4.2.2指数函数的图象和性质课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2.2指数函数的图象和性质的课件 重点、难点 重点：指数函数的图象和性质 难点：指数函数性质的理解 教学目标 1.类比研究幂函数性质的过程和方法，通过指数函数图象得出其性质； 2.利用指数函数的图象研究指数函数的性质，并用所得性质进一步理解指数函数的图象； 3.通过信息技术手段更好地理解指数函数的图象和性质。 复习 指数函数的概念： 一般的，函数 叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R. 思考： 指数函数对于底数的要求是什么? 为什么要这样要求? 0﹤a﹤1和a﹥1时的性质有什么不同呢? 我们进一步研究指数函数的图像，借助图像研究指数函数的性质. 请同学们完成x,y的对应值表4.2-2，并用描点法画出函数 的图像 为了得到指数函数 的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图像进行观察. 提问： 画出函数 的图象，并与函数 的图象进行比较，它们有什么关系?能否利用函数 的图象，画出函数 的图象? 因为 = ，点（x，y）与点（-x，y）关于y轴对称，所以函数 图象上任意一点P（x，y）关于y轴的对称点P1（-x，y）都在函数 的图象上，反之亦然. 由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象. 比如利用函数 的图象，画出 的图象 一:指数函数的图像和性质 指数函数的性质：在同一坐标系中作出底数不同的指数函数图像.       -3 -2 -1 1 2 3 1 一般地，指数函数的图像和性质如下表所示：     （1）过定点（0，1） (2)减函数 (3)增函数             10 【1】指数函数既不是奇函数也不是偶函数 【2】指数函数在y轴右侧的图像，底数越大 图像越高.（底大图高）       -3 -2 -1 1 2 3 1             【3】①当   ②当   ③当   ④当   【4】指数函数图像下端与 轴无限接近， 但永不相交.   11 a>1 0<a<1 图 象 性 质 (1)定义域: (2)值域: (3)过定点: (4)单调性： (4)单调性： (5)奇偶性： (5)奇偶性： R (0,+∞) (0,1) 指数函数的图象和性质 增函数 减函数 非奇非偶 非奇非偶 (6)当x>0时，y>1. 当x<0时，0<y<1. (6)当x>o时，0<y<1, 　当x<0时，y>1. x y o 1 x y o 1 12 有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域 形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域． 求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再由单调性求出y＝au的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论． 求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域． 13 (2)判断复合函数的单调性 令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，那么复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数． (3)研究函数的奇偶性 一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性． 二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性． 14 设函数f(x)＝kax－a－x(a>0，且a≠1)是定义在R上的奇函数． (1)求k的值； (2)若f(1)>0，试判断函数的单调性(不需证明)，并求不等式f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0的解集． 二　指数型复合函数的奇偶性 15 16 17 C 18 [方法点拨]　指数函数要注意其值域，对于a>1时，ax的取值情况为：当x>0时，ax>1，当x<0时，0<ax<1；对于0<a<1时，ax的取值情况为：当x>0时，0<ax<1，当x<0时，ax>1.当涉及指数函数的范围时，不能忽视指数式自身的要求． 19 数形结合思想的应用——图形变换技巧 1．平移变换 当m>0时，y＝f(x－m)的图象可以由y＝f(x)的图象向右平移m个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由y＝f(x)的图象向左平移m个单位得到；y＝f(x)＋m的图象可以由y＝f(x)的图象向上平移m个单位得到；y＝f(x)－m的图象可以由y＝f(x)的图象向下平移m个单位得到． 20 2．对称(翻折)变换 y＝f(|x|)的图象可以将y＝f(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象位于y轴上方的部分不变，而将位于y轴下方的部分翻折到y轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将y＝f(x)的图象关于x轴对称而得到．y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象关于y轴对称得到． 21 画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的． (1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝－2x；(4)y＝2|x|；(5)y＝|2x－1|；(6)y＝－2－x. [分析]　用描点法作出图象，然后根据图象判断． [解析]　如图所示． (1)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到的． (2)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到的． 22 (3)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称． (4)y＝2|x|的图象是由y＝2x的y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的． (5)y＝|2x－1|的图象是由y＝2x的图象向下平移1个单位，然后将其x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的． (6)y＝－2－x的图象与y＝2x的图象关于原点对称． 23 24 课堂小结 1、指数比较大小的方法； ①构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同指(包括可以化为同底的)，若底数是参变量要注意分类讨论。 ②搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。 2、指数函数过定点问题 3、求指数函数的定义域 （1）y=af(x)(a＞0,且a≠1)的定义域与函数y=f(x)的定义域相同 （2）指数函数型的复合函数的定义域问题，往往转化为指数不等式求解 课堂小结 4、解简单的指数不等式 5、求复合函数的单调性 同增异减 $$