2025年中考数学一轮复习课件：第6讲一元二次方程

第6讲　一元二次方程 中考课标要求 明确要求，精准备考 ①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程. ②理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. ③会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. ④了解一元二次方程的根与系数的关系. 核心知识梳理 串联体系，厘清脉络 一元二次方程 一元二次方程 一元二次方程的实际应用 常见类型 常用数量关系或相等关系 平均增长 (降低)率问题 设a为起始量，b为终止量，n为增长(降低)的次数，平均增长率公式为a(1＋x)n＝b(x为平均增长率)，平均降低率公式为a(1－x)n＝b(x为平均降低率) 图形面积问题 将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积公式列出一元二次方程 传播(分裂)问题 传染源(分裂母体)＋第一轮被传染数(分裂个数)＋第二轮被传染数(分裂个数)＝第二轮被传染后的总数(分裂后的总个数) 销售利润问题 利润＝售价－进价；利润率＝×100%＝×100%；售价＝进价×(1＋利润率)；总利润＝总售价－总成本＝单个利润×总销售量 考查角度1：用配方法求解 1.(2023·赤峰)用配方法解方程x2－4x－1＝0时，配方后正确的是( ) A.(x＋2)2＝3 B.(x＋2)2＝17 C.(x－2)2＝5 D.(x－2)2＝17 2.(2022·聊城)用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1＝0时，将它化为(x＋a)2＝b的形式，则a＋b的值为( ) A. B. C.2 D. B 一元二次方程的解法 C 基础知识逐点练 巩固基础·提升能力 考查角度2：用公式法求解 3.用公式法解一元二次方程x2－6x－4＝0时，其相对应的a，b，c的值分别是( ) A.a＝1，b＝6，c＝4 B.a＝1，b＝－6，c＝4 C.a＝1，b＝6，c＝－4 D.a＝1，b＝－6，c＝－4 D 考查角度3：用十字相乘法求解 4.用十字相乘法解一元二次方程x2－5x＋6＝0时，其分解的结果是　 　.  (x－2)(x－3)＝0　 5.用合适的方法解方程. (1)2x2－2x－5＝0 答案：x1＝，x2＝ (2)(2x＋1)2－4x－2＝0 答案：x1＝，x2＝－ (3)(2022·齐齐哈尔)(2x＋3)2＝(3x＋2)2 答案：x1＝1，x2＝－1 (4)2x2－5x－12＝0 答案：x1＝－，x2＝4 一元二次方程的根及根的判别式 考查角度1：利用方程的根求值 6.若关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是x＝－2，则k的值为( ) A.2或4 B.0或4 C.－2或0 D.－2或2 7.(2023·营口)若关于x的方程x2＋mx－12＝0的一个根是3，则此方程的另一个根是 　 　.  8.(2023·内江)已知a，b是方程x2＋3x－4＝0的两根，则a2＋4a＋b－3＝　 　.  －2　 －4　 B 考查角度2：判断一元二次方程根的情况 9.(2023·广安)已知a，b，c为常数，且ac＜0，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 A 10.(2023·内江)对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2－ab，例如：3⊗2＝22－3×2＝－2，则关于x的方程(k－3)⊗x＝k－1的根的情况，下列说法正确的是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 11.已知关于x的一元二次方程x2－mnx＋m＋n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是( ) A 考查角度3：利用根的判别式求值 12.(2023·聊城)若一元二次方程mx2＋2x＋1＝0有实数解，则m的取值范围是( ) A.m≥－1 B.m≤1 C.m≥－1且m≠0 D.m≤1且m≠0 13.(2023·兰州)关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，则b2－2(1＋2c)＝( ) A.－2 B.2 C.－4 D.4 14.(2023·泰安)已知关于x的一元二次方程x2－4x－a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　.  a＞－4　 A D 15.(2023·达州)已知x1，x2是方程2x2＋kx－2＝0的两个实数根，且(x1－2)(x2－2)＝10，则k的值为　 　.  16.若实数a，b是方程x2－3x＋2＝0的两个实数根，则＝  　.  一元二次方程根与系数的关系 7　 17.(2023·湖北)已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0. (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根. (2)设该方程的两个实数根为a，b，若(2a＋b)(a＋2b)＝20，求m的值. 答案：(1)证明：∵Δ＝[－(2m＋1)]2－4(m2＋m)＝4m2＋4m＋1－4m2－4m＝1＞0， ∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根. (2)解：∵该方程的两个实数根为a，b，∴a＋b＝－＝2m＋1，ab＝＝m2＋m.∵(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋4ab＋ab＋2b2＝2(a2＋2ab＋b2)＋ab＝2(a＋b)2＋ab，∴2(a＋b)2＋ab＝20，∴2(2m＋1)2＋m2＋m＝20，解得m1＝－2，m2＝1，∴m的值为－2或1. 18.[增长率问题](2023·无锡)2020~2022年某地居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的年平均增长率为x，下列方程正确的是( ) A.5.76(1＋x)2＝6.58 B.5.76(1＋x2)＝6.58 C.5.76(1＋2x)＝6.58 D.5.76x2＝6.58 一元二次方程的应用 A 19.[增长率问题]某机械厂七月份生产零件100万个，第三季度共生产零件392万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( ) A.100(1＋x)2＝392 B.100＋100(1＋x)2＝392 C.100＋100(1＋x)＋100(1＋2x)＝392 D.100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝392 D 20.[销售利润问题]直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在网上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，若按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件. (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元? (2)王叔叔的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，王叔叔决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售? 答案：解：(1)设每件售价应定为x元，则每件的利润为(x－40)元，日销售量为20＋＝(140－2x)件.依题意，得(x－40)(140－2x)＝(60－40)×20，整理得x2－110x＋3000＝0，解得x1＝50，x2＝60(舍去).答：每件售价应定为50元. (2)设该商品需打a折销售.由题意，得62.5×≤50，解得a≤8.答：该商品至少需打八折销售. 21.[图形面积问题]如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3 600m2，则小路的宽是( ) A.5m B.70m C.5m或70m D.10m A 考查角度1：考点整合 22.(2022·遂宁)已知m为方程x2＋3x－2022＝0的根，那么m3＋2m2－2025m＋2022的值为( ) A.－2022 B.0 C.2022 D.4044 23.(2022·成都)若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2－6x＋4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是　 .  学科整合与数学文化 B 2　 考查角度2：跨学科整合 24.(2022·黑龙江)某次运动会冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有( )支队伍参加比赛. A.8　　　B.10　　　C.7　　　D.9 B 考查角度3：数学文化 25.小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了《一元二次方程》这一章后，改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿同.哪位学子算得快，多少年华数周瑜?”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为( ) A.10x＋(x－3)＝(x－3)2 B.10(x＋3)＋x＝x2 C.10x＋(x＋3)＝(x＋3)2 D.10(x＋3)＋x＝(x＋3)2 C 26.(2022·泰安)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽?设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是( ) A.3(x－1)x＝6 210 　B.3(x－1)＝6 210 C.(3x－1)x＝6 210 　D.3x＝6 210 27.定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”.已知x2＋mx＋n＝0是“凤凰方程”，且有两个相等的实数根，则mn＝　 　 .  －2　 A $$