24.1.2垂直于弦的直径（精准课件、教学设计、导学案、作业设计） 2024-2025学年人教版数学九年级上册

24.1.2垂直于弦的直径 教学设计 1.探究 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ 结论证明： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 从前面的证明我们知道,如果⊙O的直径CD⊥AB，垂足为M ，那么点A与B对称点.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 这样，我们就得到垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 定理辨析： 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 定理推论 如果把垂径定理中“垂直于弦的直径平分弦”的题设与结论交换一下，所得命题是否成立？ 所得命题： 已知：AB是⊙O的一条弦， 作直径CD，使AM=BM. 求证（1）CD⊥AB （2） 垂径定理推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何语言： 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 例 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？ 练习 1.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径. 三、课堂小结 在利用垂径定理解题时，通常需要作____，构造__________， 把____定理和____定理结合起来，容易得到圆的半径r，弦心距d，和弦长 a之间的关系式. 四、作业布置 见精准作业设计 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1.2垂直于弦的直径 教学设计 一、教学目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论. 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. 重点：理解垂直于弦的直径的性质和推论. 难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. 二、教学过程 探究 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ 可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 结论证明： 要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上. 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′. 在△OAA′中， ∵ OA=OA′ ∴ △OAA′是等腰三角形 又 AA′⊥CD ∴ AM=MA′ 即CD是AA′的垂直平分线 这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.即 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 从前面的证明我们知道,如果⊙O的直径CD⊥AB，垂足为M ，那么点A与B对称点.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 线段: AE=BE 这样，我们就得到垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何语言： ∵ CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB，垂足为E. ∴ AE=BE，. 垂径定理的几个基本图形： 定理辨析： 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ （1）是 （2）不是，因为没有垂直 （3）是 （4）不是，因为CD没有过圆心 定理推论 如果把垂径定理中“垂直于弦的直径平分弦”的题设与结论交换一下，所得命题是否成立？ 所得命题：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦. 已知：AB是⊙O的一条弦， 作直径CD，使AM=BM. 求证（1）CD⊥AB （2） 证明: （1）连接AO,BO,则AO=BO 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS） ∴∠AEO=∠BEO=90° ∴CD⊥AB （2）由垂径定理可得 垂径定理推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何语言： ∵ CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦(不是直径)，且AE=BE ∴ CD⊥AB， 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. · 特别说明：圆的两条直径是互相平分的. 例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？ 解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高. 由题设可知，AB=37m，CD=7.23m 所以，AD=AB=×37=18.5(m)，OD=OC-CD=R-7.23 在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2 即 R2=18.52+(R-7.23)2 解得 R≈27.3(m) 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m 练习 1.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径. 解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA. ∴ AE=BE=AB=×8=4(cm) 在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE2+OE2=AO2 即 42+32=AO2 解得 AO=5cm 因此，⊙O的半径为5cm. 三、课堂小结 在利用垂径定理解题时，通常需要作___弦心距___，构造___直角三角形_______， 把__ 垂径 __定理和_ 勾股___定理结合起来，容易得到圆的半径r，弦心距d，和弦长 a之间的关系式. 四、作业布置 见精准作业设计 五、板书设计 ( 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 . 几何语言： ∵ CD是 ⊙ O的直径，AB为弦，CD ⊥ AB，垂足为E. ∴ AE=BE， . 垂径定理推论： 平分弦 (不是直径) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 . 几何语言： ∵ CD是 ⊙ O的直径，AB为 ⊙ O的弦(不是直径)，且AE=BE ∴ CD ⊥ AB， ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课前诊测 如图，⊙O的半径为4cm，∠AOB=60°，则弦AB的长为 cm. 精准作业 必做题 1.如图，⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若MC=2，则AB的长为 . 2.如图，AB是⊙O的弦,C为AB的中点，OC的延长线交⊙O于点D.若CD=2，AB=12,求⊙O的半径. 解：如图，连接AO . 选做题 如图，已知⊙O的半径为10cm,弦AB的长为16cm， P为AB延长线上一点，BP=4cm，则OP= cm. 参考答案 课前诊测 如图，⊙O的半径为4cm，∠AOB=60°，则弦AB的长为 4 cm. 精准作业 必做题 1.如图，⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若MC=2，则AB的长为 8 . 2.如图，AB是⊙O的弦,C为AB的中点，OC的延长线交⊙O于点D.若CD=2，AB=12,求⊙O的半径. 解：如图，连接AO 设⊙O的半径R，则OA=R,OC=R-2 ∵C为AB的中点 ∴ AC=BC=AB=×12=6 ∵OC⊥AB 在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2+OC2=AO2 即 （R-2）2+62=R2 解得 R=10 因此，⊙O的半径为10. 选做题 如图，已知⊙O的半径为10cm,弦AB的长为16cm， P为AB延长线上一点，BP=4cm， 则OP= cm. 学科网（北京）股份有限公司 $$人教版.九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径 学习目标 学习目标: 1.进一步认识圆,了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论. 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. 重点:理解垂直于弦的直径的性质和推论. 难点:灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. 实验发现 实验: 圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线. 结论: 自主探究 用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论? O 要证明圆是轴对称图形,只需要证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上. 如图,设CD是⊙O的任意一条直径,A为⊙O上点C,D以外的任意一点. 过点A作AA’⊥CD,交⊙O于 点A’,垂足为M,连接OA,OA’. 结论证明 在 OAA’中,∵OA=OA’ ∴ OAA’是等腰三角形. ∵ AA’⊥CD ∴AM=AM ’ 即CD是AA ’的垂直平分线,因此⊙O关于直线CD对称. O B C D M A 从前面的证明我们知道,如果⊙O的直径CD⊥AB,垂足为M ,那么点A与B对称点.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD 这样我们就得到了垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 垂径定理 O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD是直径,AB为弦 ∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD. 几何语言: 垂径定理 CD⊥AB于点E, 垂径定理的几个基本图形: A B O C D E A B O E D A B O C A B O D C 想一想:下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不是,请说明为什么? 是 不是,因为没有垂直 是 不是,因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 定理辨析 7 如果把垂径定理中“垂直于弦的直径平分弦”的题设与结论交换一下,所得命题是否成立? 所得命题:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦. O A B D M C 已知:AB是⊙O的一条弦, 作直径CD,使AM=BM. 求证(1)CD⊥AB (2) 定理推论 AC 与BC相等吗? AD与BD相等吗? 如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使AE=BE. (1)CD⊥AB吗?为什么? (2) O A B C D E (2)由垂径定理可得AC =BC, AD =BD (1)连接AO,BO,则AO=BO 又AE=BE,∴ AOE≌ BOE(SSS) ∴∠AEO=∠BEO=90 ∴CD⊥AB 推论论证 AC与BC相等吗? AD与BD相等吗?为什么? 思考:“不是直径”这个条件能去掉吗?如果不能,请举出反例. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. O A B C D 特别说明:圆的两条直径是互相平分的. ∵ CD是直径,AB是弦(不是直径) 且AM=BM, ∴CD⊥AB, AC =BC, AD =BD. 几何语言: 垂径定理推论 37m 7.23m 例 赵州桥的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m,求赵州桥主桥拱的半径. 人教版初中数学《垂直于弦的直径》ppt精美(PPT优秀课件) 例题讲解 解:用 表示主桥拱,设 所在圆的圆心为O,半径为R. 经过圆心O 作弦AB 的垂线OC,D为垂足. 由垂径定理可得,D 是AB 的中点,C是 的中点,CD 就是拱高. A C D B O AD= AB=18.5, R 18.5 OD=OC-CD=R-7.23 在Rt AOD中, ∵ OA2=AD2+OD2 R-7.23 ∴R2=18.52+(R-7.23)2 解得 R≈27.3 ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. 例题讲解 如图,已知在圆O中,弦AB的长为8㎝,圆心O到AB的距离为3㎝,求圆O的半径. 解:过点O作OE⊥AB,垂足为E,连接OA., AE=4cm OE⊥AB OE=3cm 在Rt OEA中,根据勾股定理得: AO2=OE2+AE2=32+42=25 AO=5cm 巩固练习 在利用垂径定理解题时,通常需要作_,构造_,把_定理和_定理结合起来,容易得到圆的半径r,弦心距d,和弦长 a之间的关系式_. 弦心距 直角三角形 垂径 勾股 解题方法: 数学思想: 转化思想、 方程思想、 分类讨论的数学思想. 课堂小结 谢谢! $$