3.1.2函数表示法课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1.2函数的表示法 【素养目标】 1．了解函数的三种表示法及各自的优缺点．(数学抽象) 2．尝试作图并从图象上获取有用的信息．(直观想象) 3．会用解析法及图象法表示分段函数．(数学建模) 4．掌握求函数解析式的常见方法．(数学运算) 5．能根据给出的分段函数，研究有关性质．(数据分析) 2 新课引入 在初中,我们已经接触过函数的三种表示法: 解析法、列表法、图像法。三种方法分别用数学表达式、表格、图像来表示两个变量之间的对应关系。 今天，我们继续用这三种方法研究函数. 3 解析法 用___________表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出_____来表示两个变量之间的对应关系 图象法 用_____表示两个变量之间的对应关系 数学表达式 表格 图象 表示方法 优点 缺点 列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量对应的函数值 只能表示自变量可以一一列出的函数关系 图象法 能形象直观地表示出函数的变换情况 只能近似地求出函数值，而且有时误差较大 解析法 (1)简明、全面地概括了变量间的关系，从“数”的方面揭示了函数关系；(2)可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直观，而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来 能力形成·合作探究 [分析]　先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象． 二　分段函数的图象及应用 例 2 9 10 [归纳提升]　1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤 (1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型． (2)设函数式：设出函数的解析式． (3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式． (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围． 2．作分段函数图象的注意点 作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点． 11 12 13 14 19 20 1.如图，把截面半径为25cm的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为x（单位：cm），面积为y（单位：cm2），把y表示成x的函数。 25 解：由条件知： 矩形的一边长为x, 则另一边长为 那么矩形的面积： y=x （0<x<50） x 22 2.某市“招手即停”公共汽车票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）。 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。 解：设票价为y元，里程为x公里，则根据题意，自变量x的取值范围是（0，20] 由“招手即停”公共汽车票价的规定，可得到以下函数解析式： 23 课堂小结 让学生回答： 1.函数的三种表示方法的各自特点. 2.分段函数用两种方法表示的好处. 24 类型3　分段函数的实际应用 【例3】　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2eq \r(2) cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象． 当直线l从B点向右移动时左边部分分别是什么图形，相应图形的面积能否直接套用公式求解． [解]　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H. 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°， AB＝2eq \r(2) cm， 所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm， 又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm. (3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq \f(1,2)(7＋3)×2－eq \f(1,2)(7－x)2 ＝－eq \f(1,2)(x－7)2＋10. (1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝eq \f(1,2)x2； (2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝eq \f(x＋x－2,2)×2＝2x－2； 综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为 y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2，x∈[0，2]，,2x－2，x∈2，5]，,－\f(1,2)x－72＋10，x∈5，7].)) 图象如图所示． 分段函数的建模 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式． eq \a\vs4\al([跟进训练]) 3．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． [解]　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]． 由题意得函数的解析式如下： y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2，0<x≤5，,3，5<x≤10，,4，10<x≤15，,5，15<x≤20.)) 函数图象如图所示： $$