精品解析：山西省朔州市保德县多校2024-2025学年八年级上学期期中测试数学试卷

2024-2025学年第一学期期中测评 八年级数学试卷 （本试卷满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. “书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一．下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（ ） A. 900° B. 720° C. 540° D. 360° 3. 如图，点是的重心，连接并延长，交边于点．若，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 8. 如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（　　） A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 7.5 9. 如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在中，平分．连接和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于轴对称的点的坐标为________． 12. 三角形架子是如图所示模型的主要结构，这种设计的原理是______． 13. 把两个同样大小的含角的直角三角板和三角板按如图所示放置，是与的交点，通过读刻度尺的数据，得的长为，则点到边的距离是______．     14. 如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，则______． 15. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____． 16. 如图，在中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，点从点出发沿路径向终点运动，点和分别以和的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．分别过点，作于点，于点．设运动时间为，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等（点与点不重合），则的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 17. 一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数． 18. 如图所示，C、D分别位于路段A、B两点的正北处与正南处，现有两车分别从E、F两处出发，以相同的速度直线行驶，相同时间后分别到达C、D两地，休整一段时间后又以原来的速度直线行驶，最终同时到达A、B两点，那么CE与DF平行吗？为什么？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）以为边作与全等的三角形（顶点在格点上，不包括），可作出______个． 20. 如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：ABC是等腰三角形 （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数． 21. 如图，在四边形中，，，，E是的中点，． （1）求证：． （2）求证：是线段的垂直平分线． 22. 综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线． 请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 23. 【问题提出】如图1，在中，，D是延长线上的点．连，以为边作（E、D在同侧），使，连．若，判断与的位置关系，并说明理由． （1）【问题探究】先将问题特殊化．如图2，当D在线段上，时，直接写出的度数　　　　　； （2）再探究具体情形、如图1，判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图3，在中，．点E为外一点，于D，．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中测评 八年级数学试卷 （本试卷满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. “书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一．下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（ ） A. 900° B. 720° C. 540° D. 360° 【答案】C 【解析】 【分析】n边形的内角和公式为：，再根据内角和公式计算即可． 【详解】解：（5-2）×180° =180°×3 =540° 因此五边形的内角和是540°． 故选：C 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式（n-2）×180°的灵活运用．熟悉多边形的内角和公式是解本题的关键． 3. 如图，点是的重心，连接并延长，交边于点．若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念、三角形的中线性质．根据三角形的重心的概念得到点为的中点，根据三角形中线的性质解答即可． 【详解】解：∵点是的重心， ∴点为的中点， ∴， ∴， 故选：C． 4. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由全等三角形可知，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：，， ，， ， 故选：A． 5. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线性质知，，的周长． 【详解】解：∵垂直平分 ∴， ∴的周长 故选：D． 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 7. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 8. 如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（　　） A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 7.5 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 由在等边三角形中，，可求得，则可求得的长，又由平分交于点，由三线合一的知识，即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 平分交于点， ， ． 故选：C． 9. 如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明可得；证明，可得，即可证明；证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵若， 又， ∴与满足“”的关系，无法证明全等， 因此无法得出，故A是假命题， ∵若， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故B是真命题； 若，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故C是真命题； 若，则在和中， ， ∴， ∴，故D是真命题； 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理． 10. 如图，在中，平分．连接和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．在边上取点D，使，连接，证明，可得，在中，根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点D，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 所以A选项符合题意． 故选：A 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于轴对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为 故答案为：． 12. 三角形架子是如图所示模型的主要结构，这种设计的原理是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质：稳定性．掌握三角形具有稳定性的特点并能够在生活问题中灵活应用是解决本题的关键． 如图所示模型中三角形架子是主要结构，这种结构的设计原理是利用了三角形的稳定性． 【详解】模型中的主要的结构是三脚形架子即三角形，故可用三角形的稳定性解释． 故答案为：三角形具有稳定性． 13. 把两个同样大小的含角的直角三角板和三角板按如图所示放置，是与的交点，通过读刻度尺的数据，得的长为，则点到边的距离是______．     【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先证出平分，再根据角平分线的性质定理求解即可得． 【详解】解：由题意可知，，， ∴，即平分， 则由角平分线的性质定理得：点到边的距离等于的长，即为， 故答案为：． 14. 如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，则______． 【答案】80 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是关键． 根据题意得到，，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 15. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____． 【答案】 【解析】 【分析】根据公式求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键． 16. 如图，在中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，点从点出发沿路径向终点运动，点和分别以和的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．分别过点，作于点，于点．设运动时间为，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等（点与点不重合），则的值为______． 【答案】6或8 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形与动点问题．先求出点从点出发到达点和点所需要的时间，点从点出发到达点和点所需要的时间，然后根据、所在的位置分类讨论，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用时间表示，然后列出方程即可得出结论． 【详解】解：由题意知，点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为：， 点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为：， 当，点在上，点在上，如图所示： 此时， ， ， ， ， 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， ， ， （不符合题意，舍去）； 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， 和重合，和重合，（不符合题意，舍去）； 当，点在上，点在上，如图所示： ， ， ， ， 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， ， ， （符合题意）； 当，点在上，点与点重合，如图所示： ， ， ， ， 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （符合题意）； 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则或， 故答案为：6或8. 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 17. 一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数． 【答案】12 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，根据题意得多边形的内角和是外角和的5倍，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得多边形的内角和是外角和的5倍， ∴ 解得： 所以这个多边形的边数为12． 【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用及多边形的内角和与外角和等，理解题意，列出方程是解题关键． 18. 如图所示，C、D分别位于路段A、B两点的正北处与正南处，现有两车分别从E、F两处出发，以相同的速度直线行驶，相同时间后分别到达C、D两地，休整一段时间后又以原来的速度直线行驶，最终同时到达A、B两点，那么CE与DF平行吗？为什么？ 【答案】， 证明：∵C、D分别位于路段A、B两点的正北处与正南处， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵两车分别从E、F两处出发，以相同的速度直线行驶，相同时间后分别到达C、D两地， ∴CE＝DF， ∵两车以原来的速度从C、D两地直线行驶，最终同时到达A，B两点， ∴AC＝BD， ∵ ∴(HL)． ∴． ∴． 【解析】 【分析】根据题意可知，在和中，，，可证和全等，得出，根据平行线判定定理即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了证明直角三角形全等及平行线的判定，理解题意，找出证明三角形全等的条件是解题关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）以为边作与全等的三角形（顶点在格点上，不包括），可作出______个． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． ，，； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换； （1）根据轴对称图形定义即可作图，根据点在坐标系中的位置即可求写出点的坐标； （2）根据全等三角形的性质画出图形即可求解． 【小问1详解】 解：其中，，； 【小问2详解】 解：如图，，，， 以为边作与全等的三角形（顶点在格点上，不包括），可作出3个． 故答案为：3． 20. 如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：ABC是等腰三角形 （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数． 【答案】 （1）证明：∵AF是∠DAC的角平分线 ∴∠DAF=∠CAF 又∵ ∴∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC ∴是等腰三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义，得到∠DAF=∠CAF，又根据，得到∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB，进一步得到∠ABC=∠ACB，即可证明是等腰三角形； （2）在中，分别求得和的度数，利用三角形内角和求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵CG是∠ACE的角平分线 ∴∠ACG=∠ECG 又∵，∠ACB=∠B ∴ ∴∠ACG=∠ECG= 又∵∠CAG=∠ACB ∴∠AGC= 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等相关知识点，牢记知识点是解题关键． 21. 如图，在四边形中，，，，E是的中点，． （1）求证：． （2）求证：是线段的垂直平分线． 【答案】（1） 证明：如图所示： ，， ，， ， 在和中， ， ， ； （2） 证明：是中点， ， ， ∴， ， ∴是等腰三角形 ， ，， ， ∴是线段的垂直平分线． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟记相关结论即可． （1）证即可； （2）证是等腰三角形，再证即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线． 请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）； （2）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （3）如图，点即为所求作的点； 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键． （1）先证明，可得，从而可得答案； （2）先证明，可得，可得是的角平分线； （3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； 故答案为： （2）略； （3）略. 23. 【问题提出】如图1，在中，，D是延长线上的点．连，以为边作（E、D在同侧），使，连．若，判断与的位置关系，并说明理由． （1）【问题探究】先将问题特殊化．如图2，当D在线段上，时，直接写出的度数　　　　　； （2）再探究具体情形、如图1，判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图3，在中，．点E为外一点，于D，．求的长． 【答案】（1） （2） 解：过D作，交的延长线于F，如图所示： 则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， 即， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ （3）5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟记相关结论进行几何推理是解题关键． （1）证即可求解； （2）过D作，交的延长线于F，证得，即可求解； （3）过A作交的延长线于F，证可得，再证即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形 ∵， ∴是等边三角形 ∴ ∴ 即： ∴ ∴， 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过A作交的延长线于F，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴ ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $