2025年九年级中考数学一轮复习课件：第33讲二次函数

第33讲　二次函数 与一次函数的关系 1.某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P(万元)与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式：P＝10x.预计该商场每年的能源消耗费用T(万元)与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式：T＝21－，其中0≤x≤9.设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为 y(万元). (1)若y＝148 万元，求该商场建造的隔热层厚度. 答案：解：(1)由题意，得 y＝P＋8T＝10x＋8×， 整理得 y＝－x2＋4x＋160. 当 y＝148 时，则－x2＋4x＋160＝148，解得 x1＝6，x2＝－2. 因为0≤x≤9，所以 x2＝－2(不合题意，舍去)， 即该商场建造的隔热层厚度为6 cm. (2)已知该商场未来 8 年的相关规划费用为 t(万元)，且t＝y＋x2，当172≤t≤192时，求隔热层厚度 x(cm)的取值范围. 答案：(2)由(1)得 y＝－x2＋4x＋160. 因为 t＝y＋x2，所以 t＝－x2＋4x＋160＋x2＝4x＋160(172≤t≤192). 因为4＞0，所以 t 随 x 的增大而增大， 当t＝172时，4x＋160＝172，解得x＝3. 当t＝192时，4x＋160＝192，解得x＝8. 所以隔热层厚度x的取值范围为3≤x≤8.   2.如图①，已知抛物线 y1＝x2＋bx＋c与x轴交于O(0，0)，A(2，0)两点，将抛物线 y1 向右平移 2 个单位，得到抛物线 y2.点 P 是抛物线 y1 在第四象限内一点，连接 PA 并延长，交抛物线 y2 于点Q. (1)求抛物线 y2 的函数表达式. 答案：解：(1)由题意，得 y1＝x(x－2)＝x2－2x，而 y2 过点(2，0)，(4，0)，则 y2＝(x－2)(x－4)＝x2－6x＋8. (2)设点P的横坐标为xP，点 Q 的横坐标为 xQ，求 xQ－xP 的值. 答案：(2)由题意，设点 P(m，m2－2m)，易得直线 PA的 表达式为y＝k(x－2)，将点 P的坐标代入上式得 m2－2m＝k(m－2)，解得k＝m，则直线 PA 的表达式为y＝m(x－2).联立上式和抛物线 y2 的表达式，得x2－6x＋8＝m(x－2)，解得 xQ＝4＋m，则 xQ－xP＝4＋m－m＝4.   (3)如图②，若抛物线 y3＝x2－8x＋t与抛物线 y1＝x2＋bx＋c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线 y1 和 y3 于点M，N(M，N均不与点C重合)，设点 M 的横坐标为 m，点N的横坐标为 n，试判断|m－n|是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 答案：(3)由(1)知，y1＝x(x－2)＝x2－2x，联立 y1，y3 得x2－2x＝ x2－8x＋t，解得 x＝t，则点 C(t，t2－t).由点 C，M 的坐标， 易得直线CM的表达式为y＝(m＋t－2)(x－m)＋m2－2m，联立上式 和抛物线y3的表达式得x2－8x＋t＝(m＋t－2)(x－m)＋m2－2m，整理得 x2－(6＋m＋t)x＋(1＋m)t＝0，则 xC＋xN＝6＋m＋t，即 t＋n＝6＋m＋t，所以 n－m＝6，即|m－n|＝6为定值. 3.如图，在平面直角坐标系中，已知直线 y＝x－2与 x 轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴的另一个交点为 B(－1，0)，点 P 是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点 P 分别作 x 轴和 y 轴的平行线，分别交直线AC 于点 E，点 F. (1)求抛物线的表达式. 答案：解：(1)由直线 y＝x－2与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，得点 A，C 的坐标分别为(4，0)，(0，－2).抛物线过点 B(－1，0)，所以抛物线的表达式为 y＝a(x－4)(x＋1)＝a(x2－3x－4)，则－4a＝－2，解得a＝，则抛物线的表达式为 y＝x2－x－2. (2)点 D 是 x 轴上的任意一点，若△ACD 是以 AC 为腰的等腰三角形，请直接写出点 D的坐标. 答案：(2)点D的坐标为(4±2，0)或(－4，0). (3)当 EF＝AC 时，求点 P 的坐标. 答案：(3)设点 P(t，t2－t－2)，当将点 P的纵坐标代入 y＝x－2，得 t2－t－2＝x－2时，x＝t2－3t，即点 E(t2－3t，t2－t－2).因为 E，C，F，A 共线，EF＝AC，则xF－xE＝xA－xC，即t－(t2－3t)＝4－0，解得 t＝2，即点 P(2，－3). 4.设二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c是常数). (1)若 b＝1，求二次函数 y＝x2＋bx＋c 的顶点坐标.(用含c的代数式表示) 答案：解：(1)因为b＝1，所以y＝x2＋x＋c＝x＋2)2＋c－1，所以顶点坐标为(－2，c－1). (2)若c＝－1，求二次函数 y＝x2＋bx－1(－1≤x≤2)的最大值.(用含 b 的代数式表示) 答案：(2)二次函数y＝x2＋bx－1＝x＋2b)2－b2－1的对称轴为直线 x＝－2b.因为 ＞0，－1≤x≤2，所以当－2b≤，即 b≥－，x＝2时，y 取最大值 ×22＋2b－1＝2b；当－2b＞，即 b＜－，x＝－1 时，y 取最大值 ×(－1)2－b－1＝－－b. (3)如图，若 b＝c＝0，直线 y＝x＋1与此函数图象交于 A，B 两点，点 P 不在二次函数图象上，线段 PA，PB 分别交二次函数图象于点 C，D，且 CD∥AB，CD＜AB，求点 P 的纵坐标的取值范围. 答案：(3)当b＝c＝0 时，二次函数的表达式为 y＝x2，联立方程组 ，解得 ，所以 A(2－2，3－2，B(2＋2，3＋2.设过点 P 的直线表达式为 y＝kx＋t，联立方程组，得 x2－4kx－4t＝0.当直线 PA 与抛物线有且只有一个交点 A 时，根据一元二次方程根与系数的关系，得，解得，所以直线 PA 的函数表达式为y＝(1－x－3＋2.同理可得当直线 PB 与抛物线有且只有一个交点 B 时的函数表达式为 y＝(1＋x－3－2.联立方程组，解得.此时 CD 与 AB 重合，点 P 的坐标为(2，－1).因为CD∥AB，所以点 P 在直线 x＝2上运动，所以当点 C 与 D 重合时，点 P 和点 C，D 重合，即点 P 在抛物线上，此时点 P 的坐标为(2，1).因为 CD＜AB，所以由题图可知，点 P 的纵坐标的取值范围为－1＜y＜1. 与二次函数的关系 5.如图，记二次函数 y＝a(x－b)2＋c和y＝－a(x－p)2＋q(a≠0)的图象分别为抛物线 C 和C1. 定义：若抛物线 C1的顶点 Q(p，q) 在抛物线 C 上，则称 C1 是 C 的伴随抛物线. 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线. ②若 C1 是 C 的伴随抛物线，则 C 也是 C1 的伴随抛物线，即 C 的顶点 P(b，c)在 C1上. (1)若二次函数 y＝－x－2)2＋m 和y＝－x－n)2＋ 的图象都是抛物线y＝x2 的伴随抛物线，则 m＝　 　，n＝　 　.  (2)设函数 y＝x2－2kx＋4k＋5 的图象为抛物线 C2. ①若函数 y＝－x2＋dx＋e 的图象为抛物线 C0，且 C2 始终是 C0 的伴随抛物线，求 d，e 的值. ②若抛物线 C2 与 x 轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2)，请求出 x1 的取值范围. ±1　 2　 答案：解：(2)①因为 y＝x2－2kx＋4k＋5＝(x－k)2－k2＋4k＋5，所以抛物线C2的顶点为(k，－k2＋4k＋5).又C2始终是C0的伴随抛物线，所以可令 k＝0，k＝1，顶点为(0，5)，(1，8)，所以，解得.　 ②因为C2与 x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0).由①得函数y＝－x2＋4x＋5的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，所以顶点坐标(k，－k2＋4k＋5)在 y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9 图象上滑动，抛物线C0的顶点坐标为(2，9).当－x2＋4x＋5＝0时，解得x＝－1或x＝5，所以抛物线C0与 x 轴交于(－1，0)，(5，0)两个点.当顶点在(－1，0)下方时，抛物线有两个交点，x1＜－1.当顶点在(5，0)下方时，2＜x1＜5.综上可得2＜x1＜5或x1＜－1. 6.已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(－2，5)，对称轴为直线x＝－. (1)求二次函数的表达式. 答案：解：(1)因为二次函数为y＝x2＋bx＋c，对称轴为直线x＝－＝－，解得 b＝1，所以二次函数的表达式为y＝x2＋x＋c.又因为图象经过点A(－2，5)，所以4－2＋c＝5，解得c＝3，所以二次函数的表达式为y＝x2＋x＋3. (2)若点B(1，7)向上平移2个单位，向左平移m(m＞0)个单位后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图象上，求m的值. 答案：(2)因为点B(1，7)向上平移2个单位，向左平移m个单位(m＞0)，所以平移后的点为(1－m，9).又因为(1－m，9)在y＝x2＋x＋3图象上，所以9＝(1－m)2＋(1－m)＋3，解得m＝4或m＝－1(舍去)，所以m＝4.   (3)当－2≤x≤n时，二次函数 y＝x2＋bx＋c 的最大值与最小值的差为 ，求 n 的取值范围. 答案：(3)由题意，得当n＜－ 时，最大值与最小值的差为5－，所以n1＝n2＝－，不符合题意，舍去；当－≤n≤1 时，所以最大值与最小值的差为5－，符合题意；当n＞1时，最大值与最小值的差为，解得n1＝1 或n2＝－2，不符合题意.综上所述，n的取值范围为－≤n≤1. 7.如图，抛物线C1：y＝ax2＋x－4 的图象经过点D(1，－1)，与x轴交于点 A，B. (1)求抛物线 C1 的表达式. 答案：解：(1)将点 D 的坐标代入抛物线表达式得－1＝a＋－4，解得a＝，则抛物线的表达式为 y＝x2＋x－4＝(x＋)2－4. (2)将抛物线C1向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位得到抛物线 C2，求抛物线 C2的表达式，并判断点 D 是否在抛物线 C2 上. 答案：(2)由题意，得 C2：y＝.当x＝1时，y＝－1，故点 D 在抛物线 C2上. (3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点 P，使△PBD是等腰直角三角形.若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：(3)存在.当∠BDP为直角时，如图①，过点 D 作DE⊥BD且DE＝BD，连接BE，则△BDE为等腰直角三角形.分别过点 B，E 作BG，EH垂直于x轴，过点 D 作直线平行于x轴交BG，EH于点G，H.因为∠DGB＝∠EHD＝90°，∠BDE＝90°，所以∠BDG＋∠EDH＝90°，∠EDH＋∠DEH＝90°，所以∠BDG＝∠DEH.所以△DGB≌△EHD(AAS)，则DH＝BG＝1，EH＝GD＝1＋2＝3，则点 E(2，2)，当x＝2时，y＝＝2，所以点 E 在抛物线C2上，即点 P为点E(2，2)； 当∠DBP为直角时，如图②，同理可得△BGE≌△DHB(AAS)，则DH＝3＝BG，BH＝1＝GE，则点 E(－1，3).当x＝－1时，y＝＝3，则点 E 在抛物线 C2上，即点 P 为点 E(－1，3)；当∠BPD为直角时，如图③，设点E(x，y)，同理可得△EHB≌△DGE(AAS)，则 EH＝x＋2＝GD＝y＋1且 BH＝y＝GE＝1－x，解得 x＝0且y＝1，即点 E(0，1).当x＝0时，y＝≠1，即点 E 不在抛物线C2上.综上，点 P 的坐标为(2，2)或(－1，3). 与三角形的关系 8.在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O 处抛出一个小球，落到点A(3，)处.小球在空中所经过的路线是抛物线 y＝－x2＋bx 的一部分. (1)求抛物线的解析式. 答案：解：(1)因为点 A(3，)是抛物线 y＝－x2＋bx 上的一点，所以－32＋3b＝，则－9＋3b＝，解得 b＝，所以抛物线的解析式为 y＝－x2＋x. (2)求抛物线的顶点坐标. 答案：(2)因为抛物线为 y＝－x2＋x＝，所以抛物线的顶点坐标为(). (3)斜坡上点 B处有一棵树，点 B 是 OA 的三等分点，小球恰好越过树的顶端 C，求这棵树的高度. 答案：(3)如图，过点 A，B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别是点 E，D.又∠BOD＝∠AOE，∠BDO＝∠AEO，所以 △OBD∽△OAE，则 .又因为点 B 是 OA 的三等分点，所以 .因为 A(3，)，所以 AE＝，OE＝3.因为 ，所以 BD＝AE＝，所以 ，则 OD＝OE，所以 OD＝×3＝1，所以点 C 的横坐标为1.将x＝1代入y＝－x2＋x中，得 y＝－12＋×1＝，所以点 C 的坐标为(1，)，所以CD＝，所以CB＝CD－BD＝＝2，即这棵树的高度是2. 9.如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点C，其中 B(1，0)，C(0，3). (1)求抛物线的解析式. 答案：解：(1)将 B(1，0)，C(0，3)代入抛物线 y＝－x2＋bx＋c 中，得，解得，所以抛物线的解析式为 y＝－x2－2x＋3. (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点 P，使得△APC的面积最大.若存在，求出点 P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由. 答案：(2)存在.令y＝0，则0＝－x2－2x＋3，解得x1＝－3，x2＝1，所以A(－3，0)，即 OA＝3.因为C(0，3)，所以 OC＝3.如图，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E.设 P(x，－x2－2x＋3)，且在第二象限内，所以OE＝－x，AE＝3＋x，则S△APC＝S△APE＋S梯形PCOE－S△AOC＝AE·PE＋OC＋PE)·OE－OA·OC＝.因为－＜0，所以 S 有最大值，则当 x＝－ 时，S有最大值，最大值为 .此时点 P 的坐标为(－). 10.如图，二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于 A，B两点，与 y 轴交于点C，点A 的坐标为(－1，0)，点 C 的坐标为(0，－3)，连接 BC. (1)求该二次函数的解析式. 答案：解：(1)把(－1，0)和(0，－3)代入，得，解得，所以二次函数的解析式为 y＝x2－x－3. (2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，求BC边上的高PN的值. 答案：(2)令 y＝0，则0＝x2－x－3，解得 x1＝－1，x2＝6，所以点 B 的坐标为(6，0)，所以BC＝＝3.设直线BC的解析式为 y＝mx＋n，代入点B，C的坐标，得，解得，所以直线BC的解析式为 y＝x－3，过点 P 作 PD⊥x 轴交BC于点D，如图.设点 P 的坐标为(x，x2－x－3)，则点 D的坐标为(x，x－3)，所以 PD＝x－3－(x2－x－3)＝－x2＋3x，则 S△PBC＝PD·OB＝×6(－x2＋3x)＝－x－3)2＋，所以 S△PBC最大为 ，则 PN＝. 11.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝x2＋bx＋c 与 x 轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的表达式. 答案：解：(1)由题意，得，解得，所以抛物线的表达式为 y＝x2－x－2. (2)当点 D 在直线 BC 下方的抛物线上时，过点 D 作 y 轴的平行线交 BC 于点 E，设点 D的横坐标为 t，DE 的长为 l，请写出 l 关于 t 的函数表达式，并写出自变量t的取值范围. 答案：(2)设直线BC的函数表达式为 y＝mx＋n.因为 B(2，0)，C(0，－2)，所以，则，所以直线 BC 的函数表达式为y＝x－2，则 E(t，t－2).因为D(t，t2－t－2)，所以 l＝(t－2)－(t2－t－2)＝－t2＋2t(0＜t＜2). (3)连接 AD，交 BC 于点 F，求 的最大值. 答案：(3)如图，当0＜t＜2时，作 AG∥DE，交 BC 于 G，所以△DEF∽△AGF，则 .把 x＝－1代入 y＝x－2，得 y＝－3，即 AG＝3，所以 ＝－t－1)2＋，所以当 t＝1时，.因为 ，所以. 12.在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋3 的图象与 x 轴交于 A(1，0)，B(3，0)两点，与 y 轴交于点C. (1)求二次函数的表达式. 答案：解：(1)由题意，得 y＝a(x－1)(x－3)＝a(x2－4x＋3)＝ax2＋bx＋3，则 a＝1，所以抛物线的表达式为 y＝x2－4x＋3. (2)如图①，若点 P 是线段 BC 上的一个动点(不与点 B，C 重合)，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 Q，当线段 PQ 的长度最大时，求点 Q 的坐标. 答案：(2)由抛物线的表达式，得点 C(0，3).由点 B，C 的坐标，得直线 CB 的表达式为 y＝－x＋3，设点 P(x，－x＋3)，则点 Q(x，x2－4x＋3)，则 PQ＝－x＋3－(x2－4x＋3)＝－x2＋3x＝－.因为－1＜0，所以 PQ 有最大值，此时 x＝，则 y＝x2－4x＋3＝－，即点 Q(，－). (3)如图②，在(2)的条件下，过点 Q 的直线与抛物线交于点 D，且∠CQD＝2∠OCQ.在y轴上是否存在点 E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：(3)存在.由点C，Q的坐标，得直线CQ的表达式为 y＝－x＋3.如图，过点Q作TQ∥y 轴交 x 轴于点 T，则∠TQA＝∠QCO.因为∠CQD＝2∠OCQ，∠TQA＝∠QCO，所以∠CQT＝∠DQT，即直线 AQ 和 DQ关于直线 QT 对称，易得直线 DQ 的表达式为 y＝(x－)－.联立上式和抛物线的表达式，得 x2－4x＋3＝(x－)－，解得 x＝5或x＝舍去)，即点 D(5，8).设点 E(0，y)，由 B，D，E的坐标，得 BD2＝68，DE2＝25＋(y－8)2，BE2＝9＋y2.当DE＝BD时，则68＝25＋(y－8)2，解得 y＝8±，即点 E(0，8±；当 DE＝BE或BD＝BE 时，同理可得 25＋(y－8)2＝9＋y2 或 9＋y2＝68，解得 y＝5或±，即点E(0，5)或(0，±.综上，点 E 的坐标为(0，8±或(0，5)或(0，±. 13.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象经过原点和点A(4，0).经过点 A 的直线与该二次函数图象交于点 B(1，3)，与 y 轴交于点 C. (1)求二次函数的解析式及点C的坐标. 答案：解：(1)因为二次函数经过O(0，0)，A(4，0)，B(1，3)，所以将三点坐标代入解析式得，解得，所以二次函数的解析式为 y＝－x2＋4x.因为直线经过 A，B 两点，设直线 AB 解析式为 y＝kx＋n，将A，B两点代入，得，解得，所以直线 AB 的解析式为 y＝－x＋4.因为点C是直线 AB 与 y 轴的交点，所以令x＝0，得y＝4，所以C(0，4). (2)点 P 是二次函数图象上的一个动点，当点 P 在直线 AB 上方时(点 P 与点 A，B 均不重合)，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，与直线 AB 交于点 D，设点 P的横坐标为m. ①计算m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值. ②是否存在点 P，使得△BPD与△AOC相似？若存在，请求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由. ②存在.因为∠BDP＝∠ADE，∠ADE＝∠ACO，所以∠BDP＝∠ACO.又因为∠AOC＝90°，所以当△BPD中存在一个直角时，△BPD与△AOC相似.如图①，当△BPD∽△AOC时，因为∠AOC＝90°，所以∠BPD＝90°，此时BP∥x轴，B，P关于二次函数的对称轴对称，所以 P(3，3).如图②，当△PBD∽△AOC时，得∠PBD＝∠AOC＝90°，则AB⊥PB.因为kAC＝－1，所以kBP＝1，易得直线BP的解析式为y＝x＋2.联立方程组得，解得，所以P(2，4).综上，存在点 P 使△BPD与△AOC相似，此时点 P 的坐标为(3，3)或(2，4). 答案：(2)①因为点 P 在直线AB上方，所以1＜m＜4.由题知 P(m，－m2＋4m)，D(m，－m＋4)，所以 PD＝yP－yD＝－m2＋4m＋m－4＝－m2＋5m－4＝－，所以当m＝ 时，PD＝是最大值. 与四边形的关系 14.如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝－x＋3与 x 轴、y 轴分别交于点C，D，抛物线 y＝－x－2)2＋k(k为常数)经过点D且交 x 轴于A，B两点. (1)求抛物线表示的函数解析式. 答案：解：(1)在 y＝－x＋3中，令x＝0，得 y＝3，所以 D(0，3).因为抛物线 y＝＋k 经过点 D(0，3)，所以3＝－×(0－2)2＋k，解得k＝4，所以抛物线表示的函数解析式为 y＝－x－2)2＋4＝－x2＋x＋3. (2)若点 P 为抛物线的顶点，连接 AD，DP，CP.求四边形ACPD的面积. 答案：(2)连接OP，如图.在 y＝－x＋3中，令 y＝0，得 x＝2，所以C(2，0)，OC＝2.在 y＝－x2＋x＋3中，令y＝0，得0＝－x2＋x＋3，解得x＝6或x＝－2，所以 A(－2，0)，OA＝2.由 y＝－x－2)2＋4可得抛物线顶点 P坐标为(2，4)，所以 S四边形ACPD＝S△AOD＋S△COD＋S△PDC＝×2×3＋×3×2＋×4×2＝3＋3＋4＝10，即四边形ACPD的面积为10. 15.抛物线 y＝ax2－x－2与 x 轴交于 A(－1，0)，B 两点，与 y 轴交于点C，点 P 是第四象限内抛物线上的一点. (1)求抛物线的解析式. 答案：解：(1)把点A(－1，0)代入y＝ax2－x－2，得a＋－2＝0，解得a＝，所以抛物线的解析式为y＝x2－x－2. (2)如图①，过 P 作PD⊥x 轴于点 D，交直线 BC 于点 E.设点 D 的横坐标为 m，当 PE＝BE 时，求 m 的值. 答案：(2)把 y＝0代入 y＝x2－x－2，得 x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝4，所以 B(4，0).当x＝0时，y＝－2，所以点 C 的坐标为(0，－2)，所以 BC＝＝2，BC 的解析式为 y＝x－2.根据题意，得点 D的坐标为(m，0)，把x＝m代入 y＝x2－x－2，得 y＝m2－m－2.把 x＝m 代入 y＝x－2，得y＝m－2，所以 P(m，m2－m－2)，E(m，m－2)，所以 DE＝2－m，EP＝2m－m2.因为 PD⊥x 轴，所以 PD∥y 轴，则△BDE∽△BOC，所以BD∶BO＝BE∶BC，所以 BE＝，即 BE＝4－m).因为 PE＝BE＝4－m)，所以 2m－m2＝4－m)，解得 m＝或m＝4(舍去). (3)如图②，点 F(1，0)，连接CF并延长交直线 PD于点 M，点 N是 x 轴上方抛物线上的一点，在(2)的条件下，x 轴上是否存在一点 H，使得以 F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：(3)存在，点 H 的坐标为(－，0)或(，0)或(－，0)或(，0).因为C(0，－2)，F(1，0)，易得直线CF的解析式为 y＝2x－2.当x＝时，y＝2×－2＝3，所以 M(，3).因为点 N是 x 轴上方抛物线上的一点，所以当 y＝3时，x2－x－2＝3，解得 x＝－2或x＝5.当N(－2，3)时，FH＝MN＝，所以 H 的坐标为(－，0)或(，0)；当 N(5，3)时，FH＝MN＝，所以 H 的坐标为(－，0)或(，0).综上，点 H 的坐标为(－，0)或(，0)或(－，0)或(，0). 16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点C，直线 BC 的解析式为 y＝－x＋5，D 为此抛物线的顶点，连接 AC. (1)求抛物线的解析式. 答案：解：(1)由题意，得C(0，5)，B(5，0)， 所以，解得， 所以抛物线的解析式为 y＝x2－6x＋5. (2)P 是直线 BC 下方的抛物线上一个动点(点 P 与点 D 不重合)，连接 PB，PC，当S△BCP＝S△BCD时，求点 P 的坐标. 答案：(2)过点 D 作DP∥BC，交抛物线于点 P，连接 PB，PC，则 S△BCP＝S△BCD.因为 y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以顶点 D 的坐标为(3，－4).因为 DP∥BC，直线 BC的解析式为 y＝－x＋5，所以设直线 DP 的解析式为 y＝－x＋m.把点 D(3，－4)代入直线 DP 的解析式 y＝－x＋m，得－4＝－3＋m，解得m＝－1，所以直线 DP 的解析式为 y＝－x－1，所以，解得，所以点P的坐标为(2，－3). 答案：(3)如图①，作 DF⊥y 轴于F，作 AE⊥CD 于 E，设 AB 交CD 于G.因为 DF＝3，CF＝5－(－4)＝9，所以tan∠DCF＝， 则OG＝OC＝.由题(1)，得A(1，0)，所以 AG＝OG－OA＝－1＝. 因为∠AEG＝∠CFD＝90°，∠AGC＝∠CDF，所以∠GAE＝∠DCF， 所以 tan∠GAE＝tan∠DCF＝，则 cos∠EAG＝，所以 AE＝AG·cos∠EAG＝.因为 AC＝，所以 CE＝，即 tan∠ACD＝. (3)求出tan∠ACD的值. (4)若 M 是对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 N，使以 B，D，M，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：(4)存在.由抛物线的解析式，得B(5，0).当BD是边，四边形BDNM是菱形时，NB和DM互相垂直平分，此时N和点A重合，所以N(1，0)；如图②，当四边形BDMN是菱形时，因为BD＝＝2，所以BN＝2，则N(5，2或(5，－2；如图③，当BD是对角线时，NM和BD互相垂直平分，设M(3，t)，由DM＝BM，得t2＋22＝(t＋4)2，解得t＝－，所以BN＝DM＝，则N(5，－).综上所述，点N的坐标为(1，0)或(5，2或(5，－2或(5，－). 17.如图，抛物线 y＝－x2＋x＋2 与 x 轴交于 A，B 两点(点A在点B的左侧)，与 y 轴交于点C，连接AC，BC. (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线 BC 的函数表达式. 答案：解：(1)当 y＝0时，即－x2＋x＋2＝0，解得 x1＝－1，x2＝5，所以A(－1，0)，B(5，0).当x＝0时，y＝2，所以C(0，2).直线BC的函数表达式为y＝－x＋2. (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 D 作AC的平行线，分别交直线 BC，x 轴于 E，F 两点，设点 D 的横坐标为 m. ①当以点 D，E，C 为顶点的三角形与△ACE全等时，求 m 的值. ②当以 A，C，D，F 为顶点的四边形为平行四边形时，抛物线的对称轴上是否存在点 P，使△PDF为等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：(2)①如图，作 DH⊥x 轴，交 BC 于 H，作 AG⊥x 轴，交 BC 于 G，所以AG∥DH，所以∠AGC＝∠DHE.因为 AC∥DF，所以∠ACE＝∠DEC，所以∠ACG＝∠DEH.又因为△ACE≌△DEC，则 AC＝DE，所以△ACG≌△DEH(AAS)，则 DH＝AG.因为直线 BC 的表达式为 y＝－x＋2，所以 H(m，－m＋2).因为 D(m，－m2＋m＋2)，所以 DH＝－m2＋2m.当x＝－1时，y＝－×(－1)＋2＝，所以 AG＝，即－m2＋2m＝，解得m＝2或m＝3. ②存在.因为A(－1，0)，B(5，0)，所以抛物线的对称轴为 x＝＝2.由题意，得▱AFDC，所以DF＝AC.因为C(0，2)，所以由对称性，得 D(4，2).因为 A(－1，0)，所以 F(3，0).设 P(2，n)，当 PF＝DF＝AC＝ 时，(2－3)2＋n2＝5，解得 n1＝2，n2＝－2(舍去)，所以 P(2，2)；当 DP＝DF＝时，(4－2)2＋(2－n)2＝5，解得 n＝1或n＝3，所以 P(2，3)或 P(2，1)；当 PD＝PF 时，(2－4)2＋(n－2)2＝(3－2)2＋n2，解得n＝，所以 P(2，).综上所述，点 P 的坐标为(2，2)或(2，1)或(2，3)或(2，). 与圆的关系 18.如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4.抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝x－1交于点D，与x轴交于点E. (1)求抛物线的表达式. 答案：解：(1)因为抛物线的对称轴为直线x＝3，AB＝4，所以A(1，0)，B(5，0).将A(1，0)，B(5，0)代入y＝ax2＋bx＋5，得，解得，所以抛物线的表达式为y＝x2－6x＋5. (2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：(2)在抛物线上存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形.因为直线AD的表达式为y＝x－1，抛物线的对称轴为直线x＝3与x轴交于点E，所以当x＝3时，y＝x－1＝2，所以D(3，2).当∠DAM＝90°时，设直线AM的表达式为 y＝－x＋c，将点A坐标代入，得－1＋c＝0，解得c＝1，所以直线AM的表达式为y＝－x＋1，联立，得，解得，所以点 M的坐标为(4，－3)；当∠ADM＝90°时，设直线DM的表达式为y＝－x＋d，将D(3，2)代入，得－3＋d＝2，解得d＝5，所以直线DM的表达式为y＝－x＋5.联立，得，解得，所以点M的坐标为(0，5)或(5，0).综上，点 M 的坐标为(4，－3)或(0，5)或(5，0). (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为☉B上一个动点，请求出PC＋PA的最小值. 答案：(3)如图，连接PB，在AB上取点F，使BF＝1，连接CF，PF.因为PB＝2，所以 .因为 ，所以 .又因为∠PBF＝∠ABP，所以△PBF∽△ABP，所以 ，即PF＝PA，则 PC＋PA＝PC＋PF≥CF，所以当点C，P，F三点共线时，PC＋PA的值最小，即为线段CF的长.因为OC＝5，OF＝OB－1＝4，所以CF＝，即 PC＋PA的最小值为. 19.已知二次函数y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C. (1)求这个二次函数的表达式. 答案：解：(1)由题意，得y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3. (2)如图①，连接AC，BC，若点M在抛物线上，且M的横坐标为，连接CM，∠ACB与∠BCM相等吗？请说明理由. 答案：(2)∠ACB＝∠BCM.理由：由y＝x2－2x－3得C(0，－3)，由点B，C的坐标，得∠ABC＝45°.因为M的横坐标为，所以点M(，－).如图①，连接CM，过点B作y轴的平行线交CM的延长线于点H.由题意，得M(，－)，易得直线CM的表达式为y＝－x－3.当x＝3时，y＝－4，即BH＝4＝AB.因为BC＝BC，∠ABC＝45°，BN⊥AB，所以∠HBC＝45°，所以△BCH≌△BCA(SAS)，则∠ACB＝∠BCM. (3)如图②，点N是线段AB上任意一点(N不与A，B重合)，过点N作NE⊥x轴，交抛物线于点E，连接AE，作△ABE的外接圆☉P，延长EN交☉P于点F.试说明点F在某条定直线上. 答案：(3)如图②，连接AF，设点N(t，0)，则点E(t，t2－2t－3)，所以AN＝t＋1，EN＝－(t2－2t－3)，BN＝3－t.因为∠AFN＝∠ABE，∠FAN＝∠FEB，所以△AFN∽△EBN，即，即，解得FN＝1，即点F在直线y＝1上. 20.如图，直线 y＝kx－2与经过原点的抛物线 y＝ax2＋bx＋c相交于点A，B，与 x 轴、y 轴分别相交于点C，D，抛物线与x轴另一个交点为E，点B的坐标为(－1，－4)，点A在第一象限内且到x轴、y轴的距离相等. (1)求抛物线的解析式. 答案：解：(1)因为点B(－1，－4)在直线y＝kx－2上，所以－4＝－k－2，解得k＝2，所以y＝2x－2.因为点A在第一象限内且到x轴、y轴的距离相等，所以A在y＝x上.联立，解得，所以A(2，2).因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点，所以c＝0.将B(－1，－4)，A(2，2)代入，得，解得，所以y＝－x2＋3x. 答案：(2)因为y＝2x－2与x轴、y轴分别相交于点C，D，当x＝0时，y＝－2，当y＝0时，x＝1，所以C(1，0)，D(0，－2)，即CD2＝5，设F(s，t).因为点F在抛物线上，所以t＝－s2＋3s.如图①所示，连接CF，DF.因为圆与直线AB相切于点C，所以FC⊥AB，则CD2＋FC2＝FD2， 即5＋(s－1)2＋t2＝s2＋(t＋2)2，化简得t＝－s＋1).把t＝－s＋1)代入t＝－s2＋3s，得－s＋1)＝－s2＋3s，整理得2s2－7s＋1＝0，解得舍去)，所以F(). (2)在第四象限内，F是抛物线上一动点.当以点F为圆心，以FC为半径的圆与直线AB相切于点C时，求点F的坐标. (3)在第一象限内，抛物线的对称轴上是否存在一点G，使△GAB的内心也在抛物线的对称轴上？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：(3)存在.因为y＝－x2＋3x＝－，所以抛物线对称轴为直线x＝.因为A(2，2)，所以点A(2，2)关于x＝的对称点为A'(1，2)，连接BA'交直线x＝于点G，如图②所示.因为△GAB的内心在抛物线的对称轴上，所以∠BGA的角平分线所在的直线为x＝，即点G为所求.设直线BA'的解析式为y＝mx＋n，将B(－1，－4)，A'(1，2)代入，得，解得，所以直线BA'的解析式为y＝3x－1.将x＝代入，得y＝×3－1＝，所以G(. 21.已知二次函数y＝mx2－2mx－3m，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，顶点为P，与y轴交于点D. (1)点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　.  (2)如图，点M是在x轴下方抛物线上一点，△BDM面积为3m， 求点M的横坐标. 答案：解：(2)如图①，过点 M作 MN⊥x 轴于 N，设 M(x，mx2－2mx－3m).因为 S△BDM＝S梯形ODMN＋S△MNB－S△BOD，所以 3m＝3m－mx2＋2mx＋3m)·x＋－mx2＋2mx＋3m)(3－x)－×3m×3，化简整理得 x2－3x＋2＝0，解得 x1＝1，x2＝2，所以点M的横坐标为1或2. (－1，0) (3，0) (3)☉C的圆心C在x轴上，且经过A，B两点，若直线PD与☉C相交，求m的取值范围. 答案：(3)如图②，连接 PC，作直线 PD，过点 C 作 CE⊥PD 于 E，过点 D 作 DF⊥PC于F.因为A(－1，0)，B(3，0)，所以 AB＝4.因为☉C的圆心 C 在 x 轴上， 且经过A，B两点，所以 C(1，0).因为 y＝mx2－2mx－3m＝m(x－1)2－4m，所以 P(1，－4m)，则 PC＝4m.令 x＝0，则 y＝－3m，所以 D(0，－3m).因为DF⊥PC， OC⊥PC，OC⊥OD，所以四边形ODFC是矩形，则CF＝OD＝3m，DF＝OC＝1， 所以PF＝PC－CF＝m，PD＝.因为CE⊥PD，所以∠CEP＝∠PFD＝90°.因为∠CPE＝∠DPF，所以△PEC∽△PFD，则，所以，则CE＝.若直线PD与☉C相交，则CE＜2，所以＜2，解得－＜m＜.又因为m＞0，所以0＜m＜，故m的取值范围是0＜m＜. $$