2025年中考数学一轮复习课件：第31讲解直角三角形

第31讲　解直角三角形 直角三角形的边角关系 1.安装自动扶梯时，规定自动扶梯与水平地面倾斜角度不能超过30°.如图，某商场准备安装自动扶梯，且自动扶梯与地面所成角度为27°.商场每层楼平均高度为4 m，求每层楼所需要自动扶梯 AB 的长度.(结果精确到0.01 m，参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51) 答案：解：由题意，得BC⊥AC，BC＝4 m. 在Rt△ABC中，∠BAC＝27°， 所以AB＝≈8.89(m)， 所以每层楼所需要自动扶梯AB的长度约为8.89 m. 2.如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有金属回声.已知A，B两点相距8 米，探测线AC，BC与地面的夹角分别是30°和45°，试确定有金属回声的点C的深度是多少米. 答案：解：如图，作CD⊥AB于点D，所以∠ADC＝90°. 因为探测线与地面的夹角分别是30°和45°， 所以∠DBC＝45°，∠DAC＝30°.在Rt△DBC中，∠DCB＝45°， 所以DB＝DC. 在Rt△DAC中，∠DAC＝30°， 所以AC＝2CD. 因为AB＝8，由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2， 所以(8＋CD)2＋CD2＝(2CD)2， 则CD＝4±4. 因为CD＝4－4不合题意，舍去)，所以CD＝(4＋4米， 所以有金属回声的点C的深度是(4＋4米. 3.某社团在课余时间用无人机为学校航拍宣传片，如图，A—B—C为无人机某次空中飞行轨迹，D为BC延长线上一点，点A，B，C，D在同一平面内，∠B＝30°，∠ACD＝78.3°.若AC＝80米，求AB的长.(结果保留整数，参考数据：sin78.3°≈0.98，sin48.3°≈0.75，cos48.3°≈0.67，≈1.73) 答案：解：如图，过点C作CE⊥AB于点E. 因为∠ACD＝∠A＋∠B，所以∠A＝48.3°.因为sinA＝，cosA＝， 所以CE＝AC·sin48.3°≈60 米， AE＝AC·cos48.3°≈53.6 米. 因为∠B＝30°， 所以BE＝CE≈103.8 米，∴AB＝AE＋BE≈157 米. 答：AB的长约为157 米. 4.在春节假期期间，某县举办“新春灯会·喜迎龙年”活动，引进了现代光电技术，让古老的彩灯艺术焕发出青春的熠熠光芒.如图是某地灯会现场部分示意图，AB为主灯塔，BC为汇展舞台，CD⊥BC于点C，一束灯光的光线从主灯塔A处发出，经过平面镜D处，反射到达舞台中央E处(MN为法线).测得水平方向CE＝BE＝4m，∠CED＝42°.(结果保留一位小数，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9) (1)求CD的高度. (2)求主灯塔AB的高度. 答案：解：(1)因为CD⊥BC，所以∠DCE＝90°.在Rt△CDE中，∠DEC＝42°，CE＝4m，所以CD＝CE·tan42°≈4×0.9＝3.6(m)，即CD的高度约为3.6 m. (2)如图，延长MN交AB于点G，由题意，得∠ADG＝∠EDG，DG⊥AB，CD＝BG＝3.6m，BC＝DG＝CE＋BE＝4＋4＝8(m).因为DG∥BC，所以∠EDG＝∠DEC＝42°，∠ADG＝∠EDG＝42°.在Rt△ADG中，AG＝DG·tan42°≈8×0.9＝7.2(m)，所以AB＝AG＋BG＝7.2＋3.6＝10.8(m)，即主灯塔 AB 的高度约为10.8 m. 5.贵阳乌当惜字塔位于贵阳市乌当区，它是贵阳当地历史悠久的古塔之一.某校九(1)班利用周末时间开展“测量乌当惜字塔高度”的实践活动.如图，乌当惜字塔AB垂直于地面，在塔的两侧不远处取C，D两点，C，D两点之间的距离为22 m，并测量出∠ACB＝45°，∠ADB＝42°.(结果保留一位小数，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，≈1.41) (1)求乌当惜字塔 AB 的高度. (2)同学们发现，在塔身第三层的位置镌嵌着“过”“化”“存”“神”四个大字，于是在D点观察第三层时测量到∠EDB＝25°，求四个大字所在的第三层距离地面的高度. 答案：解：(1)由题意，得AB⊥CD，设BC＝a m. 因为CD＝22 m，所以BD＝CD－BC＝(22－a)m. 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以AB＝BC·tan45°＝a m. 在Rt△ADB中，∠ADB＝42°，所以AB＝BD·tan42°≈0.9(22－a)m， 则a＝0.9(22－a)，解得a≈10.4，所以AB＝BC＝10.4 m， 即乌当惜字塔AB的高度约为10.4 m. (2)由(1)得BC＝AB＝10.4 m，所以BD＝CD－BC＝22－10.4＝11.6(m). 在Rt△EBD中，∠EDB＝25°，所以BE＝BD·tan25°≈11.6×0.47≈5.5(m)， 即四个大字所在的第三层距离地面的高度约为5.5 m. 6.王阿姨要在家门口安装一款摄像头，该设备能监测到一定范围的户外情况.如图，BF为水平地面，摄像头安装在大门AB上的点 A 处，设置被监测人或物的高度 DF＝CE＝1.7 米，CD为监测范围.为了达到良好的效果，要求监测范围不少于3.5 米，已知∠CAG＝45°，∠DAG＝72°，请计算摄像头的最低安装高度AB是多少.(结果精确到0.1米，参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08) 答案：解：由题意，可知四边形BGDF、四边形BGCE是矩形，△AGC，△AGD是直角三角形，所以BG＝CE＝1.7 米，CD≥3.5 米.在Rt△AGC中，CG＝AG. 在Rt△AGD中，DG＝AG·tan∠DAG≈3.08AG. 因为CD＝DG－CG≈3.08AG－AG＝2.08AG， 所以 2.08AG≥3.5，则AG≥ 米. 因为AB＝AG＋BG＞＋1.7≈3.4(米)，所以摄像头的最低安装高度AB是3.4 米. 7.图乙为某大桥桥形(图甲)示意图.拉索AB与水平桥面的夹角约为37°，拉索CD与水平桥面的夹角约为53°，两拉索顶端的距离BC为3 米，两拉索底端距离AD为20 米，求立柱BH的长.)(结果精确到0.1 米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈) 答案：解：设CH＝x 米，则BH＝(x＋3)米.在Rt△CDH中，∠CDH＝53°， 因为tan∠CDH＝，所以DH＝x 米. 在Rt△BAH中，∠BAH＝37°， 因为tan∠BAH＝，所以AH＝x＋3)米. 因为AD＝20 米，所以 x＋3)－x＝20，解得 x≈27.4，则 BH＝BC＋CH≈3＋27.4＝30.4(米). 答：立柱BH的长约为30.4 米. 8.如图，一把人字梯立在地面上，∠α＝50°，AB＝AC，梯子顶端离地面的高度AD是1.54 米. (1)求AB的长. (2)移动梯子底端，当△ABC是等边三角形时，求顶点A上升的高度.(精确到0.1 米) (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73) 答案：解：(1)因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC＝90°. 因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝50°. 在Rt△ADB中，因为AD＝1.54 米， 所以AB＝＝2(米)，即AB的长约为2 米. (2)当△ABC是等边三角形时，∠ABC＝60°.在Rt△ADB中，因为AB＝2 米， 所以AD＝AB·sin60°＝2×米)， 所以顶点A上升的高度为－1.54≈0.2(米). 9.学校数学社团开展“测量两地间的距离”的数学活动，为了测量湖中A，B两点之间的距离，设计了如下方案：如图，在湖边选取C，D两点，使得A，B，C，D在同一平面上，测得CD＝35 米，∠ACB＝∠BCD＝45°，∠ADC＝20°，∠ADB＝48°.(参考数据：tan20°≈0.4，sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan48°≈1.1，sin48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan68°≈2.5，sin68°≈0.9，cos68°≈0.4) (1)求点B到CD的距离.(结果精确到1 米) (2)求AB的长.(结果保留根号) 答案：解：(1)如图，过点B作BE⊥CD，垂足为E，设CE＝x 米.因为CD＝35 米，所以DE＝CD－CE＝(35－x)米.在Rt△BCE中，因为∠BCD＝45°，所以BE＝CE＝x 米.在Rt△BDE中，因为∠BDE＝∠ADB＋∠ADC＝68°，所以BE＝DE·tan68°≈2.5(35－x)米，则x＝2.5(35－x)，解得 x＝25，即CE＝BE＝25 米，所以点B到CD的距离约为 25 米. (2)如图，过点A作AF⊥BE，垂足为F.因为∠ACB＝∠BCD＝45°，所以∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°.由题意，得AC＝EF，AF＝CE＝25 米，在Rt△ACD中，∠ADC＝20°，CD＝35 米，所以AC＝CD·tan20°≈35×0.4＝14(米)，则AC＝EF＝14 米，所以BF＝BE－EF＝25－14＝11(米).在Rt△ABF中，AB＝米)，所以AB的长约为 米. 俯角与仰角 10.如图，无人机在空中C处测得地面A，B两点的俯角分别是60°，45°，此时无人机距离地面的高度CH是60米，点A，H，B在同一水平直线上，求A，B两点之间的距离是多少米. 答案：解：由题意，得∠CHA＝∠CHB＝90°，CH＝60，所以∠A＝60°，∠B＝45°. 在Rt△ACH中，AH＝＝20. 在Rt△BCH中，BH＝＝60. 所以AB＝AH＋BH＝20＋60. 答：A，B之间的距离是(20＋60)米. 11.如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角∠DAB＝30°，测量这栋高楼底部的俯角∠DAC＝60°，热气球与高楼的水平距离AD为15米，求这栋高楼的高BC. 答案：解：在Rt△BAD中，AD＝15 米，∠DAB＝30°. 因为tan∠DAB＝，所以BD＝AD·tan∠DAB＝15＝15(米). 在Rt△CAD中，AD＝15 米，∠CAD＝60°. 因为tan∠CAD＝，所以CD＝AD·tan∠CAD＝15＝45(米)， 所以BC＝BD＋CD＝15＋45＝60(米). 答：这栋高楼的高BC为60 米. 12.一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5 米到达点Q，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3 米，求无人机距地面的高度.(结果精确到1 米，参考数据：≈1.414，≈1.732) 答案：解：如图，延长BA交PQ于点C， 由题意，得BC⊥PC，PQ＝5 米，设QC＝x 米， 所以PC＝QC＋PQ＝(x＋5)米. 在Rt△PCA中，∠P＝30°，所以AC＝PC·tan30°＝x＋5)米. 因为AB＝3 米，所以BC＝AC＋AB＝米. 在Rt△QCB中，∠CQB＝45°，所以CB＝QC＝x 米， 则x＋5)＋3＝x，解得x＝7＋4， 所以BC＝7＋4≈14(米). 答：无人机距地面的高度约为14 米. 13.某综合实践小组计划测量某火车站旗杆的高度.如图，他们在火车站前选取的测量点B与候车大厅的底部A在同一水平线上.已知，AB＝19.2 m，竖直放置的支架BC＝4.3 m，在B处测得旗杆底部D的仰角为26.6°，在C处测得旗杆顶部E的仰角为21.8°，求旗杆ED的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40) 答案：解：如图，过点C作CF⊥AE，垂足为F，由题意，得BC＝AF＝4.3 m，CF＝AB＝19.2 m. 在Rt△ABD中，因为∠ABD＝26.6°，所以AD＝AB·tan26.6°≈19.2×0.5＝9.6(m).在Rt△CEF中，因为∠ECF＝21.8°，所以EF＝CF·tan21.8°≈19.2×0.4＝7.68(m)， 则DE＝AF＋EF－AD＝4.3＋7.68－9.6≈2.4(m)， 即旗杆ED的高度约为2.4 m. 14.如图所示，有一条东西走向的高速公路MN，距离公路MN的正上方高度为9 m处有一高频高清摄像头P，此时摄像头P探测到公路点A的俯角是75°，探测到公路点B的俯角是30°.(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24) (1)求图中PB的长度. (2)若交通规则要求测速区域AB的范围为10~20 m，请判断该摄像头P的安装距离是否符合要求. 答案：解：(1)如图，过点 B 作BD⊥PC，垂足为D.在Rt△BDP中，BD＝9m，∠DPB＝30°，所以PB＝2BD＝18 m，即图中PB的长度为18 m. (2)该摄像头P的安装距离符合要求.理由：如图，过点A作AE⊥PB，垂足为E.由题意，得PC∥MN，所以∠DPB＝∠ABP＝30°.因为∠DPA＝75°，所以∠APB＝∠DPA－∠DPB＝45°.设AE＝x m，在 Rt△APE中，PE＝＝x m.在 Rt△AEB 中，∠ABE＝30°，所以BE＝AE＝x m，AB＝2AE＝2x m.因为PE＋BE＝PB，所以x＋x＝18，解得x＝9－9，所以AB＝2x＝18－18≈13.14(m).因为交通规则要求测速区域AB的范围为10~20 m，所以该摄像头P的安装距离符合要求. 15.如图，某兴趣小组测量一棵树AB的高度，在这棵树的两侧有同样规格的测角仪CD和EF，从C处测得树顶端A的仰角为48°，从E处测得树顶端A的仰角为59°，测得DF＝24 米.已知CD，AB，EF在同一平面且同时垂直于水平地面DF，测角仪高度为1.5 米，求树AB的高度.(结果精确到0.1 米，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60) 答案：解：如图，连接CE交AB于点G， 由题意，可知CE⊥AB，CE＝DF，BG＝CD，设AG＝x 米. 在Rt△ACG中，∠CAG＝90°－∠ACG＝42°， 所以CG＝AG·tan∠CAG≈0.90x 米. 在Rt△AEG中，∠EAG＝90°－∠AEG＝31°， 所以EG＝AG·tan∠EAG≈0.60x 米， 所以DF＝CE＝CG＋EG＝0.90x＋0.60x＝24，解得x＝16，即AG＝16 米， 则AB＝AG＋BG＝16＋1.5＝17.5(米). 答：树AB的高度约为17.5 米. 16.如图①所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成.其示意图如图②，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆AB间的夹角∠BDC＝60°.综合实践小组的同学在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3 m，EF＝9 m(A，E，F在同一条直线上). (1)求灯管支架底部距地面高度AD的长.(结果保留根号) (2)求灯管支架CD的长度.(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73) 答案：解：(1)在Rt△DAE中，∠AED＝60°，AE＝3 m，所以AD＝AE·tan60°＝3 m，所以灯管支架底部距地面高度AD的长为3 m. (2)如图所示，延长FC交AB于点G.因为∠DAE＝90°，∠AFC＝30°，所以∠DGC＝90°－∠AFC＝60°.因为∠GDC＝60°，所以∠DCG＝180°－∠GDC－∠DGC＝60°，所以△DGC是等边三角形，则DC＝DG.因为EF＝9 m，AE＝3 m，所以AF＝AE＋EF＝12 m.在Rt△AFG中，AG＝AF·tan30°＝12×＝4m)，所以DC＝DG＝AG－AD＝4－3≈1.7(m)，即灯管支架CD的长度约为1.7 m.   17.如图，一架无人机在湖面上空停留在点M处，现要测量无人机的飞行高度，采取如下步骤： (1)先站在PQ的边沿点P处，从点A观测无人机 M，满足AP⊥PQ，记录仰角α＝37°. (2)再从点 A 观测湖面中无人机 M 的倒影 M'，并记录俯角β＝60°. 已知：AP＝3 m，湖面PQ近似地看作水平面，不考虑折射现象，图中所有的点均在同一平面内，请你根据以上数据求出无人机 M 距离湖面PQ的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73) 答案：解：如图，过点A作AC⊥MM'于C，AM'与MM'分别交PQ于点D，E.在Rt△MAC中，tanα＝≈0.75.设MC＝3x，AC＝4x.因为AC⊥MM'，PQ⊥MM'，所以AC∥PQ，所以∠β＝∠M'DE＝60°，则M'C＝AC·tanβ＝·AC＝4x.因为点 M与点 M' 关于PQ对称，所以 ME＝M'E，则 MC＋CE＝M'C－CE，所以3x＋3＝4x－3，解得x＝，所以ME＝3×＋3≈7.6(m).答：无人机 M 距离湖面PQ的高度约为7.6 m. 方向角与坡度 18.某校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12 m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A，B，C，D在同一平面内.求CD的长度.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73) 答案：解：如图，延长BA交CG于点E，则BE⊥CG. 在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12 m， 所以AE＝AC＝×12＝6(m)，CE＝AC·cosα＝12×＝6m). 在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，BE＝CE·tan∠BCE＝6＝18(m). 在Rt△BDE中，∠BDE＝27°， 所以CD＝DE－CE＝－6≈24.9 m. 答：CD的长度约为24.9 m. 19.如图所示，某校数学兴趣小组实地来到一段东西走向的公路上，在博物馆A测得图书馆P在北偏东60°方向上，继续往东走2 km到了科技馆B，测得图书馆P在北偏东30°方向上，求图书馆P到博物馆A的距离.(参考数据：≈1.732，结果精确到0.01 km) 答案：解：如图，过点P作PD⊥AC，交AC于点D， 由题意，得∠PBD＝60°，∠PAD＝30°，所以∠BPA＝∠PBD－∠PAD＝60°－30°＝30°， 所以∠BPA＝∠PAD，则PB＝AB＝2 km， 在Rt△PBD中，∠PBD＝60°. 因为sin∠PBD＝，所以PD＝PB·sin∠PBD＝2×km). 在Rt△PAD中，∠PAD＝30°. 因为sin∠PAD＝，所以PA＝＝2≈3.46(km). 答：图书馆到博物馆的距离约为3.46 km. 20.如图，某海域中有两个灯塔 A，B，其中 B 位于 A 的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔 A 在西北方向上，灯塔 B 在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行40 海里到达点 D，这时测得灯塔 A 在北偏西60°方向上，求灯塔 A，B间的距离.(结果保留根号) 答案：解：过点A作AF⊥DC，垂足为F，过点D作DE⊥CD，如图所示.由题意，得∠FCA＝∠ACN＝45°，∠NCB＝30°，∠ADE＝60°，则∠FAD＝60°，∠FAC＝∠FCA＝45°，∠ADF＝30°，所以AF＝FC＝AN＝NC.设AF＝FC＝x 海里，所以tan∠ADF＝，解得x＝20＋1).因为tan∠NCB＝，所以，解得BN＝(20＋)海里，所以AB＝AN＋BN＝20＋1)＋20＋＝(40＋)海里.答：灯塔A，B间的距离为(40＋)海里. 21.如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到 A 处时，测得码头C 在北偏东60°的方向上.为了躲避 A，C 之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°的方向继续航行，当它航行到 B 处后，又沿着南偏东70°的方向航行40 海里到达码头C.(参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192) (1)求∠ACB的度数. (2)求货轮从 A 处到 B 处航行的距离.(结果精确到0.1海里) 答案：解：(1)如图，过点B作BD∥AF，交AC于点D，则∠BDC＝∠FAC＝60°.因为∠DBC＝70°，所以∠C＝180°－∠BDC－∠DBC＝180°－60°－70°＝50°. (2)如图，过点B作BE⊥AC于E，在Rt△BEC中，BC＝40 海里，∠C＝50°.因为 sinC＝，所以BE＝BC·sinC≈40×0.766＝30.64(海里).在 Rt△ABE中，∠BAE＝30°，则 AB＝2BE＝2×30.64≈61.3(海里).答：货轮从A处到B处航行的距离约为61.3 海里. 22.如图，AB是一条东西走向的海岸线，码头A和码头B相距30 海里，在码头A南偏东45°的海岛C处有一艘轮船正向码头A正南方向的海岛D行驶，轮船到达海岛D后测得海岛C在海岛D的北偏东75°方向上，而码头B在海岛D的北偏西30°方向上. (1)已知关于α，β两角和的公式 tan(α＋β)＝，请利用公式计算 tan75°. (2)利用(1)中的结论，求码头 A 与海岛 C 之间的距离.(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，结果精确到0.1 海里) 答案：解：(1)tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝2＋. (2)如图，过点C作CE⊥AD，垂足为E.由题意，得∠BAD＝90°.在Rt△ABD中，AB＝30 海里，∠ADB＝30°，所以AD＝＝30海里).设DE＝x 海里，则AE＝AD－DE＝(30－x)海里，AC＝＝(30x)海里.在Rt△CDE中，因为∠CDE＝75°，所以CE＝DE·tan75°＝(2＋x 海里.在Rt△ACE中，∠CAE＝45°，所以CE＝AE·tan45°＝(30－x)海里，则30－x＝(2＋x，解得x＝15－15，所以AC＝30x＝30×(15－15)＝15＋15≈57.9(海里).答：码头 A与海岛 C 之间的距离约为57.9 海里. 23.如图，某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为31°，沿倾斜角为 20°的斜坡前进1 000 m后到达 D 处，又测得山顶 B 的仰角为71.57°，求山 BC 的高度.(参考数据：tan31°≈0.60，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan71.57°≈3.00) 答案：解：如图，过点D作DF⊥AC，垂足为F，由题意，得DF＝CE，DE＝CF，设DE＝CF＝x m.在Rt△ADF中，∠DAF＝20°，AD＝1 000 m，所以AF＝AD·cos20°≈1 000×0.94＝940(m)，DF＝AD·sin20°≈1 000×0.34＝340(m)，则CE＝DF＝340 m，AC＝AF＋CF＝(940＋x)m.在Rt△BDE中，因为∠BDE＝71.57°，所以BE＝DE·tan71.57°≈3x m.在Rt△ABC中，因为∠BAC＝31°，所以BC＝AC·tan31°≈0.6(940＋x)m.因为BE＋CE＝BC，所以3x＋340＝0.6(940＋x)，解得x＝，所以BC＝3×＋340＝620(m)，即山 BC 的高度约为620 m. 24.为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示(图中地面AD与通道BC平行)，通道水平宽度BC为8 米，∠BCD＝135°，通道斜面CD的长为6 米，通道斜面AB的坡度i＝1∶.(结果精确到0.1 米，参考数据：≈1.41，≈2.24，≈2.45) (1)求通道斜面 AB 的长. (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长.   答案：解：(1)如图，过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M.因为∠BCD＝135°，所以∠DCM＝45°.在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，CD＝6，所以DM＝CM＝CD＝3，AN＝DM＝3.因为通道斜面AB的坡度i＝1∶，所以tan∠ABN＝，则BN＝AN＝6，所以AB＝＝3≈7.4，即通道斜面AB的长约为7.4 米. (2)在Rt△MED中，∠EMD＝90°，∠DEM＝30°，DM＝3，所以EM＝DM＝3，EC＝EM－CM＝3－3，所以BE＝BC－EC＝8－(3－3＝8＋3－3≈4.9，即此时BE的长约为4.9 米. 25.如图，小明为了测量小河对岸大树 BC 的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是45°，沿坡比为1∶2的斜坡走了 米到达斜坡上的点D处，此时测得大树顶端点 B的仰角为31°. (1)求小明从点 A走到点 D 的过程中，他上升的高度. 答案：解：(1)如图，过点D作DG⊥CE，垂足为G. 因为斜坡AD的坡比为1∶2，所以 ， 设DG＝x 米，则AG＝2x 米. 在Rt△ADG中，AD＝x(米). 因为AD＝ 米， 所以x＝，解得x＝， 所以DG＝ 米，AG＝3 米， 所以小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度为 米. (2)大树BC的高度约为多少米？(参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60) 答案：(2)如图，过点D作DH⊥BC，垂足为H.由题意，得DG＝CH＝ 米，DH＝CG，设AC＝y 米. 因为AG＝3 米，所以DH＝CG＝AC＋AG＝(y＋3)米. 在Rt△ABC中，因为∠BAC＝45°，所以BC＝AC·tan45°＝y 米. 在Rt△DBH中，因为∠BDH＝31°，所以BH＝DH·tan31°≈0.6(y＋3)米. 因为BH＋CH＝BC，所以0.6(y＋3)＋＝y， 解得y＝8.25，即BC＝8.25 米， 所以大树BC的高度约为8.25 米. $$