27.2.3 相似三角形应用举例（一）课件　　2023--2024学年人教版九年级数学下册

第二十七章 相 似 27.2 相似三角形 27.2.3 相似三角形应用举例（一） 1/24 长岐中学 詹春燕 学习目标 1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度. (重点) 2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力. (难点) 2/24 长岐中学 詹春燕 乐山大佛 导入新课 图片引入 世界上最高的树 —— 红杉 3/24 长岐中学 詹春燕 台湾最高的楼 ——台北101大楼 怎样测量河宽？ 世界上最宽的河 ——亚马逊河 怎样测量这些非常高大的物体的高度？ 4/24 长岐中学 詹春燕 利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题. 5/24 长岐中学 詹春燕 利用相似三角形测量高度 一 讲授新课（第39~40页） 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 6/24 长岐中学 詹春燕 6 例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. 怎样测出 OA 的长？ 解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF. 又 ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF. ∴ ， ∴ =134 (m). 因此金字塔的高度为134 m. 7/24 长岐中学 詹春燕 7 表达式： 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用 “在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 归纳： 8/24 长岐中学 詹春燕 C 1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度，可 在地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地 面上的影长即可，则下面能用来 求AB长的等式是 ( ) A． B． C． D． 练一练 9/24 长岐中学 詹春燕 2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚 阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是____米． 8 10/24 长岐中学 詹春燕 3. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为 ( ) A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米 4. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( ) A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m A A 11/24 长岐中学 詹春燕 A F E B O ┐ ┐ 还可以有其他测量方法吗？ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 想一想： 12/24 长岐中学 詹春燕 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. A B C D E △ABC∽△ADE 13/24 长岐中学 詹春燕 1、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( ) A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米 B 试一试： 14/24 长岐中学 詹春燕 2. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 的长为 . 12 cm 15/24 长岐中学 詹春燕 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知 测得QS = 45 m，ST = 90 m， QR = 60 m，请根据这些数据， 计算河宽 PQ. 利用相似三角形测量宽度 二 P R Q S b T a 16/24 长岐中学 詹春燕 PQ×90 = (PQ+45)×60. 解得 PQ = 90. 因此，河宽大约为 90 m. 解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P， ∴△PQR∽△PST. P R Q S b T a ∴ ， 即 ， 还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？ 45m 90m 60m 17/24 长岐中学 詹春燕 例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．  此时如果测得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米， 求两岸间的大致距离 AB． E A D C B 60m 50m 120m 18/24 长岐中学 詹春燕 解：∵ ∠ADB＝∠EDC，   ∠ABC＝∠ECD＝90°，   ∴ △ABD∽△ECD.   ∴ ，即 ， 解得 AB = 100. 因此，两岸间的大 致距离为 100 m. E A D C B 60m 50m 120m 19/24 长岐中学 詹春燕 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 归纳： 20/24 长岐中学 詹春燕 1. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在 可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD ＝15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m. A B E D C 20 练一练 21/24 长岐中学 詹春燕 2. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗杆的高度． A B C D 解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E， ∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m， ∵ 在同一时刻物高与影长成正比例， ∴ EA : ED=1 : 1.2，∴ AE = 8 m， ∴AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)， ∴ 学校旗杆的高度为 10 m. E 22/24 长岐中学 詹春燕 相似三角形的应用举例 （1）利用相似三角形测量高度 课堂小结 （2）利用相似三角形测量宽度 23/24 长岐中学 詹春燕 课后作业 24/24 长岐中学 詹春燕 $$