2025年九年级中考数学一轮复习课件：第32讲平面几何

第32讲　平面几何 圆与三角形 1.如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，点E在☉O上，点C是的中点，AE⊥CD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F. (1)求证：CD是☉O的切线. (2)若CD＝，∠ABC＝60°，求线段AF的长. 答案：(1)证明：如图，连接OC， 因为点C是的中点，所以， 所以∠BAC＝∠CAE. 因为OC＝OA，所以∠OCA＝∠OAC，所以∠OCA＝∠CAD， 则OC∥AD.因为AE⊥CD，所以OC⊥CD. 又因为OC是☉O的半径，所以CD是☉O的切线. (2)解：因为AB是☉O的直径， 所以∠ACB＝90°. 因为∠ABC＝60°，所以∠BAC＝30°， 则∠CAD＝∠BAC＝30°. 因为∠D＝90°，CD＝，所以AD＝CD＝3. 因为∠F＝180°－∠D－∠BAD＝30°， AF＝2AD＝6. 2.如图，△ABC内接于☉O，D是BC上一点，AD＝AC.E是☉O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE. (1)若AB＝8，求AE的长. (2)求证：EB是☉O的切线. 答案：(1)解：因为∠BAE＝∠CAD，所以∠BAE＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD，即∠EAD＝∠BAC.又因为AD＝AC，∠ADE＝∠ACB，所以△ADE≌△ACB(ASA)，所以AE＝AB.因为AB＝8，所以AE＝8. (2)证明：如图，连接BO并延长交☉O于点F，连接AF.因为BF是☉O的直径，所以∠BAF＝90°，所以∠AFB＋∠ABF＝90°.因为∠AFB＝∠ACB，所以∠ACB＋∠ABF＝90°.在△ADC中，AC＝AD，所以∠ACB＝∠ADC，则2∠ACB＋∠CAD＝180°.由(1)知AE＝AB，所以∠AEB＝∠ABE，所以2∠ABE＋∠BAE＝180°.因为∠BAE＝∠CAD，所以∠ACB＝∠ABE，所以∠ABE＋∠ABF＝90°，即∠OBE＝90°.因为OB为☉O半径，所以EB是☉O的切线. 3.如图，C是☉O上一点，直线AB经过点C，且OA＝OB，CA＝CB. (1)求证：直线AB是☉O的切线. (2)若☉O的半径为4，∠B＝30°，求阴影部分的面积. 答案：(1)证明：如图，连接OC， 因为OA＝OB，CA＝CB，所以OC⊥AB. 因为直线AB经过点C，OC是☉O的半径，且OC⊥AB， 所以直线AB是☉O的切线. (2)解：因为OC⊥AB，所以∠OCB＝90°. 因为☉O的半径为4，所以OC＝4. 因为∠B＝30°，所以∠COD＝90°－∠B＝60°， 所以tan60°＝，则BC＝OC＝4， 所以S阴影＝S△OCB－S扇形OCD＝×4×4＝8，即阴影部分的面积是8. 4.如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，点D在上，，点E在BA的延长线上，∠CEA＝∠CAD. (1)如图①，求证：CE是☉O的切线. (2)如图②，若∠CEA＝2∠DAB，OA＝8，求的长. 答案：(1)证明：如图①，连接OC，因为∠CAO是△ACE的一个外角，所以∠CAO＝∠CEA＋∠ACE，即∠CAD＋∠DAB＝∠CEA＋∠ACE.因为∠CEA＝∠CAD，所以∠DAB＝∠ACE.因为，所以∠ABC＝∠DAB，所以∠ABC＝∠ACE.因为AB是☉O的直径，所以∠ACB＝90°，所以∠ABC＋∠OAC＝90°.因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠OCA，所以∠ABC＋∠OCA＝90°，则∠ACE＋∠OCA＝90°，即∠OCE＝90°.因为OC是☉O的半径，所以CE是☉O的切线. (2)解：如图②，连接OD，设∠DAB＝x.因为∠CEA＝2∠DAB，所以∠CEA＝2x.因为∠CEA＝∠CAD，所以∠CAD＝2x.因为，所以∠ABC＝∠DAB＝x.因为AB是☉O的直径，所以∠ACB＝90°，所以∠ABC＋∠BAC＝90°，所以x＋2x＋x＝90°，解得x＝22.5°，即∠DAB＝22.5°，所以∠BOD＝2∠DAB＝45°.因为OA＝8，所以的长为＝2π. 5.如图，在△ABC中，以AB为直径的☉O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，☉O的两条弦FB，FD相交于点F，∠DAE＝∠BFD. (1)求证：DE是☉O的切线. (2)若∠C＝30°，CD＝2，求扇形OBD的面积. 答案：(1)证明：如图，连接OD，则OD＝OA，所以∠ODA＝∠OAD.因为∠DAE＝∠BFD，∠DAB＝∠BFD，所以∠DAE＝∠DAB.所以∠DAE＝∠ODA，所以OD∥AC.因为DE⊥AC于点E，所以∠ODE＝∠DEC＝90°.因为OD是☉O的半径，且OD⊥DE，所以DE是☉O的切线.　 (2)解：因为AB是☉O的直径，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，所以＝cos∠DAC＝cos∠DAB＝，则AC＝AB.所以BD＝CD＝2，∠ABD＝∠C＝30°，所以∠BAD＝90°－∠ABD＝60°，则∠BOD＝2∠BAD＝120°.因为＝sin∠BAD＝，所以AB＝4，则OB＝AB＝2，S扇形OBD＝，所以扇形OBD的面积为. 6.如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC. (1)若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数. (2)求证：①EF∥BC. ②EF＝BD. 答案：(1)解：因为CD为直径，所以∠CAD＝90°.因为∠AFE＝∠ADC＝60°，所以∠ACD＝90°－60°＝30°，所以∠ABD＝∠ACD＝30°. (2)证明：①如图，延长AB至点M.因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠CBM＝∠ADC.又因为∠AFE＝∠ADC，所以∠AFE＝∠CBM，所以EF∥BC.　 ②如图，过点D作DG∥BC交☉O于点G，连接AG，CG.因为DG∥BC，所以 ，所以BD＝CG.因为四边形ACGD是圆内接四边形，所以∠GDE＝∠ACG.因为EF∥BC，DG∥BC，所以EF∥DG，所以∠DEF＝∠GDE，则∠DEF＝∠ACG.因为∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，所以∠AFE＝∠AGC.因为AE＝AC，所以△AEF≌△ACG(AAS)，则EF＝CG，所以EF＝BD. 三角形 7.如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE. (1)求证：△ABC≌△ADE. (2)若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数. 答案：(1)证明：在△ABC和△ADE中，，所以△ABC≌△ADE(SAS). (2)解：由(1)得△ABC≌△ADE， 所以AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， 所以△ACE是等边三角形， 即∠ACE的度数是60°. 8.如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边AC，AB上，且CD＝AE，BD与CE相交于点P. (1)求证：△ACE≌△CBD. (2)如图②，将△CPD沿直线CP翻折得到△CPM，过点C作CG∥AB，交射线PM于点G，PG与BC相交于点F，连接BG.试判断四边形ABGC的形状，并说明理由. 答案：(1)证明：因为△ABC是等边三角形，所以∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC.在△ACE和△CBD中，，所以△ACE≌△CBD(SAS). (2)解：四边形ABGC为菱形.理由：因为△ACE≌△CBD，所以∠ACE＝∠CBD，所以∠DPC＝∠PCB＋∠CBD＝∠PCB＋∠ACE＝∠ACB＝60°.由翻折得CD＝CM，∠CDP＝∠CMP，∠MPC＝∠DPC＝60°，所以∠DCF＋∠DPF＝60°＋2×60°＝180°，则∠CDP＋∠CFP＝360°－180°＝180°.因为∠CMP＋∠CMF＝180°，所以∠CMF＝∠CFP，所以CF＝CM＝CD.因为∠CFM＋∠CFG＝180°，∠CDP＋∠CFM＝180°，所以∠CDP＝∠CFG.因为CG∥AB，所以∠GCF＝∠CBA＝60°＝∠BCD，所以△CDB≌△CFG(ASA)，则CG＝CB，CG＝AB.因为CG∥AB，CG＝AB＝AC，所以四边形ABGC是菱形. 平行四边形与菱形 9.如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F. (1)求证：AF＝CE. (2)若∠DAB＝120°，AE＝3，求菱形ABCD的面积. 答案：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AD＝CD.因为AE⊥CD，CF⊥AD，所以∠AED＝∠CFD＝90°. 在△AED与△CFD中，， 所以△AED≌△CFD(AAS)，所以DE＝DF， 则AD－DF＝CD－DE，所以AF＝CE. (2)解：因为∠DAB＝120°，AE⊥CD，所以∠DAE＝30°. 因为AE＝3，所以CD＝AD＝＝2， 所以菱形ABCD的面积为AE·CD＝3×2＝6. 10.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD为对角线，点F为BC的中点，连接DF并延长交AB的延长线于点E，交AC于点H，BG平分∠CBE交DE于点G. (1)求证：△DCF≌△EBF. (2)求证：∠DBG＝90°. (3)当∠BAD的大小发生变化时(0°＜∠BAD＜180°)，连接BD，AC，问是否是固定值，若是，请求出该比值；若不是，请说明理由. 答案：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以CD∥AE，所以∠CDF＝∠FEB.又因为点F为BC的中点，所以CF＝BF.在△DCF和△EBF中，，所以△DCF≌△EBF(AAS). (2)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以∠ABD＝∠CBD.因为BG平分∠CBE，所以∠CBG＝∠EBG.因为∠ABC＋∠CBE＝180°，所以2∠CBD＋2∠CBG＝180°，即∠CBD＋∠CBG＝90°，所以∠DBG＝90°. (3)解：是固定值.因为四边形ABCD是菱形，所以∠DAC＝∠CAB，∠DAB＝∠CBE，则∠CAB＝∠GBE，所以AC∥BG，所以△AHE∽△BGE，即AH∶BG＝AE∶BE.又因为△DCF≌△EBF，所以BE＝CD＝AB.因为CD∥AE，所以△DHC∽△EHA，所以CD∶AE＝CH∶AH＝1∶2，则AH＝2CH＝2BG，所以. 11.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，点P，Q分别是边BC，CD上的动点，且BP＝CQ(P不与点B，C重合)，AC与PQ交于点E. (1)求证：△ABP≌△ACQ. (2)求证：△APQ是等边三角形. (3)若BP＝1，求AE的长. 答案：(1)证明：因为在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，所以∠BCD＝120°，AB＝BC，所以△ABC是等边三角形，则AB＝AC，所以∠ACQ＝∠BCD＝∠ABP.又因为BP＝CQ，所以△ABP≌△ACQ(SAS). (2)证明：如图，因为△ABP≌△ACQ，所以AP＝AQ，∠1＝∠2.又因为△ABC是等边三角形，所以∠1＋∠PAC＝60°，所以∠2＋∠PAC＝60°，即∠PAQ＝60°，所以△APQ是等边三角形.　 (3)解：如图，由(1)(2)可知△ABC与△APQ是等边三角形，所以AC＝AB＝6，所以∠4＝∠3＝60°.又因为∠PAE＝∠CAP，所以△PAE∽△CAP，所以，即AP2＝AE·AC.作AM⊥BC于点M，则BM＝CM＝3.若BP＝1，则PM＝2.因为AM2＝AB2－BM2＝27，AP2＝AM2＋PM2＝31，所以AE＝. 12.如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F. (1)求证：△ODE≌△OBF. (2)当EF⊥BD时，DE＝15cm，分别连接BE，DF.求此时四边形BEDF的周长. 答案：(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥CB，所以∠OED＝∠OFB.因为点O是▱ABCD对角线的交点，所以OD＝OB.在△ODE和△OBF中，，所以△ODE≌△OBF(AAS).　 (2)解：如图，连接BE，DF，由(1)得△ODE≌△OBF，所以DE＝BF.因为DE∥BF，所以四边形BEDF是平行四边形.因为EF⊥BD，所以四边形BEDF是菱形，所以DF＝BF＝BE＝DE＝15cm，则DF＋BF＋BE＋DE＝4DE＝4×15＝60(cm)，所以四边形BEDF的周长为60cm. 13.如图①，在平行四边形ABCD中，BE＝DF，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F. (1)求证：△ABE≌△ADF. (2)如图②，连接BD，BD与AC交于点O，求证：AC⊥BD. (3)若AB＝5，AC＝6，求平行四边形ABCD的面积. 答案：(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠B＝∠D.因为AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，所以∠AEB＝∠AFD＝90°.在△ABE和△ADF中，，所以△ABE≌△ADF(ASA). (2)证明：由(1)得△ABE≌△ADF，所以AB＝AD.因为四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD，所以四边形ABCD是菱形，即AC⊥BD.　 (3)解：因为AB＝5，AC＝6，所以OA＝OC＝AC＝3.因为AC⊥BD于点O，所以∠AOB＝90°，所以OD＝OB＝＝4，则BD＝OD＋OB＝4＋4＝8.因为平行四边形ABCD是菱形，所以S菱形ABCD＝AC·BD＝×6×8＝24，即平行四边形ABCD的面积为24. 14.如图甲，在平行四边形ABCD中，AE＝EC，AE⊥BC 于点E，CG⊥AB 于点G，CG交AE于点F. (1)①求证：△AEB≌△CEF. ②若AB＝5，EF＝，求AD的长. (2)如图乙，若AF＝2EF，求的值. 答案：(1)①证明：如图甲，因为AE⊥BC，CG⊥AB，所以∠BGC＝90°，∠AEC＝∠AEB＝90°.在Rt△BGC中，∠B＋∠1＝90°.在Rt△EFC中，∠2＋∠1＝90°，所以∠B＝∠2.又因为AE＝EC，所以△AEB≌△CEF(AAS).　 ②解：因为△AEB≌△CEF，所以BE＝EF＝.在Rt△ABE中，AE＝＝2，所以EC＝AE＝2，所以BC＝BE＋EC＝＋2＝3，所以AD＝BC＝3. (2)解：如图乙，过点E作EH∥AB交CG于点H，易得△AGF∽△EHF.因为AF＝2EF，所以＝2.因为AF＝2EF，FE＝BE，AE＝EC，所以＝3.又因为EH∥AB，所以△CEH∽△CBG，所以，所以＝2×. 15.已知F为▱ABCD的边CD上的一个动点(不与C，D重合)，连接AF并延长交BC的延长线于点E. (1)如图甲，当F为CD的中点，且AE⊥AB时，连接AC，DE. ①求证：△ADF≌△ECF. ②试判断四边形ACED的形状，并说明理由. (2)如图乙，当DF＝2CF，且△CEF的面积为1时，求▱ABCD的面积. 答案：(1)①证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BE，则∠DAF＝∠CEF.因为F是CD的中点，所以FD＝FC.在△ADF和△ECF中，，所以△ADF≌△ECF(AAS). ②解：四边形ACED是菱形.理由：因为△ADF≌△ECF，所以AD＝EC.因为AD∥EC，所以四边形ACED是平行四边形.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD.因为AE⊥AB，所以AE⊥CD，所以四边形ACED是菱形. (2)解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，AB∥CD，AD∥EC，则△ECF∽△EBA，△ECF∽△ADF.因为DF＝2CF，所以CD＝AB＝3CF，所以.因为S△ECF＝1，所以S△EBA＝9，S△ADF＝4，则S四边形ABCF＝S△EBA－S△ECF＝8，所以S▱ABCD＝S四边形ABCF＋S△ADF＝8＋4＝12. 矩形与正方形 16.如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E，F分别是AO，DO的中点. (1)求证：OE＝OF. (2)当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形. 答案：证明：(1)因为∠ABO＝∠DCO＝90°，所以AB∥CD，则∠A＝∠D. 在△AOB与△DOC中，，所以△AOB≌△DOC(AAS)，则AO＝DO.因为点E，F分别是AO，DO的中点， 所以OE＝OA，OF＝OD，所以OE＝OF.　 (2)因为OB＝OC，OE＝OF， 所以四边形BECF是平行四边形. 因为∠A＝30°，所以OB＝OA＝OE. 所以OB＝OE＝OC＝OF， 所以四边形BECF是矩形. 17.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC. (1)求证：四边形ADCE是矩形. (2)若BC＝4，CE＝3，求EF的长. 答案：(1)证明：因为在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点， 所以AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°. 因为CE∥AD，所以∠ECD＝∠ADB＝90°. 因为AE⊥AD，所以∠EAD＝90°， 则∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°， 所以四边形ADCE是矩形. (2)解：在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BC＝4， 所以BD＝CD＝BC＝2. 由(1)可知四边形ADCE是矩形， 所以AE＝CD＝2，∠AEC＝90°. 在Rt△AEC中，AE＝2，CE＝3， 由勾股定理，得AC＝. 因为EF⊥AC，所以S△AEC＝AC·EF＝AE·CE， 所以EF＝.   18.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是BC边上的一个动点，DF⊥AE，垂足为点F，连接CF，AE＝BC. (1)求证：△ABE≌△DFA. (2)求四边形CDFE的周长. (3)求tan∠FCE的值. 答案：(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°，所以∠AEB＝∠DAF.因为DF⊥AE，所以∠AFD＝90°，所以∠B＝∠AFD＝90°.又因为AE＝BC，所以AE＝AD，所以△ABE≌△DFA(AAS). (2)解：在Rt△ABE中，因为AB＝4，AE＝BC＝5，所以BE＝＝3.因为△ABE≌△DFA，所以DF＝AB＝DC＝4，AF＝BE＝3.因为AE＝BC＝5，所以EF＝EC＝2，所以四边形CDFE的周长＝2(DC＋EC)＝2×(4＋2)＝12. (3)解：如图，过点F作FM⊥BC于点M，所以sin∠AEB＝，cos∠AEB＝.在Rt△FME中，FM＝EF＝，ME＝EF＝，所以MC＝ME＋EC＝＋2＝.在Rt△FMC中，tan∠FCE＝. 19.如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝5，P为边AB上一点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD于点Q，连接CQ，CQ平分∠DCP. (1)求证：△PCQ≌△DCQ. (2)求线段PQ的长. (3)求四边形PQDC的面积. (4)M为直线DC或直线DA上一点，在平面内是否存在点N，使以P，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，求出DM的长度；若不存在，请说明理由. 答案：(1)证明：由题意知∠QPC＝90°，因为四边形ABCD是矩形，所以∠QDC＝90°，即∠QPC＝∠QDC.因为CQ平分∠DCP，所以∠PCQ＝∠DCQ.在△PCQ和△DCQ中，，所以△PCQ≌△DCQ(AAS). (2)解：因为四边形ABCD是矩形，所以AD＝BC＝4.由(1)知DC＝PC＝AB＝5，PQ＝QD.在Rt△BPC中，PC＝5，BC＝4，由勾股定理，得BP＝3，所以AP＝2.设QD＝x，则PQ＝x，AQ＝4－x.在Rt△APQ中，由勾股定理，得AQ2＋AP2＝PQ2，即(4－x)2＋22＝x2，解得x＝，所以PQ＝QD＝. (3)解：四边形PQDC的面积为. (4)解：存在点N，使得以P，C，M，N为顶点的四边形为矩形，此时DM的长度为2或.(详细答案见参考答案) 20.如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点(点E不与B，C重合)，点F在线段AE上，过点F的直线MN⊥AE，分别交AB，CD于点M，N. (1)如图①，当点N与点D重合时，求证：△ABE≌△DAM. 答案：(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝AD，AB∥DC，∠DAB＝∠ABC＝90°，所以∠BAE＋∠BEA＝90°.因为MN⊥AE于F，所以∠BAE＋∠AMN＝90°，则∠BEA＝∠AMN.在△ABE和△DAM中，，所以△ABE≌△DAM(AAS). (2)如图②，当点F为AE的中点时，连接正方形的对角线BD，分别交MN于点G，交AE于点O，连接BF.求证：BF＝FG. 答案： (2)证明：如图，连接AG，EG，CG.由正方形的轴对称性得△ABG≌△CBG，所以AG＝CG，∠GAB＝∠GCB.因为MN⊥AE于F，F为AE的中点，所以AG＝EG，所以EG＝CG，∠GEC＝∠GCE，所以∠GAB＝∠GEC.由图可知∠GEB＋∠GEC＝180°，所以∠GEB＋∠GAB＝180°.又因为四边形ABEG的内角和为360°，∠ABE＝90°，所以∠AGE＝90°.在Rt△ABE和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，所以BF＝AE，FG＝AE，即BF＝FG. 解：OG＝.(详细答案见参考答案) (3)在(2)的条件下，若正方形ABCD的边长为4，BE＝1，求线段OG的长度. 21.如图，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF. (1)如图①，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.求证：△AGE≌△AFE. (2)如图①，若BE＝2，DF＝3，求△AEF的面积. (3)如图②，连接BD交AE于点M，交AF于点N.求证：BM2＋DN2＝MN2. 答案：(1)证明：由旋转的性质可知AF＝AG，∠DAF＝∠BAG.因为四边形ABCD为正方形，所以∠BAD＝90°.因为∠EAF＝45°，所以∠BAE＋∠DAF＝45°，所以∠BAG＋∠BAE＝45°，则∠GAE＝∠FAE.在△AGE和△AFE中，，所以△AGE≌△AFE(SAS). (2)解：S△AEF＝15. (3)证明：如图②所示，将△ABM逆时针旋转90°得△ADM'.因为四边形ABCD为正方形，所以∠ABD＝∠ADB＝45°.由旋转的性质可知∠ABM＝∠ADM'＝45°，BM＝DM'，所以∠NDM'＝90°，所以NM'2＝ND2＋DM'2.因为∠EAM'＝90°，∠EAF＝45°.所以∠EAF＝∠FAM'＝45°.在△AMN和△AM'N中，，所以△AMN≌△AM'N(SAS)，则MN＝NM'.又因为BM＝DM'，所以BM2＋DN2＝MN2.(详细答案见参考答案) 22.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点F是边CD上一动点(不与点C，D重合)，连接AF并延长交BC的延长线于点G，点E是AF的中点. (1)如图①，当点F为CD的中点时，求证：△AFD≌△GFC. (2)如图②，连接BE，当BE＝AB时，求DF的长. (3)如图③，连接AC，ED，将ED绕点E逆时针旋转，使点D的对应点D'落在AC(不与点A重合)上，连接FD'，问∠FD'C的度数是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.   答案：(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以∠FDA＝∠FCG＝90°.因为点F为CD的中点，所以DF＝CF.又因为∠DFA＝∠CFG，所以在△AFD和△GFC中，，所以△AFD≌△GFC(ASA). (2)解：DF＝8－4. (3)解：∠FD'C的度数是定值且为90°.(详细答案见参考答案) 23.［问题提出］数学课上，老师给出了这样一道题：在正方形ABCD中，E是对角线AC上一动点，过点D作DE的垂线，过点C作AC的垂线，两垂线相交于点F，作射线FE，分别交边AB，CD于点G，H.试探究线段EG与FH的数量关系. 小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下. (1)［观察猜想］小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究.如图①，若E是对角线AC的中点，试判断线段EG与FH的数量关系，并说明理由. 答案：解：(1)结论：EG＝FH.理由：在正方形ABCD中，AD＝CD.又因为点E是AC的中点，所以DE⊥AC，DE＝EC.因为DF⊥DE，FC⊥AC，所以四边形DECF是正方形，所以EF⊥DC，且H是DC的中点，即G是AB的中点.因为E是AC的中点，所以GE＝EH＝HF，即GE＝HF. (2)［推理验证］小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，(1)中的结论仍然成立，请你就图②的情形判断他的说法是否正确，并说明理由. 答案：(2)正确.理由：过点E作EM⊥AB于点M，过点F作FP⊥CD于点P，如图.因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD，AD＝CD，∠ADC＝90°，∠DAC＝∠ACD＝∠BAC＝45°，所以∠ADE＋∠EDC＝90°.因为DE⊥DF，所以∠EDC＋∠CDF＝90°，所以∠ADE＝∠CDF.因为AC⊥CF，所以∠ACF＝90°，所以∠DCF＝∠ACF－∠ACD＝90°－45°＝45°，则∠DCF＝∠ACD＝∠DAC，所以△ADE≌△CDF(ASA)，则AE＝CF.因为∠BAC＝∠DCF＝45°，EM⊥AB，FP⊥CD，所以∠EMG＝∠FPH＝90°，ME＝AE，PF＝CF.因为AE＝CF，所以ME＝PF.因为AB∥CD，所以∠MGE＝∠PHF，所以△MEG≌△PFH(AAS).故EG＝FH. $$