1.3勾股定理的应用.课件 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

3　勾股定理的应用 第一章 勾股定理 3　勾股定理的应用 探究与应用 课堂小结与检测 第一章　勾股定理 全品初中 应用一　利用勾股定理解决实际问题 例1 如图1-3-1所示,有一个圆柱,它的高等于12 cm,底面上圆的周长等于18 cm.在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (1)自己做一个圆柱,尝试从点A到点B沿圆柱 侧面画几条路线,你觉得哪条路线最短呢? 解:略 图1-3-1 探究与应用 (2)如图1-3-2,将圆柱侧面剪开展成一个长方形,从点A到点B的最短路线是　　　　　.  图1-3-2 线段AB 探究与应用 (3)如图1-3-3,在Rt△ABC中,AC=　　　　cm,BC=　　　cm,根据勾股定理可求得AB=　　　　cm.  (4)蚂蚁从点A出发,想吃到点B处的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是　　　　cm.  图1-3-3 12 9 15 15 探究与应用 解决立体图形中两点之间最短路径问题的思路 解决立体图形表面上两点间的最短路径问题时,先将立体图 形展开为平面图形,确定两点的位置,连接两点的线段即为 最短路径. 明 思路 探究与应用 例2 (教材典题)图1-3-4是一个滑梯示意图,若将滑道AC水平放置,则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3 m,CD=1 m,试求滑道AC的长. 图1-3-4 解:设滑道AC的长度为x m,则AB的长度为x m,AE的长度为(x-1)m. 在Rt△ACE中,∠AEC=90°,由勾股定理得 AE2+CE2=AC2,即(x-1)2+32=x2,解得x=5. 故滑道AC的长度为5 m. 探究与应用 学 方法 借助勾股定理列方程 利用勾股定理解决实际问题时,需要从已知条件确定直角三 角形模型.当已知直角三角形的一条边,及另外两条边之间 的数量关系时,设未知数表示出另外两条边长,再根据勾股 定理列方程求解. 探究与应用 应用二　利用三角形的三边关系判定垂直 例3 如图1-3-5,李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB,但他随身只带了卷尺(卷尺足 够长). (1)你能替他想办法完成任务吗? 图1-3-5 解:只要量得AD,BC,AB,BD,AC的长,然后验证AD2+ AB2是否等于BD2及BC2+AB2是否等于AC2即可(合理即可). 探究与应用 (2)李叔叔量得边AD长是30 cm,边AB长是40 cm,点B,D之间的距离是50 cm,边AD垂直于边AB吗? 图1-3-5 解:边AD垂直于边AB. 探究与应用 (3)小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺,他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗?边BC与边AB呢? 图1-3-5 解:有办法检验边AD是否垂直于边AB.如:在AB,AD边上各量出一段较短的线段AB',AD'的长度,再量出线段B'D'的长度,若B'D'2=AB'2+AD'2,则AD⊥AB.同理可检验边BC是否 垂直于边AB.(检验方法不唯一) 探究与应用 长方体中的最短路程 如图1-3-6,一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处,一只苍蝇在这个长方体木块的对角顶点G处,若AB= 3 cm,BC=5 cm,BF=6 cm,则蜘蛛要在长方体表面 上沿着怎样的路线爬行,才能最快抓到苍蝇?这 时蜘蛛走过的路程是多少厘米? 图1-3-6 [延伸拓展] 探究与应用 解:可能有三种方案,如下: 方案一:如图①,当蜘蛛从点A出发经过EF再到点G时, 因为BC=5 cm, 所以FG=BC=5 cm, 所以BG=FG+BF=5+6=11(cm). 在Rt△ABG中,AG2=AB2+BG2=32+112=130. 探究与应用 方案二:如图②,当蜘蛛从点A出发经过BF再到点G时, 因为AB=3 cm,BC=5 cm, 所以AC=AB+BC=3+5=8(cm). 因为BF=6 cm, 所以CG=BF=6 cm. 在Rt△ACG中,AG2=AC2+CG2=82+62=100. 探究与应用 方案三:如图③,当蜘蛛从点A出发经过HE再到点G时, 因为AB=3 cm,所以EF=AB=3 cm. 因为BC=5 cm,所以GF=BC=5 cm. 因为BF=6 cm,所以AE=BF=6 cm,所以AF=AE+EF=6+3=9(cm). 在Rt△AGF中,AG2=AF2+GF2=92+52=106. 因为100<106<130, 所以蜘蛛沿着第二种方案的路线爬行,才能 最快抓到苍蝇,这时蜘蛛走过的路程是10 cm. 探究与应用 求长方体中的最短路程问题 (1)将长方体展开为平面图形,展开时可能存在多种可能情 况;(2)连接相关点构造直角三角形;(3)借助勾股定理分别求 出每种情况的最短路程;(4)比较后得到路程最短的一种情况 即得结论. 勤 总结 探究与应用 [本课时认知逻辑] 实际问题 数学问题 勾股定理 直角三角形 转化 构建 解决 课堂小结与检测 [检测]　 1.一支铅笔按如图1-3-7所示的位置放在圆柱体笔筒中,笔筒的内部底面直径是9 cm,内壁高12 cm.若这支铅笔长为 18 cm,则这只铅笔在笔筒外面部分长度最短是 (　　) A.3 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm A 图1-3-7 课堂小结与检测 2.如图1-3-8,在湖面上,有一朵盛开的美丽的红莲,它高出水面30 cm.突然一阵大风吹过,红莲被垂直吹至一边,花朵下部刚好齐及水面,若知道红莲移动的水平距离为60 cm,则水深是(　　) A.35 cm B.40 cm C.50 cm D.45 cm 图1-3-8 D 课堂小结与检测 3.若一个圆柱的底面周长是30 cm,高是40 cm(如图1-3-9),从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰,则这条丝线的最短长度是 (　　) A.80 cm B.70 cm C.60 cm D.50 cm 图1-3-9 D 课堂小结与检测 [检测] 1.A　[解析] 如图,根据题意,得AB=12 cm,BC=9 cm. 在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=122+92=152,所以AC=15 cm, 所以18-15=3(cm). 故这只铅笔在笔筒外面部分长度最短为3 cm. 故选A. 相关解析 2.D　[解析] 如图,由题意可知AB=BC,AD=30 cm,CD=60 cm, AB⊥CD.设BD=x cm, 在Rt△BCD中,BC2=BD2+CD2, 所以(x+30)2=x2+602, 解得x=45, 则水深是45 cm.故选D. 谢 谢 观 看！ 全品初中 $$