第27章 相似　单元同步练习题　　　2024—2025学年人教版九年级数学下册　

2024-2025学年人教版九年级数学下册《第27章相似》单元同步练习题（附答案） 一、单选题 1．已知，那么下列等式一定成立的是（    ） A．， B． C． D． 2．下列语句叙述正确的是（    ） A．有一个角是的等腰三角形都相似 B．有一个角是的直角三角形都相似 C．有一个角是的锐角三角形都相似 D．有一个角是的钝角三角形都相似 3．已知点P是线段的黄金分割点，那么的长是（    ） A． B． C． D． 4．已知在中，、分别是边、的中点，，与相交于点，那么等于（   ） A． B． C． D． 5．在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为米的人的影长为米，那么影长为米的旗杆的高是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 6．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，是的中线，点E是的中点，连接并延长，交于点F，若．则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度． 题目 测量河流宽度 目标示意图 测量数据 ，， 则（   ）m A． B． C．40 D．50 9．如图，在中，，是边上的高，，，则等于（   ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图像上．若直线的函数表达式为，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，且，则的值是 ． 12．如图，在中，是上一点，，，，则的长是 ． 13．如图，用手电来测量古城墙高度的示意图，将水平的平面镜放置在点P处，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，若，，且米，米，米，则该古城墙的高度约是 米． 14．如图，已知，若，，，则的长为 ． 15．如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是 （写出一个即可）．    16．如图：在的内接矩形，长边在边上，于，交于，已知，，，那么 ． 17．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿向点C以的速度移动，点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． ①问点P、Q同时出发， 秒后可使的长为？ ②问点P、Q同时出发， 秒后可使与相似？ 18．如图，和是以点为位似中心的位似图形，和的面积之比为，点的坐标为；若点的横坐标为8，则点的对应点的横坐标为 ． 19．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，抛物线经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．若点P在射线上，且，则点P的坐标是 ． 20．如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段AB按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，请解答下列问题： （1）当 时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （2）当 时，的面积等于4． 三、解答题 21．如图，在和中，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止连接、、．    (1)若与相似，求动点的运动时间； (2)在运动过程中，当时，求动点的运动时间； (3)在运动的过程中，能否为的中位线？说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是．    (1)请画出； (2)请直接写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________． 24．如图，是的直径，点D是直径上不与A，B重合的一点，过点D作，且，连接交于点F，在上取一点E，使． (1)求证：是的切线； (2)当D是的中点时，，求的长． 25．在梯形中，，E在边上且． (1)如左图，若点F在边上，且，连结，求证：； (2)如图，已知，点M在边上，连结、、，与交于点N．若，，，求边的长． 26．如图，双曲线经过斜边的中点，交直角边于点，连接，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求证：． 27．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度米，米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高的影长米，米． 如图，已知，，，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高的长度． 28．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．直线经过两点，点是轴正半轴上一点，且． (1)求直线的解析式； (2)点是直线上一动点，在坐标平面内有一点，当四边形为菱形时，求出点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使其与三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1）？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C A B B D B B 1．解：A、由不能得出，，故A不符合题意； B、由可得，故B不符合题意； C、由可得，故C符合题意； D、由可得，故D不符合题意； 故选：C． 2．解：A、有一个角是的等腰三角形不一定相似，如、、的等腰三角形和、、的等腰三角形不相似，故本选项错误； B、有一个角是的直角三角形都相似，正确； C、有一个角是的锐角三角形不一定相似，如 、、的锐角三角形和、、的锐角三角形不相似，故本选项错误； D、有一个角是的钝角三角形不一定相似，如 、、的钝角三角形和、、的钝角三角形不相似，故本选项错误； 故选：B． 3．解：由题意，得：， ∴； 故选C． 4．解：如图， ∵、分别是边、的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴等于． 故选：C． 5．解：设影长为米的旗杆的高是米， 根据题意可得：， 解得：， 即影长为米的旗杆的高是米． 故选：A． 6．解：通过勾股定理可得到已经图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为 A、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； B、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比一样，故两个三角形相似，故符合题意； C、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，3，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； D、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意； 故选：B ． 7．解：过点A作平行线交延长线于点G， ∵， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：D． 9．解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 10．解：在中，令，则，令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图像上， ， 解得：或（不合题意舍去）， ， ， 故选：B． 11．解∶∵，且， ∴， 故答案为∶ ． 12．解：∵， ∴ ∴ ，， ∴，即， 解得：或（舍去）， ， 故答案为：2． 13．解：由题意可知，， ∴， ∴，即， ∴米． 故答案为：． 14．解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．解：由网格的特点和勾股定理可得， ，， ∴，， ∴， 同理可得，， 故答案为：（答案不唯一）． 16．解：四边形是矩形， ，，，， ∵于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵于，， ∴， ∴分别是的高， ∵， ∴设， ∵， ∴， ， ， 即， 解得， 故答案为：6． 17．①解：设秒后, 可使的长为 则， ， ， 根据勾股定理得：， 解得：或 ， ∴2秒或秒后可使的长为 ； ②设秒后可使与相似，则 当时， 即' 解得：， 秒后可使 ， 当时，即 ， 解得 综上所述，满足条件的的值为秒或秒， 故答案为：2或；或． 18．解：如图，作轴于，于， ， 则， ∴， ∴， ∵点的坐标为；若点的横坐标为8， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形，和的面积之比为， ∴和的相似比为， ∴， ∴， ∴， ∴点的对应点的横坐标为， 故答案为：． 19．解： 如图，当P在C的左边时， ∵， ∴，    设， ∴，解得， ∴； 当P在C的右边时，如图，过作轴于H，则 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 此时的横坐标为1，则纵坐标， ∴， 综上：P的坐标为：或． 故答案为：或． 20．（1）解：当时，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 当 或 时，以点P、B、 Q为顶点的三角形与相似． 故答案为：或 （2）如图，过P作，垂足为D，作边上的高， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， 解得：或， 当时，，故不合题意， ∴，即存在，使得的面积等于4． 故答案为：5 21．解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）得，， ∵， ∴， ∵， ∴． 22．（1）解：在中，由勾股定理得 设经过运动时间为t秒时，与相似． 则，，， ； ①当，即时， ； ，即， ． ②当，即时， ， ，即， ． 和都符合，   当动点运动秒或秒时，与相似； （2）解：如图，过点E作于F，    设经过运动时间为t秒时，， 则，，， ； ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， （秒）． （3）解：不能，理由如下： 如图，    若为的中位线，则， 则， ∴， 解得：， 此时，， ∴， ∴不可能为的中位线． 23．（1）解：如图，即为所求．    （2）解：由图可得，，，． （3）解：由题意可得，点的坐标为． 故答案为：． 24．（1）证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．（1）证明：延长和交于点， ∵， ∴， ， ，， ，， ，即， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：延长，交于点，过点作，垂足为点． ∵， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由，得，， ， ， ， ， 设，则， ∵， ，， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ，解得， ， 由勾股定理可得：， ， 解得， ， ， 在中，由勾股定理可得，， ， ． 26．（1）解：的中点是，点的坐标为， ． 双曲线经过点； ， ． （2）解：为直角三角形， ∴轴， ，两点的纵坐标相等，均为4，代入反比例函数解析式得：， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为； （3）证明：，点的坐标为， ，，， ，， ， 又， ． 27．解：由题意可得：，，， 故 ， ， ∴，， 即，， 解得：． 答：“望月阁”的高的长度为． 28．（1）解：当时，，即， 当时，， 解得，， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：设，则，， ∵四边形为菱形，如图： ∴，，即， 解得，， ∴， 由平移的性质可知，， ∴点的坐标为； （3）解：设，则，， 由勾股定理得，， 由题意知，点与三点中的某两点构成的三角形与相似时，分图4中，两种情况； 当时，，即， 解得，， ∴， 解得，（舍负）， ∴； 当时，，即， 解得，， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， 综上所述，存在，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$