3.2.1单调性与最大（小）值课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1单调性与最大（小）值 2 t h 0 思考1：施放烟花的过程中烟花的运动轨迹是什么？ 思考2：从左向右看，烟花轨迹图象的变化趋势是什么？ 思考3： 观察下列函数图象，你会发现函数图象的哪些特征？ 问题：怎样理解“y随x的增大而增大（或减小）”的？ 在初中我们研究过二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) ，学习过它的图象与性质： 当a>0时，图象开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小， 在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，图象开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小。 以函数y=x2为例 追问1:从左向右看函数在区间（0，+∞）上的图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）怎样描述图象的这种变化呢 ？ 追问2：观察下表，你能给出具体的数量描述吗 追问3：这样的变化过程能写得完吗？ 追问4：“x增大了”，“对应的函数值y增大”怎样借助符号语言表示？ 当x1< x2时， f(x1)< f(x2) x y O 1 1 2 -1 -2 2 3 4 x1 f(x2) x2 f(x1) M N 任意的 都有 图象从左向右上升， 在区间 随着自变量x的增大，函数值y也增大 图形语言 文字语言 符号语言 追问5：这里x1，x2只取（0，+∞）上的某些数是否可以？对x1，x2，有什么要求？ 追问6：你觉得更严格的表达应该是怎样的？ 对于区间（0，+∞）上的任意的两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数y=x2在区间（0，+∞）上是单调递增的. 追问7：对于函数y=x2，你能模仿上述方法给出“在区间(-∞，0]上，y随x的增大而减小”的符号语言刻画吗？ 对于区间(-∞，0]上的任意的两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y=x2在区间(-∞，0]上是单调递减的. x y O 1 1 2 -1 -2 2 3 4 x1 f(x2) x2 f(x1) M N 跟踪练习： 请你模仿上述过程， 用严格的符号语言刻画函数y=|x|的单调递增或单调递减 探究一：单调性的定义 定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间 ： 如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 探究一：单调性的定义 定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间 ： 如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 例1 根据定义，研究函数 的单调性. 分析：根据函数单调性的定义，需要考察当 时， 还是 .根据实数大小关系的基本事实，只要考查 与0的大小关系. 探究一：单调性的应用 解：函数 的定义域是R. ，且 ，则 由 ，得 .所以 ①当k>0时， .于是 ，即 .这时， 是增函数. ②当k<0时， .于是 ，即 .这时， 是增函数. 例2 物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试对此应用函数的单调性证明. 分析：根据题意，只要证明函数 是减函数即可. 证明： ，且 ，则 由 ，得 ； 由 ，得 . 又k>0，于是 即 所以，根据函数单调性的定义，函数 是减函数.也就是说，当体积V减小时，压强p将增大. 例3 根据定义证明函数 在区间 上单调递增. 证明： ，且 ，有 由 ，得 所以 又由 ，得 于是 即 . 所以，函数 在区间 上单调递增. 定义法判断函数单调性的一般步骤： ①取值：在指定区间内任取 ，且 ②作差变形：作差 ，利用因式分解、配方等方法进行变形 ③判号：判断 的符号 ④定论：确定函数的单调性 19 20 21 22 23 找共性 看个性 对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程是： 考法(一)是比较函数值的大小．解决此类问题时，应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上，利用单调性比较大小． 考法(二)是求解与函数单调性有关的抽象函数不等式．求解此类问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用． 考法(三)是在考法(一)和考法(二)基础上的更深一步的拓展，根据函数单调性把问题转化为单调区间关系的比较 24 25 26 27 28 29 30 基本不等式法 图象法 单调性法 分子、分母其中一个为一次，一个为二次的函数结构以及两个变量(如x，y)的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值(值域) 能作出图象的函数，用图象法，观察其图象最高点、最低点，求出最值(值域) 易确定单调性的函数，利用单调性法研究函数最值(值域) 31 32 33 34 函数的最大 值、最小值 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 最值M一定是一个函数值，是值域中的一个元素 在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域 直观想象：通过数形结合法求函数最大值与最小值，培养直观想象的核心素养 函数最值的求法 (1)图象法：对已知函数图象的用此法. (2)配方法：对二次或通过换元得到的二次型函数适用 (3)单调性法：适用于可判断在闭区间上单调的函数 求解方法 概念 最大值 最小值 考点三 函数的最值(值域)eq \a\vs4\al([师生共研过关]) $$