《27.2.1 相似三角形的判定》同步练习题2024-2025学年人教版数学九年级下册

2024-2025学年人教版九年级数学下册《27.2.1相似三角形的判定》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（　　） A．有一个角相等的两个菱形必相似 B．有一条边相等的两个矩形必相似 C．有一个角相等的两个等腰三角形必相似 D．有一条边相等的两个等腰三角形必相似 2．下列条件中，不能判定和相似的是（    ） A． B．， C．，且 D．，且 3．如图，在中，，，．将沿图中的虚线剪开，按照下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①② D．④ 4．如图，以下三个三角形中，相似的是（    ） A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（2）和（3） 5．如图，在中，，，交于点O，则图中与相似的三角形有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 6．如图，的边上有两点、，且是正三角形，则下列条件不一定能使与相似的是（    ）    A． B． C． D． 7．如图，中，，P是边上一点，，过P作一条直线，使截得的三角形与相似，这样的直线可以作（    ）条．    A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在中，，D、E是斜边上两点，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，若，下列结论： ①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②④ 二、填空题 9．已知一个三角形的三边长分别为、、，另一个三角形的三边长分别为、、 时，这两个三角形相似． 10．如图，要使和相似，请你添加一个条件 ．    11．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD= 时，图中的两个直角三角形相似．    12．如图，中，，，点D是边上的中点，图中与相似三角形是 ． 13．如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①；②；③；其中能与相似的是 ．（除外） 14．如图，，，垂足分别为B、C，且，，，点P在上，且使得与相似，则 ． 15．如图，已知中，，，在内找一点，使得和相似，小聪的做法是：取边上的中线，作，垂足为，则和相似．小聪同学作图的理论依据是 ． 16．如图，在与中，，，，交于点D，给出下列结论．①；②；③；④．其中正确的结论是 （填写正确结论的序号）． 三、解答题 17．如图，在中，． (1)尺规作图：在上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）作图的基础上，连接，求证：． 18．如图，是等边三角形，点、分别在、的延长线上，． (1)请找出图中相似的三角形； (2)请选择其中一对说明理由． 19．如图所示，在等腰三角形中，，点E，F在线段上，，点Q在线段上，且． 求证：(1)； (2)． 20．如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 21．如图，是的外接圆，O点在边上，的平分线交⊙于点D，连接，过点D作的平行线，与的延长线相交于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长； (3)与是否相似？请说明理由． 22．（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A B C B D D 1．解：A．有一个角相等的两个菱形必相似，原说法正确，符合题意； B．有一条边相等的两个矩形不一定相似，原说法错误，不符合题意； C．有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，原说法错误，不符合题意； D．有一条边相等的两个等腰三角形必相似不一定相似，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．解：A．，符合“三边对应成比例，两个三角形相似”，故可以判定和相似，故本选项不符合题意； B．，，符合“有两对角分别相等的两个三角形相似”，故可以判定和相似，故本选项不符合题意； C．，且，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，故可以判定和相似，故本选项不符合题意； D．，且，不符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，故不可以判定和相似，故本选项符合题意； 故选：D． 3．解：①剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③剪下的三角形与原三角形两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似；④剪下的三角形与原三角形对应边不一定成比例，故两三角形不一定相似； 综上所述，①②③剪下的三角形与原三角形相似． 故选：A 4．解：第（1）个三角形的第三角是， 第（2）个三角形的第三角是， 第（3）个三角形的第三角是， ∴（2）和（3）两个三角形的两角对应相等， ∴（2）和（3）两个三角形相似． 故选：B． 5．解：根据题意，∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 所以图中与相似的三角形有3个， 故选：C． 6．解：∵是正三角形， ∴， ∴ 选项A，当时，， ∵， ∴， ∴， 选项C，由， ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴， 选项D，由，， ∴， ∵ ∴， 选项B条件不足以证明与， 故选：B． 7．解：如图，过P分别作，的平行线， 可得，， 过P作的垂线，与交于点E， 可得， 过P作的垂线，与交于点F， 可得， ∴这样的直线可以作4条， 故选D．    8．解：在中，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， 故②正确； ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故结论③错误； ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 故结论④正确， 综上可知，正确的是①②④， 故选：D 9．解：∵6∶12＝7.5∶15＝1∶2， ∴9∶18＝1∶2， 故答案为：． 10．解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 11．解：∵∠ACB=∠CBD=90°， ∴要使△ACB和△CBD相似， 必须 或 ∵AC=8，CB=2代入上式，求出BD=或8． 故选：D． 12．解：∵，点D是边上的中点， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴， 故答案为： 13．解：根据网格可知：AB=1，AC=，BC=，△ABC的三边之比是AB：AC：BC＝1：：， 同理可求：②△CDB的三边之比是CD：BC：BD＝1：：2； ③△DEB中DE：BD：BE＝2：2：＝1：：． ∴③（△DEB）与△ABC相似， 故答案为：③△DEB． 14．解：设BP=x，则PC=14-x； 情况一：BP与CP是对应边时，，即，解得x=8； 情况二：BP与DC是对应边时，，即，解得． 所以，BC上存在两个点P，BP=6或8使得△ABP∽△PCD． 故答案为6或8． 15．解：两角分别相等的三角形相似， 中，为斜边上的中线， ， ， 又， ， 故答案为：两角分别相等的三角形相似． 16．解：在△AEF和△ABC中 ∵， ∴△AEF≌△ABC（SAS）， ∴AF＝AC， ∴∠AFC＝∠C， ∴①正确； 不正确，理由是：假设， ∵△AEF≌△ABC ∴∠AFD=∠C，AF=AC， ∴△ACF≌△AFD， ∴∠DAF=∠FAC， 原题中无AF为∠BAC平分线这一条件， ∴②错误； ∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF， ∴△ADE∽△FDB， ∴③正确； ∵△AEF≌△ABC， ∴∠EAF＝∠BAC， ∴∠EAF﹣∠DAF＝∠BAC﹣∠DAF， ∴∠EAD＝∠CAF， ∵△ADE∽△FBD， ∴∠BFD＝∠EAD＝∠CAF， ∴④正确； 故答案为：①③④ 17．（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 18．（1）解：相似三角形有：，； （2）的理由： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 的理由： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（1）证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴． 20．（1）解：∵正方形， ∴, ∵， ∴， ∵点F在上， ∴, ∴, ∵, ∴． （2）解：与相似，理由如下： 设， ∵E为边的中点，， ∴， ∴，,, ∴,即, ∴, ∵, ∴, ∴． 21．（1）证明：如图所示，连接， ∵圆心O在上， ∴是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解： 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，，即， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又 ， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接，   四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$