2025年九年级中考数学一轮复习课件：第29讲二元一次方程组及其实际应用

第29讲　二元一次方程组及其实际应用 1.小明的妈妈比他大26岁，去年小明妈妈的年龄是小明年龄的3倍，分别求小明和妈妈今年各多少岁. 年龄问题 答案：解：设小明今年x 岁，妈妈今年y 岁. 由题意，得， 解得. 答：小明今年14 岁，妈妈今年40 岁. 2.如图，通过小明和小龙的对话，求他们现在的年龄.   答案：解：设小龙现在的年龄是x 岁，小明现在的年龄是y 岁. 由题意，得，解得. 答：小明现在的年龄是12 岁，小龙现在的年龄是15 岁. 3.已知一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和为8.若在其中间加一个0，与原两位数的和为340，求这个两位数是多少. 答案：解：设原两位数的十位上数字为x，个位上数字为y. 依题意，得， 解得， 即这个两位数是35. 数字问题 4.一个两位数的十位上数字比个位上数字大2，如果将十位上数字与个位上数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是多少. 答案：解：设原来的两位数的十位上数字为x，个位上数字为y. 由题意，得， 解得， 即原来的两位数为42. 5.一个两位数的十位上数字与个位上数字之和是7，若把这个两位数加上9，所得的两位数的十位上数字和个位上数字恰好与原来的两位数的十位上数字和个位上数字颠倒了，求原来的两位数是多少. 答案：解：设原来的两位数的个位上数字为x，十位上数字为y. 由题意，得， 解得， 所以原来的两位数为34. 6.若某银行三年定期储蓄的年利率是2.05%，小杰取出三年到期的本息和共10 615 元，求小杰存入银行的本金是多少元. 储蓄问题 答案：解：设小杰存入银行的本金是x 元. 根据题意可列方程为x＋3×2.05%x＝10 615， 解得x＝10 000. 答：小杰存入银行的本金是10 000 元. 7.小明的妈妈在银行存入50 000 元，存期一年，到期可得本息和共50 750 元，求这项储蓄的年利率. 答案：解：设这项储蓄的年利率是x. 由题意，得50 000(1＋x)＝50 750， 解得x＝1.5%， 即这项储蓄的年利率是1.5%. 考查角度1：相遇问题 8.甲、乙两人准备参加自行车骑行比赛，相约一同训练.两人从相距 80 千米的两地同时出发，相向而行，经过 2 小时相遇；若甲比乙提前 1 小时出发，那么乙出发1.6 小时后两人相遇.求甲、乙两人的速度. 行程问题 答案：解：设甲的速度为 x 千米/时，乙的速度为 y 千米/时. 根据题意，得， 解得. 答：甲的速度为16 千米/时，乙的速度为24 千米/时. 9.学校和博物馆相距20 千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行.如果小明比小强早出发30 分钟，那么在小强出发2 小时后，他们相遇；如果他们同时出发，那么1 小时后两人还相距11 千米.求小明、小强每小时各走多少千米. 答案：解：设小明每小时走x 千米，小强每小时走y 千米. 根据题意，得， 解得. 答：小明每小时走4 千米，小强每小时走5 千米. 10.甲、乙两人相距12 km，两人同向而行，甲3 小时可追上乙；相向而行，1 小时相遇.求两人的平均速度各是多少？ 考查角度2：追及问题 答案：解：设甲的平均速度为x km/h，乙的平均速度为y km/h. 由题意，得， 解得. 答：甲的平均速度为8 km/h，乙的平均速度为4 km/h. 11.甲、乙两人沿400 m的环形跑道同时同地出发跑步.如果同向而行，那么经过200 s两人相遇；如果背向而行，那么经过50 s两人相遇.求甲、乙两人的跑步速度(甲的速度快). 答案：解：设甲跑步的速度是x m/s，乙跑步的速度是y m/s. 依题意，得， 解得. 答：甲跑步的速度是5 m/s，乙跑步的速度是3 m/s. 考查角度3：航行问题 12.从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡路每小时走3 km，平路每小时走4 km，下坡路每小时走5 km，那么从甲地到乙地需54 min，从乙地到甲地需42 min，甲地到乙地全程是多少千米？ 答案：解：设甲地到乙地的上坡路长x km，平路长y km. 根据题意，得， 解得， 所以x＋y＝. 答：甲地到乙地全程是 km. 13.已知某江上游甲地与下游乙地相距360 千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，此轮船现由甲地顺流而下到达乙地用18 小时，由乙地逆流而上到达甲地用24 小时，求此轮船在静水中的速度以及此江水流的速度. 答案：解：设轮船在静水中的速度为x 千米/时，水流速度为y 千米/时. 根据题意，得， 解得. 答：此轮船在静水中的速度为17.5 千米/时，此江水流的速度为2.5 千米/时. 14.一架客机从甲地顺风飞行到乙地，需要4 小时，这架客机从乙地沿相同的航线逆风飞行到甲地，需要4.2 小时，若甲地和乙地的航线距离是4 200 千米，求这架飞机在无风时飞行的平均速度和风速. 答案：解：设这架飞机在无风时飞行的平均速度为x 千米/时，风速为y 千米/时. 由题意，得， 解得. 答：这架飞机在无风时飞行的平均速度为1 025 千米/时，风速为25 千米/时. 15.一项工程，甲队单独做要20 天完成，乙队单独做要15 天完成，丙队单独做要12 天完成.按原计划这项工程要求在7 天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务.乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 工程问题 答案：解：设乙、丙两队合作了x 天，甲队加入后又做了y 天.由题意，得 ， 解得. 答：乙、丙两队合作了4 天，甲队加入后又做了2 天. 16.为防止城市雨水内涝，政府对一段长1 200 米的管道进行改造，如果乙工程队单独施工18 天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8 天可以完成；如果甲工程队单独施工16 天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6 天可以完成. (1)甲、乙工程队每天各施工多少米？ 答案：解：(1)设甲工程队每天施工x 米，乙工程队每天施工y 米. 根据题意，得， 解得. 答：甲工程队每天施工60 米，乙工程队每天施工40 米. 答案：解：(2)设甲工程队施工a 天，需支付的总费用为w 元，则乙工程队施工a 天. 根据题意，得60a＋40a＝1 200， 解得a＝12，w＝3 000×12＋2 000×12＝60 000(元). 答：需支付的总费用为60 000 元. (2)若甲工程队施工一天的费用为3 000 元，乙工程队施工一天的费用为2 000 元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？ 17.龙龙家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需要6 周完成，共需装修费5.2 万元；若甲公司单独做4 周后，剩下的由乙公司来做，还需9 周才能完成，共需装修费4.8 万元.龙龙的爸爸、妈妈商量后决定只选一个公司单独完成. (1)设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意列出关于m，n的二元一次方程组. (2)如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由. 答案：解：(1)根据题意，得.　 (2)由(1)得方程组的解为.因为 ，即甲公司的工作效率比乙公司的高，所以从节约时间的角度考虑，应选择甲公司. 答案：解：(3)设甲公司每周费用为a 万元，乙公司每周费用为b 万元，根据题意，得，解得，甲公司共需×10＝6(万元)，乙公司共需 ×15＝4(万元).因为4万元＜6万元，所以从节约开支的角度考虑，应选择乙公司. (3)如果从节约开支的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由. 18.甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长4 000米的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成. (1)小东根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出小东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示_________________，y表示_______________.该方程组中△处的数应是_____，□处的数应是_______.  (2)龙龙的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路.下面请你按照龙龙的思路列出方程组，并求出乙队修建了多少天. 答案：解：(2)根据题意，得， 解得，所以＝8(天). 答：乙队修建了8天. 甲队修建的天数　 　乙队修建的天数　 　18　 　4 000　 19.某网店在促销期间销量大增，共售出商品520 件，安排甲、乙两个工人打包发货，若甲先做2 小时，然后两人再共做3 小时，则还有10 件没有打包；若两人合作4 小时，恰好打包完.问甲、乙两个工人每小时各打包多少件商品？ 答案：解：设甲、乙两个工人每小时各打包x 件商品、y 件商品. 根据题意，得， 解得. 答：甲、乙两个工人每小时各打包60 件商品、70 件商品. 20.某企业通过增收减支，到今年年底使企业利润翻一番.该企业的具体目标：保证今年总产值比去年增加20%，总支出比去年减少20%，已知该企业去年的利润(利润＝总产值－总支出)为200 万元，求今年的总产值、总支出分别是多少万元. 销售与利润率问题 答案：解：设去年的总产值为x 万元，总支出为y 万元，则今年的总产值为(1＋20%)x 万元，总支出(1－20%)y 万元. 根据题意，得 ， 解得.所以今年的总产值为600×(1＋20%)＝720(万元)， 总支出为400×(1－20%)＝320(万元). 答：今年的总产值为720 万元，总支出为320 万元. 21.如图，某化工厂与 A，B 两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨 8 000 元的产品运到 B 地.已知公路运价为 1.5 元/(吨·千米)，铁路运价为 1.2 元/(吨·千米)，且这两次运输共支出公路运输费 15 000元，铁路运输费97 200 元. 答案：解：(1)设该工厂从A地购买了x 吨原料，制成运往B地的产品y 吨. 依题意，得， 解得. 答：该工厂从A地购买了400 吨原料，制成运往B地的产品300 吨. (2)8 000×300－(1 000×400＋15 000＋97 200)＝1 887 800(元). 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800 元. (1)该工厂从 A 地购买了多少吨原料？制成运往 B 地的产品多少吨？ (2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 22.某西瓜种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的西瓜，对总计1 000 斤的麒麟西瓜、黑美人西瓜这两个品种进行打包优惠出售.打包方式及售价如下：麒麟西瓜每筐8 斤，售价200 元；黑美人西瓜每筐18 斤，售价360 元.假如用这两种打包方式恰好全部装完这1 000 斤西瓜(筐数为整数且两种西瓜至少各有一筐). (1)若这批西瓜全部售完，共收入21 400 元，请问麒麟西瓜共包装了多少筐，黑美人西瓜共包装了多少筐？ 答案：解：(1)设麒麟西瓜共包装了m筐，黑美人西瓜共包装了n筐. 根据题意，得， 解得. 答：麒麟西瓜共包装了35筐，黑美人西瓜共包装了40筐. 答案：解：(2)设麒麟西瓜共包装了x筐，则黑美人西瓜共包装了 筐.根据题意，得200x＋360（－y）＝22 840，所以x＝71＋9y.又因为x，y， 均为正整数，且 －y≥0，所以. 答：y的值为1或2或3或4. (2)当销售总收入为22 840元时，若西瓜种植大户留下y(y＞0)筐黑美人西瓜送人，其余的西瓜全部售出，求y的值. 23.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A 型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A 型汽车、2辆B 型汽车的进价共计95万元. (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元. 答案：解：(1)设A型汽车每辆的进价为x 万元，B型汽车每辆的进价为y 万元.依题意，得，解得. 答：A 型汽车每辆的进价为25万元，B 型汽车每辆的进价为10万元. 答案：解：(2)设购进 A 型汽车m辆，购进 B 型汽车n辆.依题意，得25m＋10n＝200，解得m＝8－n.因为m，n均为正整数，所以，所以共有3种购买方案.方案一：购进A 型汽车6辆，B 型汽车5辆；方案二：购进A型汽车4辆，B 型汽车10辆；方案三：购进A 型汽车2辆，B 型汽车15辆. (2)若该公司计划正好用200 万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公司设计购买方案. (3)若该汽车销售公司销售 1 辆 A 型汽车可获利 8 000 元，销售 1 辆 B 型汽车可获利 5 000元，在(2)中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 答案：解： (3)方案一获得利润：8 000×6＋5 000×5＝73 000(元)；方案二获得利润：8 000×4＋5 000×10＝82 000(元)；方案三获得利润：8 000×2＋5 000×15＝91 000(元).因为73 000＜82 000＜91 000，所以购进 A 型汽车2 辆，B 型汽车15辆获利最大，最大利润是91 000元. 24.已知某书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示. (1)若书店销售两类书籍共90本，销售额为2 100元，求这两种书籍各销售多少本. (2)若书店销售这两类书籍若干本，销售额为2 400元，求此次书店的总利润为多少元. 种类 文学类 科普类 进货价/(元/本) 16 24 销售价/(元/本) 20 30 答案：解：(1)设书店销售x 本文学类书籍，y 本科普类书籍.根据题意，得，解得.答：书店销售60本文学类书籍，30本科普类书籍. (2)因为，所以2 400×＝480(元).答：此次书店的总利润为480元. (3)为回馈客户，书店采用以下促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科普类书籍送2盒水彩笔(水彩笔进货价为每盒6元).若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2 100元，求此次书店购进两种书籍各多少本. 答案：解：(3)设此次书店购进3a 本文学类书籍，3b 本科普类书籍，则购进(a＋2b)盒水彩笔.根据题意，得16×3a＋24×3b＋6(a＋2b)＝2 100，所以b＝25－a.又因为a，b均为正整数，所以，所以.答：此次书店购进42本文学类书籍，48本科普类书籍或84本文学类书籍，21本科普类书籍. 25.一家眼镜厂，有25个工人加工镜片和镜架，每人每天可加工镜架72副或镜片96片，为了使每天加工的镜架和镜片能配套，应如何分配工人？ 配套问题 答案：解：设分配x人加工镜片，则分配y人加工镜架. 由题意，得， 解得. 答：分配15人加工镜片，10人加工镜架. 26.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.”根据以上译文，提出以下两个问题. (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子. 答案：解：(1)设每头牛值x 两银子，每只羊值y 两银子. 依题意，得， 解得. 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子. 答案：解：(2)设购买m头牛，n只羊. 依题意，得3m＋2n＝28，整理得n＝14－m. 因为m，n均为正整数，且n≥2m， 所以， 所以商人有2种购买方案. 方案一：购买2头牛，11只羊；方案二：购买4头牛，8只羊. (2)某商人准备用28两银子买牛和羊(要求既有牛又有羊，且银两全部用完)，且羊的数量不少于牛的数量的2倍，请问商人有哪几种购买方案？ 27.某校组织七年级350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人. (1)求每辆A，B型车可分别载学生多少人. 答案：解：(1)设每辆A型车可载学生 x 人，每辆B型车可载学生 y 人.根据题意，得，解得. 答：每辆A 型车可载学生30 人，每辆B 型车可载学生40 人. 答案：解：设租用a 辆 A 型车，b 辆 B 型车.根据题意，得30a＋40b＝350，所以a＝.又因为a，b均为自然数，所以，所以共有 3 种租车方案.方案 1：租用 9 辆 A 型车，2辆 B 型车；方案 2：租用 5 辆 A 型车，5 辆 B 型车；方案 3：租用 1 辆 A 型车，8 辆 B 型车.选择方案 1 所需总租金为1 000×9＋1 200×2＝11 400(元)；选择方案 2 所需总租金为1 000×5＋1 200×5＝11 000(元)；选择方案 3所需总租金为1 000×1＋1 200×8＝10 600(元).因为11 400＞11 000＞10 600，所以租车费的最低金额为10 600元. (2)若租一辆A型车需要1 000元，一辆B型车需1 200元，现所有车辆恰好坐满学生，请你写出全部可行租车方案，并且算出租车费的最低金额. 28.王叔叔春节前欲将一批蔬菜运往外地销售，若用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车载满蔬菜一次可运走10 吨，用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车载满蔬菜一次可运走11 吨.现有蔬菜40 吨，计划同时租用 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满蔬菜. (1)1辆A型车和1辆B型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？ 答案：解：(1)设 1 辆 B 型车载满蔬菜一次可运送 b 吨，1 辆 A 型车载满蔬菜一次可运送 a 吨.依题意，得，解得. 答：1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都载满蔬菜一次可分别运送3 吨、4 吨. 答案：解：(2)依题意，得3x＋4y＝40，所以y＝10－x.又因为x，y均为正整数，所以，所以共有3种租车方案. 方案 1：租用 4 辆 A 型车，7 辆 B 型车；方案 2：租用 8 辆 A 型车，4 辆 B 型车；方案 3：租用 12 辆 A 型车，1 辆 B 型车. (3)方案 1所需租车费为100×4＋120×7＝1 240(元)，方案 2所需租车费为100×8＋120×4＝1 280(元)；方案 3所需租车费为100×12＋120×1＝1 320(元).因为1 320＞ 1 280＞1 240，所以费用最少的租车方案为租用 4 辆 A 型车，7 辆 B 型车，最少租车费为1 240元. (2)请你设计租车方案. (3)若 1 辆 A 型车需租金100 元/次，1 辆 B 型车需租金120 元/次.请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费. 29.清明假期期间，泰山受到广大市民和全国游客的热烈欢迎.据统计，假期第一天 A入口比 B 入口的登山游客多1.2 万人；第二天 A 入口的登山游客增加了10%，B 入口的登山游客减少了10%，当天 A，B 入口的登山游客总人数比第一天增加了3%.求第二天 A，B 入口的登山游客各是多少万人. 其他问题 答案：解：设假期第一天 A 入口的登山游客有 x 万人，B 入口的登山游客有 y 万人. 根据题意，得，解得， 所以(1＋10%)×2.6＝2.86(万人)，(1－10%)×1.4＝1.26(万人). 答：假期第二天A 入口的登山游客有2.86 万人，B 入口的登山游客有1.26 万人. 30.某足球特色学校在七年级各班男队开展足球单循环比赛，即每个班男队都与其他各班男队比赛一场，再按各队总积分(即该队所有比赛得分之和)排列名次.记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. (1)比赛中，若七(1)班男队胜场数的两倍比平场数多1场，总积分为14分，求七(1)班男队胜了多少场. 答案：解：(1)设七(1)班男队胜了 x 场，平了 y 场. 依题意，得， 解得.答：七(1)班男队胜了3场. 答案：解：(2)因为该校七年级共有16个班，所以七(1)班男队共比赛15场.设七(1)班男队负了 z 场，则平了 kz 场，k 是整数. 依题意，得3(15－kz－z)＋kz＝15，解得(2k＋3)z＝30. 因为k为整数，所以(2k＋3)只能是奇数，即(2k＋3)为30的正奇数因数， 所以(2k＋3)只可能为1，3，5，15. 当2k＋3＝1时，z＝30，不合题意，舍去； 当2k＋3＝3时，k＝0，z＝10； 当2k＋3＝5时，k＝1，z＝6；当2k＋3＝15时，k＝6，z＝2. 经比较可知，七(1)班男队最少负了2场. (2)已知该校七年级共有16个班，比赛中，若七(1)班男队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，请推算七(1)班男队最少负了多少场. $$