1.1第1课时　探索勾股定理课件 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

1　第1课时　探索勾股定理 第一章 勾股定理 1　第1课时　探索勾股定理 探究与应用 课堂小结与检测 第一章　勾股定理 全品初中 探究　直角三角形的三边关系 [观察发现] (1)如图1-1-1,在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中,画若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,你发现三边长的平方有怎样的关系? 解:画图,测量略.直角三角形两条直角边的 平方和等于斜边的平方. 图1-1-1 探究与应用 (2)如图1-1-2①,在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中,直角三角形三边的平方分别是多少,它们满足(1)中所猜想的数量关系吗?你是如何计算的?对于图②中的直角三角形,是否还满足这样的关系?你又是如何计算的呢? 图1-1-2 探究与应用 解:题图①中,左右两个直角三角形三边的平方分别是9,9,18和4,4,8;题图②中,左右两个直角三角形三边的平方分别是9,16,25和9,1,10.都满足(1)中猜想的数量关系.计算方法:分别求出正方形A,B,C的面积即可得出直角三角形三边的平方. 探究与应用 (3)如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度,上面所猜想的数量关系还成立吗?说明理由. 解:上面所猜想的数量关系仍然成立.理由略. 探究与应用 [概括新知] 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的　 　. 如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么 　　　 　.  平方 a2+b2=c2 探究与应用 应用一　利用勾股定理求直角三角形的边长 例1 (1)如图1-1-3,在Rt△ABC中,∠C=90°,a=9,b=12,求c的值. 图1-1-3 解:在Rt△ABC中,因为∠C=90°,a=9,b=12,所以由勾股定理,知a2+b2=c2, 所以c2=a2+b2=92+122=225,所以c=15. 探究与应用 (2)如图1-1-4,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=25,BC=20.求AB 的长. 图1-1-4 解:在Rt△ABC中,因为∠B=90°,AC=25,BC=20,所以由勾股定理,知AB2=AC2-BC2=252-202=225, 所以AB=15. 探究与应用 已知直角三角形的两条边长,利用勾股定理求第三条边长, 先分清直角边和斜边,再将数值代入. 知 要点 探究与应用 变式　在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC∶AC=3∶4,AB=10.求BC,AC的长. 解:设BC=3x,AC=4x,根据勾股定理可得(3x)2+(4x)2=102, 所以x=2. 因此BC=3x=6,AC=4x=8. 即BC,AC的长分别为6,8. 探究与应用 例2 在Rt△ABC中,AC=6,BC=10.求AB2的值. 解:当∠C=90°时,根据勾股定理,得AB2=AC2+BC2=62+102=36+ 100=136. 当∠A=90°时,根据勾股定理,得AB2=BC2-AC2=102-62=64. 综上可知,AB2的值是136或64. 探究与应用 已知Rt△ABC的两边求第三边或第三边的平方时,如果题目 中没有明确指明斜边和直角边,应分情况讨论,不要误认为 ∠C所对的边一定是斜边. 防 易错 探究与应用 例3 如图1-1-5,在锐角三角形ABC中,高AD=12,边AC=13, BC=14,求AB的长. 图1-1-5 解:在Rt△ACD中,由勾股定理,得CD2=AC2-AD2=132-122=25,所以CD=5. 因为BC=14,所以BD=BC-CD=14-5=9. 在Rt△ABD中,由勾股定理, 得AB2=BD2+AD2=92+122=225,所以AB=15. 探究与应用 会 观察 当图形中含有多个直角三角形时,应结合已知条件观察图 形,寻找解题突破口,通过多次应用勾股定理得到结论. 探究与应用 应用二　利用勾股定理求面积 1.借助图形面积之间的关系求面积 例4 (1)如图1-1-6中A代表正方形的面积,则A的值是　　　 ; 图1-1-6 16 探究与应用 (2)如图1-1-7,正方形A,B,C的边长分别为直角三角形的三边长,若正方形A,B的边长分别为4和7,则正方形C的面积为 　　　　.  图1-1-7 33 探究与应用 (1)如图1-1-8甲,分别以直角三角形的三边为边向外作正方 形,三个正方形的面积分别是S1,S2,S3,则有S1=S2+S3; (2)推广:如图乙所示,S1,S2,S3具有相同的关系:S1=S2+S3. 归 模型 图1-1-8 探究与应用 例5 如图1-1-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=10,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为多少? 图1-1-9 解:100 探究与应用 2.求非直角三角形的面积 例6 如图1-1-10,在△EFG中,EF=15 cm,FG=14 cm,EG=13 cm,求△EFG的面积. 图1-1-10 H 解:如图,过点E作EH⊥FG于点H. 在Rt△EFH和Rt△EGH中,由勾股定理得EH2=EF2-FH2, EH2=EG2-GH2, 所以EG2-GH2=EF2-FH2. 探究与应用 H 设FH=x,则GH=14-x. 因为EF=15,EG=13, 所以132-(14-x)2=152-x2,解得x=9. 所以EH2=EF2-FH2=152-92=144, 所以EH=12. 所以S△EFG=FG·EH=×14×12=84(cm2). 故△EFG的面积为84 cm2. 探究与应用 学 方法 构造直角三角形解题 当题目中已知的三角形为非直角三角形时,可通过作高构造 直角三角形,借助勾股定理建立边长之间的关系,进而求得 结论. 探究与应用 借助面积求直角三角形斜边上的高 如图1-1-11,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=24.求点C到 AB的距离. 图1-1-11 【延伸拓展】 探究与应用 解:如图,过点C作CD⊥AB于点D. D 在Rt△ABC中,由勾股定理得AB2=AC2+BC2=102+242=262,所以AB=26. 因为S△ABC=AC·BC=AB·CD, 所以CD=, 即点C到AB的距离是. 探究与应用 学 方法 等面积法求直角三角形斜边上的高 已知直角三角形的两条直角边的长,求斜边的高,先根据勾 股定理求出斜边的长,再借助三角形的面积=×直角边×直 角边=×斜边×斜边上的高求解. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 数学问题 勾股定理 在直角三角形中 知两边求第三边 观察 发现 应用 课堂小结与检测 [检测]　 1.如图1-1-12,在△ABC中,∠C=90°,则 (　　) A.BC=AB+AC B.AC2=AB2+BC2 C.AB2=AC2+BC2 D.BC2=AB2+AC2 C 图1-1-12 课堂小结与检测 2.如图1-1-13,400,625表示所在正方形的面积,则字母A所代表的正方形的面积为　　　　.  图1-1-13 225 课堂小结与检测 3.在△ABC中,∠C=90°,若BC=7,AB=9,则AC2=　　　　.  4.如图1-1-14,在△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,AB= 17 cm,AD=10 cm,AC=8 cm,则BD的长为　　　　cm.  图1-1-14 32 9 课堂小结与检测 5.如图1-1-15,在Rt△AOB和Rt△COD中,∠O=90°,AB=CD= 25,OB=7,AC=4. (1)求OC的长; 图1-1-15 解:在Rt△AOB中,∠O=90°,AB=25,OB=7, 由勾股定理,得OA2=AB2-OB2=252-72=242, 所以OA=24. 因为AC=4, 所以OC=OA-AC=24-4=20. 课堂小结与检测 (2)求BD的长. 图1-1-15 解:在Rt△COD中,∠O=90°,CD=25,OC=20,由勾股定理,得OD2=CD2-OC2=252-202=152, 所以OD=15,所以BD=OD-OB=15-7=8. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ 全品初中 $$