27.2.1.2 三边成比例的两个三角形相似　课件　　2023--2024学年人教版九年级数学下册

第二十七章 相 似 27.2.1 相似三角形的判定 第2课时 三边成比例的两个三角形相似 1/17 长岐中学 詹春燕 1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理. 2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点) 学习目标 2/17 长岐中学 詹春燕 2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获 得证明三角形相似的启发吗？ 导入新课 1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？ A B C D E 复习引入 3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？ 3/17 长岐中学 詹春燕 讲授新课（第32~33页） 三边成比例的两个三角形相似 探究 画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ， 动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？ 这两个三角形是否相似？ A B C C′ B′ A′ 4/17 长岐中学 詹春燕 A B C C′ B′ A′ 通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论. 5/17 长岐中学 詹春燕 ∴ C′ B′ A′ 证明: 在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. ∴ DE=B′C′，EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′， △A′B′C′ ∽△ABC. B C A D E 又 ，AD=A′B′， ∴ ， . 6/17 长岐中学 詹春燕 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． 归纳： ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 符号语言： 7/17 长岐中学 詹春燕 例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 典例精析 解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中， DE > EF > FD. ∴ △ABC ∽ △DEF. ∵ ， ， ， ∴ . 8/17 长岐中学 詹春燕 方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 9/17 长岐中学 詹春燕 已知△ABC 和△DEF，根据下列条件判断它们是否相似. (3) AB=12， BC=15， AC＝24， DE＝16，EF＝20， DF＝30. (2) AB=4， BC =8， AC＝10， DE＝20，EF＝16， DF＝8； (1) AB =3， BC =4， AC＝6， DE＝6， EF＝8， DF＝9； 是 否 否 练一练 10/17 长岐中学 詹春燕 ∴∠BAC=∠DAE，∠BAC －∠DAC = ∠DAE －∠DAC， 即 ∠BAD=∠CAE. ∵∠BAD=20°， ∴∠CAE=20°. ∴ △ABC ∽△ADE (三边成 比例的两个三角形相似). 例2 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD=20°，求∠CAE的度数. A B C D E 解：∵ 11/17 长岐中学 詹春燕 1. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 ( ) ① ② ③ ④ A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ C 当堂练习 12/17 长岐中学 詹春燕 2. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似： AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm，A′B′=12cm ，B′C′=18cm ，A′C′=21cm. 答案：不相似. 13/17 长岐中学 詹春燕 3. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△EFD∽△ABC． ∴ △EFD∽△ABC. 证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC， CA的中点， ∴ ∴ 14/17 长岐中学 詹春燕 解：在 △ABC 和 △ADE 中， ∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E. ∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ， ∴∠BAD=∠CAE. 故图中相等的角有∠BAC=∠DAE， ∠B=∠D，∠C=∠E， ∠BAD=∠CAE. 4、如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由. A B C D E 15/17 长岐中学 詹春燕 三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似 课堂小结 相似三角形的判定定理的运用 16/17 长岐中学 詹春燕 课后作业 17/17 长岐中学 詹春燕 能力提升 1、如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是 ( ) A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA A C B P D C ∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA，故选C. 解析：设AP=PB=BC=CD=1，∵∠APD=90°，∴AB= ，AC= ，AD= . 长岐中学 詹春燕 2. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米，DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由. A C B D 28 14 21 42 31.5 解：公路 AB 与 CD 平行. ∴ ∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC， ∴AB∥DC. 长岐中学 詹春燕 19 3、 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′ = 90°，且 求证：△ A′B′C′∽△ABC. 证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′， ∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－ 4 A′C′ 2 = 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2. ∴ △ A′B′C′∽△ABC. (三边对应 成比例的两个三角形相似) ∴ BC=2B′C′， 长岐中学 詹春燕 $$