形知，为菱形的中心，，，C正确； 对于D，椭圆的四个顶点分别为，是菱形的四个顶点， 且菱形除顶点外，都在椭圆内，因此曲线C与椭圆有四个公共点，D正确. 故选：ACD 11. 已知直线经过，两点，P为上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，且Q为圆C上一点，则（ ） A. B. 的值可以为 C. 的最小值为 D. 直线一定过坐标原点 【答案】AD 【解析】 【分析】求出圆的圆心和半径，直线的方程，结合切线长定理、点到直线的距离公式逐项判断即可. 【详解】圆C：可化为， 其圆心，半径，直线，即， 对于A，，则，因此，A正确； 对于B，点到直线的距离，则，若， 即，解得，则， ，矛盾，B错误； 对于C， ，C错误； 对于D，设点， 以线段为直径的圆， 即， 与圆的方程相减得直线：，此直线恒过原点，D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的焦距为4，则实数的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的焦距求得，进而求得. 【详解】由于方程表示双曲线，所以， 双曲线的焦距为，所以. 故答案为： 13. 已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆心和半径即可求出圆的标准方程. 【详解】依题意，以线段为直径的圆的圆心为， 半径， 所以所求圆的标准方程为. 故答案为： 14. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．设椭圆C的两个焦点分别为，． （1）若光线由发出经椭圆C一次反射后到达，且入射光线、反射光线与x轴恰好围成底边为，顶角为的等腰三角形，则C的离心率为_________； （2）若光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，C在点P处的切线为，在上的射影H在圆上，则C的短轴长为_________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆的对称性求出椭圆的离心率；（2）利用光的反射定律及椭圆的定义，借助几何图形求出即可. 【详解】（1）令入射光线射到椭圆上的点，依题意，， 由椭圆的对称性知，点为椭圆短轴的端点，则， 所以椭圆C的离心率为； （2）由光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，得，即， 延长交于点，由光的反射定律知垂直平分线段，连接， 则是的中位线，于是， 而点H在圆上，则，短轴长. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点A是圆C：与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点． （1）求直线的方程； （2）求经过A，B两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标，再利用直线的斜截式方程求解即得. （2）求出线段的中垂线方程，求出直线的交点坐标，再求出圆的半径即可. 【小问1详解】 由，解得，即， 显然轴，，点在轴上方，则， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，，，线段的中点为，而直线的斜率为1， 因此线段的中垂线方程为，即， 由，解得，于是所求圆的圆心为，半径， 所以所求圆的标准方程为. 16. 在平面直角坐标系中，点到点的距离比点到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）已知直线过点且与曲线交于两点，求的值. 【答案】（1） （2）-4 【解析】 【分析】(1)根据给定条件，利用抛物线的定义求出方程； (2)设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示计算得解. 【小问1详解】 由点到点的距离比点到直线的距离小， 得点到点的距离等于点到直线的距离， 因此点的轨迹是以点为焦点、直线为准线的抛物线， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 显然直线不垂直于轴，设其方程为，，， 由消去得，恒成立，， 所以. 17. 已知直线：． （1）若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程； （2）P为上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）设出直线m的方程，利用平行线间距离公式列式求解. （2）求出点关于直线的对称点坐标，结合图形，利用线段和差关系确定点位置，进而求出其坐标. 【小问1详解】 由直线m与平行，设直线m的方程为， 由m，之间的距离为，得，解得或， 所以直线m的方程为或. 【小问2详解】 设点关于直线：的对称点为， 则，解得，即， 而，当且仅当三点共线时取等号， 直线的方程为，即， 由，解得，点， 所以取得最大值时点P的坐标. 18. 已知双曲线：的离心率为，且经过点． （1）求的方程； （2）若上两点，关于点对称，求直线的方程； （3）过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率和所经过的点求得双曲线的方程. （2）利用点差法求得正确答案. （3）设直线，其中，根据题中条件确定，再将的方程与联立，利用根与系数的关系，用表示，的长，再利用 【小问1详解】 依题意，双曲线：的离心率为，且经过点， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 依题意，上两点，关于点对称， 由，两式相减并化简得， 所以直线的方程为. 由消去得，， 因此直线必与双曲线有两个交点，所以直线的方程为. 【小问3详解】 根据题意，直线的斜率都存在且不为，双曲线的右焦点为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以,. 【点睛】方法点睛： 离心率与焦点求双曲线方程：利用离心率的定义结合经过特定点的条件，可以唯一确定双曲线的方程.这种方法是求解双曲线方程的基础技巧. 点差法求直线方程：在涉及到对称点问题时，点差法是一种简单而有效的求解直线方程的方法，尤其适用于对称性明显的几何问题. 利用根与系数关系求解交点：在小问3中，通过联立直线与双曲线方程，利用根与系数关系，可以简化交点的求解过程，是一种有效的代数方法. 19. 已知抛物线的焦点与椭圆C：的一个焦点重合，且抛物线的准线被C截得的弦长为1. （1）求C的方程. （2）过点作两条直线，分别与C交于点A，D和点B，E，其中A在D的上方，B在E的上方. ①若直线过点，且倾斜角为钝角，的面积为，证明：； ②若A是的中点，且，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）①证明：直线不垂直于轴，设其方程为，， AI    由消去得，， ，轴，， 的面积 ，解得， 而直线的倾斜角为钝角，则，由解得， 因此点，， 则，即， 所以. ②. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再结合已知求出即可. （2）①设出直线的方程，与椭圆方程联立求出三角形面积关系，进而求出点的坐标，再利用向量垂直的坐标表示推理得证；②设出点的坐标，结合中点坐标及都在椭圆上，分别求出点的坐标关系即可得解. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 依题意，，由消去得，则， 联立解得 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 略 ②由及A是的中点，得，又点均在椭圆上， 则，整理得，即， 设点，由，得点是的中点，则， 同理得，因此点，的坐标都满足方程， 所以直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年（上）南阳六校高二年级期中考试 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线C：的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线与垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（ ） A. 6.4m B. 6m C. 3.2m D. 3m 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，若P与恰好关于C的一条渐近线对称，且，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线表示椭圆 B. 若曲线表示双曲线，则 C. 无论取何值，曲线都不能表示圆 D. 无论取何值，曲线都不能表示抛物线 10. 在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线记为曲线C，由曲线C构成的封闭图形记为Ω，则下列说法正确的是（ ） A. 图形Ω为菱形 B. 图形Ω的面积为2 C. 若P为曲线C上的点，则 D. 曲线C与椭圆有四个公共点 11. 已知直线经过，两点，P为上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，且Q为圆C上一点，则（ ） A. B. 的值可以为 C. 的最小值为 D. 直线一定过坐标原点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的焦距为4，则实数的值为_________． 13. 已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为_________． 14. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．设椭圆C的两个焦点分别为，． （1）若光线由发出经椭圆C一次反射后到达，且入射光线、反射光线与x轴恰好围成底边为，顶角为的等腰三角形，则C的离心率为_________； （2）若光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，C在点P处的切线为，在上的射影H在圆上，则C的短轴长为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点A是圆C：与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点． （1）求直线的方程； （2）求经过A，B两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 16. 在平面直角坐标系中，点到点的距离比点到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）已知直线过点且与曲线交于两点，求的值. 17. 已知直线：． （1）若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程； （2）P为上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标． 18. 已知双曲线：的离心率为，且经过点． （1）求的方程； （2）若上两点，关于点对称，求直线的方程； （3）过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） 19. 已知抛物线的焦点与椭圆C：的一个焦点重合，且抛物线的准线被C截得的弦长为1. （1）求C的方程. （2）过点作两条直线，分别与C交于点A，D和点B，E，其中A在D的上方，B在E的上方. ①若直线过点，且倾斜角为钝角，的面积为，证明：； ②若A是的中点，且，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $