4.2.1指数函数的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2.1指数函数的概念 2 问题１　随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2011年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票． 下表给出了Ａ，Ｂ两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 问题探究 3 问题探究 A地景区大约每年增长10万次 4 为了有利于观察规律，根据表，分别画出Ａ，Ｂ两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图 问题探究 Ａ地：游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为１０万次） Ｂ地：游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量 都难以看出变化规律． 5 我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？   结果表明，Ｂ地景区的游客人次的年 增长率都约为0.11是一个常数． 增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量． 求年增加量用减法，求年增长率，可以用除法 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长。因此， B地景区游客人次近似于指数增长 6 从２００１年开始，Ｂ地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 问题探究 这是一个函数，其中指数x是自变量 7 问题２当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间 称为“半衰期”． 按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 8 常数 9 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N， 每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y=N(1+p)x ， x∈N.形如y=kax (k∈R，a>0，且a≠1)的函数是刻画指数增长 或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型. 一：指数增长模型 二:指数函数的定义 一般地，y=a^x函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R 。 注意，在指数函数的定义表达式中，在a^x前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数 。 10 与指数函数有关的定义域、值域问题 例 2 11 12 [归纳提升]　1.函数单调性在求函数值域中的应用 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(a)≤f(x)≤f(b)，值域为[f(a)，f(b)]． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(a)≥f(x)≥f(b)，值域为[f(b)，f(a)]． 13 2．函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域． 函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． (2)值域． ①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 14 15 【题组训练】 1.荷塘里，已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以 完全长满荷塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的 时，荷叶已生长了(　　) A.10天 B.15天 C.16天 D.19天 21 【解析】选C.设荷叶覆盖水面的初始面积为a， 则x天后荷叶覆盖水面的面积y=a·2x(x∈N+)， 根据题意，令a·2x= a·220， 解得x=16. 22 2.为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%. 如果按此规律，设2015年的耕地面积为m，则2020年的耕地面积为 (　　) A.(1-0.1250)m B. m C.0.9250m D.(1- )m 【解析】选B.设每年耕地减少的百分率为a， 则有(1-a)50=1-10%， 所以a=1- ，则从2015年起， 过x年后耕地面积y与x的函数关系是y=m(1-a)x= m.当x=5时，y= m. 23 【补偿训练】碳14的半衰期为5 730年，那么碳14的年衰变率为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【解析】选C.设碳14的年衰变率为m，原有量为1，则m5 730= ， 解得m= ， 所以碳14的年衰变率为 . 24 指数函数 的概念 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 指数函数的定义 指数型函数模型 指数型函数模型公式：原有量为N，每次的增长（衰减）率为p，经过x次增长（衰减），该量增长到y，则 y=N(1±p）x（x N） 指数函数的底数大于0且不等于1 指数型函数的实际应用中，忽视自变量的取值范围 数学抽象：通过具体实例引入指数函数的定义，培养数学抽象的核心素养 数学建模：通过指数型函数的实际应用，培养数学建模的核心素养 25 知识点二　指数型函数模型 形如y＝kax(k为非零常数，a>0，且a≠1)的函数为指数型函数模型． 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3). (1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式； (2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？ 解：(1)过滤1次后的杂质含量为eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq \f(2,100)×eq \f(2,3)； 过滤2次后的杂质含量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,100)×\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(2)； 过滤3次后的杂质含量为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,100)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(3)；… 过滤n次后的杂质含量为eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(n)(n∈N*)． 故y与n的函数关系式为y＝eq \f(1,50)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(n)(n∈N*)． (2)由(1)知当n＝7时，y＝eq \f(1,50)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(7)＝eq \f(64,54 675)>eq \f(1,1 000)， 当n＝8时，y＝eq \f(1,50)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(8)＝eq \f(128,164 025)<eq \f(1,1 000)，所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求． [解]　现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)． 经过2年后木材蓄积量为：200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2. ∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x. ∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.函数的定义域为x∈N*. 指数函数型的实际应用 [例3]　(链接教科书第114页例2)某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%. 若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域． eq \a\vs4\al() 指数函数在实际问题中的应用 (1)利用数学方法解决实际问题时，应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题； (2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型．　　　　 答案：82 [跟踪训练] 某地区2010年年底的人口数量为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2021年年底该地区的人均住房面积至少为7平方米，则平均每年新增住房面积至少________万平方米(精确到1万平方米，参考数据：1.019≈1.093 7，1.0110≈1.104 6，1.0111≈1.115 7)． 解析：设平均每年新增住房面积x万平方米，则eq \f(500×6＋11x,500×（1＋1%）11)≥7，解得x≥82.27≈82.即平均每年新增住房面积至少82万平方米． $$