第27章 相似 单元达标测试题 2024-2025学年人教版九年级数学下册

2024-2025学年人教版九年级数学下册《第27章相似》单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．若，则的值是（    ） A． B． C．7 D． 2．下列命题中不一定成立的是（   ） A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 B．有一个角是的两个等腰三角形相似 C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D．两个等腰直角三角形相似 3．如图，直线，直线，分别交，，于点，，和，，，若，，则的长等于（    ） A．18 B．20 C．25 D．30 4．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，D在边上，，，若的面积等于6，则的面积为（    ）    A． B．3 C． D．6 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 7．如图已知平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象交于点，交于点，连接，若，的面积是8，则的值为（  ） A． B． C． D． 8．如图，是的直径，为半径，过点作交于点，连接，，，连接交于点，交于点，若图中阴影部分分别用和表示，则下列结论：①；②若为中点，则；③作交于点，则；④若，则；其中正确的个数为（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（满分24分） 9．已知，若，则 ． 10．已知P是线段上的一个黄金分割点，，，那么 ． 11．在某一时刻，测得一根长为1米的竹竿影长为1.6米，同时同地测得一栋居民楼的影长为96米，那么这栋居民楼的高度为 米． 12．如图，在中，，点在边上，过点作直线与边交于点，使截得的三角形与原三角形相似，且，则 ． 13．如图，在矩形中，，，P，Q分别是，上的点，且，与相似，则的值为 ． 14．如图，，D是的中点，，，，则的值为 ． 15．如图，在矩形中，，，于点F，交于点E，矩形矩形． （1）的长为 ； （2）连接，与交于点M，则的长为 ． 16．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．旗杆高度为 m． 三、解答题（满分72分） 17．如图，中，M为边的中点，E为上一点，且，连接并延长交的延长线于D，求证：． 18．如图， 已知正方形 的边长为4， 点 M， N分别是 ， 上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直． (1)求证：； (2)当M为中点时， 求的面积． 19．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)在第四象限画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为； (3)求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 20．如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 21．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在培上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 22．已知正方形中，点为对角线上任意一点，连接并延长交边于点，与的延长线交于，若，且． (1)如图1，若，求的长； (2)当点N为边上任一点，求线段的长； (3)若四边形为菱形，其余条件不变，如图2，求线段的长． 23．如图（1），把两个大小完全相同的矩形和拼成“L”形图案，若，，连接、． (1)线段和线段的数量关系为________．（填空） (2)保持矩形不动的条件下，将矩形绕点按顺时针方向旋转． ①如图（2），第（1）问的结论是否仍然成立；若成立，证明之；若不成立，说明理由； ②如图（3），直线与相交于点，连接，当时，求的长度． 24．如图所示，在的顶点、在轴上，点在轴上正半轴上，且，，． (1)求过A，B，C三点的抛物线解析式． (2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； (3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点、，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C D A D A B 1．解：∵， ∴令，， ∴． 故选：C． 2．解：A. 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故选项正确，不符合题意； B. 有一个角是的两个等腰三角形相似，故选项正确，不符合题意； C. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项错误，符合题意； D. 两个等腰直角三角形相似，故选项正确，不符合题意； 故选：C 3．解： ， ，即， ． 故选：C． 4．解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、，两三角形的对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，两三角形不相似，故本选项符合题意； 故选：D． 5．解： ， ， ，， ， ． ， 的面积等于6， 的面积为：， 故选：A． 6．解：当位似图形与在y轴同侧时， ∵，相似比为2， ∴； 当位似图形与在y轴两侧时， ∵，相似比为2， ∴； 故选：D． 7．解：过点C作轴于点E，连接，则，    ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∵的面积是8， ∴， ∵反比例函数的图象交于点，交于点， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：A 8．解：①， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ②，为中点，， ，， ， 故②正确； ③为圆直径， ， ， ， 由①知，， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ④连接，    ， ， ， ， ， ， ， 故④错误； 综上所述，正确的是①②③，共三个． 故选：B． 9．解：∵， ∴，，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为： 10．解：点是线段的黄金分割点，，若， 则， 故答案为：． 11．解：设栋楼的高度是米， 由题意得：， 解得：． 故答案为：60． 12．解：当时，则：， 即：， 解得：； 当时，则：， 即：， 解得：； 综上：或； 故答案为：或3． 13．解：∵与相似， ①当时， ∴，即， ∵，，， ∴， 解得，或； ②当时， ∴， ∴， 解得：， 综上所述：或或． 故答案为：3或12或． 14．解：在中，，D是的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：9． 15．解：（1）∵矩形矩形， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）连接，与交于点M，如图： ∵四边形，是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 16．解：如图所示，作，    由图可知，，， ． 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， ． ，，， ． ． 故答案为：8． 17．证明：过点作，交于点， ∴， 又∵为公共角， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即, ∵， ∴，即， 又∵， ∴． 18．（1）证明：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：∵正方形 的边长为4， ∴，， ∵M为中点时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 19．（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，连接，， 由图可知四边形是梯形，且上底，下底，高为， 该四边形的面积为：． 20．（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即：的直径为． 21．（1）解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：； （2）解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 22．（1）解：，且， ，， ， ， ∵， ， ， ； （2）解：如图1，连接， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，， ∵， ， ， 又， ， ， ， （负值舍去）， ； （3）解：如图2，连接， 四边形是菱形， ，， 又， ， ，， ∵， ， ， 又， ， ， ， （负值舍去）， ． 23．解：（1）连， 和为矩形，大小完全相同， ， ， ，， ， ， ， （2）①连， 和为矩形，大小完全相同， ， ， 根据旋转性质可得，， ， ②连交于P， 由①知，， ， ， ， ， ， 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 24．（1）解：抛物线过点， 因此可设抛物线的解析式为 将代入得，即 抛物线的解析式为； （2）解：， 对称轴为直线， 如图2，当时，，则， 当时，， ， ∴， ， ， ∴， 因此点的坐标为或； （3）解：存在． 假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形． 如图3，当平行四边形是平行四边形时， 此时，的横坐标为， ∴， ∴，， 当平行四边形是平行四边形时，同理，， 如图4，当四边形为平行四边形时，与互相平分，此时可设，则， 点在抛物线上， 此时，， 综上所述，，或，或，． 学科网（北京）股份有限公司 $$