27.3垂径定理同步练习2023-2024学年沪教版（上海）九年级数学下册

27.3垂径定理同步练习2023-2024学年九年级下册数学沪教版 (1) 垂径定理及其推论 要点归纳 1. 掌握垂径定理及其推论. 2. 掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用. 疑难分析 例1 如图27-9,在⊙O中,弦CD, EF的延长线相交于点 P,G, H 分别是 的中点，GH与PC，PE分别相交于Q，R两点，试判断△PQR 的形状，并证明你所得到的结论. 例2 图27-10是某学校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图所示)，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形.图27-11是车棚顶部截面的示意图， 的所在圆的圆心为O. 车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π). 例3 如图27-13,P是⊙O的弦AB 的中点,PC⊥OA,垂足为C. 求证: PA·PB = AC·AO. 基础训练 1. 如图，如果 AB 为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，则下列结论中，错误的是( ). A. CE = DE C. ∠BAC = ∠BAD D. AC > AD 2. 如图,⊙O 的直径为 10,圆心O到弦AB 的距离OM 的长为3,则弦 AB 的长是( ). A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 3. 如图,弦CD 垂直于⊙O的直径AB,垂足为H,且 则AB 的长为( ). A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 在半径为2的⊙O中，弦AB 的长为 ，则弦AB所对的圆心角∠AOB 的度数是 . 5. 在半径为1的⊙O中,弦AB, AC分别是 ,则∠BAC的度数为 . 6. 如图,AB为⊙O 直径,E 是 的中点,OE 交 BC 于点D,BD = 3, AB = 10,则AC = . 7. 如图,矩形ABCD 与圆心在AB上的⊙O交于点G,B,F,E,GB =8厘米,AG=1厘米,DE = 2 厘米,则 EF = 厘米. 8. P为⊙O内一点，OP=3厘米，⊙O半径为5厘米，则经过点 P 的最短弦长为 厘米，最长弦长为 厘米. 9. 如图，在直径为10米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽 AB=8米，求槽内油的最大深度. 10. 如图,在 中， .若以点C为圆心、CB 长为半径的圆交 AB 于点 P,求 AP 的长. 11. 如图,⊙O中两条不平行弦AB 和CD 的中点为M, N,且 求证:∠AMN = ∠CNM. 拓展训练 12. 如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,过点 C, D分别作 分别交AB 于点N，M，请问图中的AN 与BM 是否相等，说明理由. (2) 垂径定理的应用 要点归纳 1. 掌握垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧.这五个条件只需知道两个，即可得出另三个(平分弦时，直径除外)，要求理解掌握. 2. 掌握垂径定理及其推论在圆的有关计算和证明中的广泛应用. 疑难分析 例1 本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A，B，C三根木柱，使得A，B之间的距离与A，C之间的距离相等，并测得BC长为240米，点A到BC的距离为5米，如图27-14所示.请你帮他们求出滴水湖的半径. 例2 如图 27-15，一条 60米宽的河上架有一半径50米的圆弧形拱桥，请问一顶部宽12米且高出河面8米的船能否通过此桥(AB 表示河宽，EF 表示船舱的顶部所在水平面).MP 为船板到水面的距离，半径OA，OE 为50米. 基础训练 1. 在下列命题中正确的个数是( ). ① 圆心角相等，则它们所对的弦必相等； ② 经过线段的两个端点及线段所在直线外一点可以确定一个圆； ③ 直径平分弦，则必垂直于弦； ④ 如果同圆中两条弦互相平分，那么这两条弦都是直径. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 若圆中一弦与弦心距之和等于直径，弦心距长为1，则圆的半径长为( ). A. 1 B. C. 2 D. 3. 如图,在⊙O中,直径CD=15,弦AB⊥CD于点M,OM:MD =3:2,则AB的长是 . 4. 圆的半径为2，圆内一条弦长为 ，则弦的中点与弦所对劣弧的中点间的距离为 ，这条弦的弦心距为 . 5. 如图,⊙O中弦AB⊥CD 于点E, AE=2,EB=6, ED=3,则⊙O的半径为 6. 在等腰三角形ABC 中,AB = AC,∠A =120°, BC = 10,则△ABC 的外接圆半径为 . 7. 圆内一弦与直径相交成30°的角，且分直径为1厘米和5厘米两段，则此弦长为 厘米. 8. 如图,AB为⊙O的直径,AC 为弦,于点D,BD 交OC 于点E,若 则 9. 如图,已知与 相交于A,B 两点,C, A,D三点在一条直线上,点C, D分别在 与 上，CD的延长线交 的延长线于点 P， 则 10. AB,CD 是半径为25厘米的⊙O内的两条平行弦, 厘米， 厘米，求这两条平行弦之间的距离. 11. 如图,已知M是 的中点，过点M的弦MN 交AB 于点C，设⊙O的半径为4厘米， 厘米. (1) 求圆心O到弦MN 的距离; (2)求 的度数. 拓展训练 12.【问题一】不过圆心的直线l交⊙O于C，D两点，AB是⊙O的直径， 于点E，BF⊥l于点F. (1) 如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3) 请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论. 【问题二】如图， 与 相交于A， B两点，过A任作一直线与交于点M，与 交于点 N，问什么时候MN最长? 为什么? 学科网（北京）股份有限公司 $$