专题02 有理数和有理数的运算数轴动点压轴题训练2（4种类型40道）-2024-2025学年七年级数学上册期末复习高频考题专项训练（浙教版2024）

专题02 有理数和有理数的运算数轴动点压轴题训练2 （4种类型40道） 目录 【题型1 动点求速度】 1 【题型2 动点求点对应的值】 4 【题型3 动点重合问题】 7 【题型4 动点求距离或路程】 10 【题型1 动点求速度】 1．小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了到达小彬家，继续向东跑了到达小红家，然后又向西跑了到达学校，最后又向东，跑回到自己家． (1)以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置； (2)求小彬家与学校之间的距离； (3)如果小明跑步的速度是250米/分，那么小明跑步一共用了多长时间？ 2．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)求两点之间的距离； (2)点在点的右侧，在点的左侧，为14个单位长度，为8个单位长度，求点与点之间的距离； (3)在（2）的条件下，动点以3个单位长度/秒的速度从点出发沿正方向运动，同时点以2个单位长度/秒的速度从点出发沿负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇点表示的数是多少？ 3．综合与探究 已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是数轴上的一个动点． (1)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，到达点后，再从点出发沿着数轴向左运动，最终回到点．当点运动的时间为秒时，求点运动的路程及此时点在数轴上所表示的数． (2)若点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左运动，问经过多少秒时，点之间的距离恰好为点之间的距离的？ (3)若点从原点出发，沿着数轴按向右前进个单位长度，然后向左后退个单位长度的路径做往返运动，每秒运动一次（前进个单位长度或后退个单位长度），秒为一个周期． 第秒时，点所在的位置表示的数是________． 若点所在的位置表示的数是，求运动的时间是第多少秒？ 4．已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，M、N两点之间的距离表示为，则在数轴上M、N两点之间的距离，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为和6． (1)直接写出A、B两点之间的距离______； (2)若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数； (3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当时，时间t的取值． 5．已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 6．问题探究：如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，其中，且a、c满足． (1)__________，__________． (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数__________表示的点重合． (3)若点A以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点C以每秒4个单位长度的速度向左运动，假设运动时间为t秒，当点A与点C相距3个单位长度时，求此时t的值？ 7．数学实验室：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数到原点的距离为，可能在原点左边个单位，此时的值为_____，也可能在原点右边个单位，此时的值为_____． (2)与之间的距离表示为_____，结合上面的理解，若，则____． (3)当是_____时，代数式． (4)若点表示的数，点与点的距离是，且点在点的右侧，动点分别从同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 8．如图，已知数轴的单位长度为1，的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，求点C表示的数． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 9．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点出发的同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设、两点运动的时间为秒． (1)点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示） (2)当，时，分别求线段的长． (3)当时，求所有符合条件的的值． (4)若点一直沿数轴的正方向运动，点运动到点时，立即改变运动方向，以原速度沿数轴的负方向运动，到达点时，随即停止运动，在点的整个运动过程中，当时，直接写出的值． 10．已知数轴上有、、三点，分别对应有理数、、，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，同时，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设点的移动时间为秒． (1)当秒时，数轴上点对应的数为______，点对应的数为______，、两点间的距离为______，用含t的代数式表示数轴上点对应的数为______． (2)在点运动到点的过程中（点运动到点后停止运动），请用含的代数式表示、两点间的距离． (3)在点运动到点的过程中（点运动到点后停止运动），求当为何值时？ 【题型2 动点求点对应的值】 11．如图，，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为． (1)请写出与，两点距离相等的点所对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以单位/秒的速度向左运动．出发秒后，另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数； (3)若当电子蚂蚁从点出发时，以单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以单位/秒的速度也向左运动，某一时刻两只电子蚂蚁在数轴上相距，求此时点对应的数是多少？ 12．综合与探究： 【背景知识】在学习绝对值后，我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离．如图，如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而，即也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示数的点之间的距离，一般地，点、在数轴上分别表示数、，那么、之间的距离可表示为． 【问题解决】请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是__________；数轴上表示和的两点之间的距离是__________； （2）数轴上点表示的数是2，、两点的距离为3，则点表示的数是__________ （3）的几何意义是数轴上表示有理数__________的点与表示的点之间的距离； 【拓展延伸】 （4）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 13．如图①，在数轴上有一条线段，点A，B表示的数分别是2和． (1)线段 ； (2)若M是线段的中点，则点M在数轴上对应的数为 ； (3)若C为线段上一点，如图②，以点C为折点，将此数轴向右对折；如图③，点B落在点A的右边点处，若，求点C在数轴上对应的数是多少？ 14．如图所示，已知A，B两点在数轴上，点A在点B的左侧，点A表示的数为，点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍．    (1)数轴上点B对应的数是______． (2)若点C到点A、点B的距离相等，则点C表示的数为______．点C表示的数与点A表示的数之间的关系是______． (3)若点A与点D之间的距离表示，点A与点B之间的距离表示为，问：在数轴上是否存在点D，使得，若存在，请出点D表示的数是多少？若不存在，请说明理由？ 15．同学们都知道，表示3与差的绝对值，实际上也可以理解为3与在数轴上所对应的两个点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和两点之间的距离是______． (2)_____；若，则______． (3)若x表示一个有理数，的最小值为______． (4)已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3．现点A、点B分别以2个单位长度/秒和单位长度/秒的速度同时向右，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点A所对应的数是多少？ 16．如图，直径为个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合． (1)把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C对应的数是____________； (2)把圆片沿数轴一个方向滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是___________； (3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动5次的情况记录如下：，，，，． ①第___________次滚动后，点A距离原点最远？ ②当圆片结束滚动时，求点A对应的数是多少？ 17．已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离．已知数轴上A，B两点对应的数分别为－1，3，P为数轴上一动点． (1)若点P到A，B两点之间的距离相等，则点P对应的数为______． (2)若点P到A，B两点的距离之和为6，则点P对应的数为______． (3)现在点A以2个单位长度/秒的速度运动，同时点B以0.5个单位长度/秒的速度运动，A和B的运动方向不限，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点B所对应的数是多少？ 18．同学们都知道，表示与差的绝对值，实际上也可以理解为与在数轴上所对应的两个点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和两点之间的距离是______． （2）_____；若，则______． （3）若表示一个有理数，的最小值为_______． （4）已知数轴上两点、对应的数分别为，．现点、点分别以个单位长度秒和单位长度秒的速度同时向右，当点与点之间的距离为个单位长度时，求点所对应的数是多少？ 19．如图，已知A，B分别为数轴上的两点，点A表示的数是，点B表示的数是50． （1）请写出线段AB中点M表示的数是 ． （2）现有一只蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设两只蚂蚁在数轴上的点C相遇，求点C对应的数是多少？ （3）若蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时另一只蚂蚁Q恰好从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左运动，设两只蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点表示的数是多少？    20．已知，如图，A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为 - 20，B点对应的数为80． （1）请写出A、B两点之间相距几个单位； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以7单位/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3单位/s的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗? （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以7单位/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3单位/s的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗? 【题型3 动点重合问题】 21．已知 A，B两点在数轴上分别示有理数a，b，在数轴上A，B两点之间的距离，如图，若，P为数轴上一动点，设点P在数轴上表示的数为x． (1)若，则_______； (2)若，则______； (3)将数轴沿着点A折叠，若数轴上的M，N两点折叠后重合，且点M在点N的左侧，M，N两点之间距离为15，数轴上一点C与M之间的距离为2，求点M，N，C表示的数是多少？ 22．如图，在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)将A，B，C三点所表示的数在如图所示的数轴上表示出来； (2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度所到达的点？ (3)如果移动点A，B，C中的两个点，使得三个点重合，你有几种移动方法？请分别求出移动的长度之和． 23．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三个点，，，其中，两点之间的距离是2，，两点之间的距离是1，设，，所对应数的和是． (1)若以为原点，直接写出，对应的数，并求出的值； (2)若，表示的数互为相反数，则原点在点的________（填“左”或“右”）侧； (3)若原点在数轴上距离点1个单位长度，求的值； (4)若，直接写出原点会与，，中的哪个点重合． 24．如图①，点在数轴上对应的数分别为，且． (1)求出的值； (2)如图②所示，现将该数轴沿着点折叠，使得点的对应点与点重合． ①点表示的数为______； ②点为该数轴上点左侧的一点，沿着点进行同样的折叠后，对应点记作点．若点与点之间相距10个单位长度，借助数轴求出点所表示的数． 25．【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： (1)应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为__________， (2)应用二：若点表示的整数为，则当为_________时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为________，此时所有符合条件的整数的和为__________． (4)应用四：如图，将数轴沿着点折叠，若数轴上，两点折叠后重合，且点在点的左侧，，两点之间距离为12，，两点之间距离为4，则点表示的数是_______；点表示的数是__________；点表示的数是__________． 26．如图所示，在数轴上有三个点A、B，C，它们所表示的数分别为、、2，试回答下列问题． (1)B，C两点间的距离是_______；将A点向______平移______个单位到达C点； (2)若D点与B点的距离是8，则D点表示的数是______； (3)若将数轴折叠，使A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合． 27．已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示1的点重合，则表示3的点与表示 的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示0的点与表示 的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为8，在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 28．已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示___________的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示3的点与表示___________的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为12，（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 29．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化． (1)平移运动： ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式计算表示出以上过程及结果是　　　． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是　　　． (2)翻折变换： ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示　　　的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则点A、点B分别表示　　　、　　　． ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为　　　．（用含有a，b的式子表示） 30．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合． 若数轴上数表示的点与数1表示的点重合，请解决下列问题： (1)数轴上数3表示的点与数______表示的点重合； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，并且，两点经折叠后重合，求点表示的数； (3)已知数轴上，两点之间的距离为2024；若，两点经折叠后重合，且点表示的数比点表示的数大，求和表示的数． 【题型4 动点求距离或路程】 31．如图，已知点O是原点，点A在数轴上，点A表示的数为－6，点B在原点的右侧，且OB＝OA， （1）点B对应的数是_________，在数轴上标出点B． （2）已知点P、点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以3个单位/秒的速度向左运动； ①用含t的式子分别表示P、Q两点表示的数：P是__________；Q是____________； ②若点P和点Q经过t秒后在数轴上的点D处相遇，求出t的值和点D所表示的数； ③求经过几秒，点P与点Q分别到原点的距离相等？ 32．(1)根据下面给出的数轴，解答下面的问题： ①请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：______，B：______； ②观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：______； ③若将数轴折叠，使得A点与-3表示的点重合，则B点与数______表示的点重合． (2)如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． ①当0＜t＜5，用含t的式子填空：BP＝______，AQ＝______； ②当t＝2时，求PQ的值； 33．已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒． （1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；P、Q两点间的距离为 ． （2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为 ． （3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离． 34．如图，已知在数轴上有、两点，点表示的数是，点表示的数是．点在数轴上从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点在数轴上从点出发，以每秒个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒． （1）_______；时，点表示的数是_______；当_______时，、两点相遇； （2）如图，若点为线段的中点，点为线段中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长； （3）如图，若点为线段的中点．点为线段中点，则直接写出用含的代数式表示的线段的长． 35．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动设运动时间为t秒． ，B两点间的距离等于______，线段AB的中点表示的数为______； 用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； 求当t为何值时，？ 若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变请直接写出线段MN的长． 36．如图，相距5km的A、B两地间有一条笔直的马路，C地位于AB两地之间且距A地2km，小明同学骑自行车从A地出发沿马路以每小时5km的速度向B地匀速运动，当到达B地后立即以原来的速度返回．到达A地停止运动，设运动时间为t(小时).小明的位置为点P、若以点C为坐标原点，以从A到B为正方向，用1个单位长度表示1km，解答下列各问： (1)指出点A所表示的有理数； (2)求t =0.5时，点P表示的有理数； (3)当小明距离C地1km时，直接写出所有满足条件的t值； (4)在整个运动过程中，求点P与点A的距离(用含t的代数式表示)； (5)用含t的代数式表示点P表示的有理数. 37．已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 38．已知、在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上两个动点： （1）写出点所对应的数； （2）点到、的距离之和是6个单位长度时，点所对应的数是多少？ （3）如果、分别从点、同时出发，均沿数轴向同一方向运动，点每秒走2个单位长度，点每秒走3个单位长度，3秒后，点、之间的距离是多少？ 39．已知，数轴上有两点A、 B对应的数分别为−1，5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）若点P到点A、B的距离相等，求点A、B的距离及x的值． （2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小？若存在，请求出最小值；并求出取得最小值时x可以取的整数值；若不存在，说明理由． （3）点A、 B分别以3个单位长度/秒，2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点P以4个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以不变的速度向右运动，当遇到B时，点P立即以不变的速度向左运动，并不停往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 40．如图，已知A、B两地在数轴上相距20米，A地在数轴上表示的点为-8，小乌龟从A地出发沿数轴往B地方向前进，第一次前进1米，第二次后退2米，第三次再前进3米，第四次又后退4米，……，按此规律行进，（数轴的一个单位长度等于1米） （1）求B地在数轴上表示的数； （2）若B地在原点的左侧，经过第五次行进后小乌龟到达点P，第六次行进后到达点Q，则点P和点Q到点A的距离相等吗？请说明理由； （3）若B地在原点的右侧，那么经过30次行进后，小乌龟到达的点与点B之间的距离是多少米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数和有理数的运算数轴动点压轴题训练2 （4种类型40道） 目录 【题型1 动点求速度】 1 【题型2 动点求点对应的值】 14 【题型3 动点重合问题】 26 【题型4 动点求距离或路程】 37 【题型1 动点求速度】 1．小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了到达小彬家，继续向东跑了到达小红家，然后又向西跑了到达学校，最后又向东，跑回到自己家． (1)以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置； (2)求小彬家与学校之间的距离； (3)如果小明跑步的速度是250米/分，那么小明跑步一共用了多长时间？ 【答案】(1)数轴见详解 (2)小彬家与学校之间的距离为 (3)小明跑步一共用了40分钟 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及有理数除法的应用；解题的关键是理解题意； （1）根据题中信息可直接画出数轴即可； （2）由（1）及题意可直接进行求解； （3）根据题意可直接列式进行求解． 【详解】（1）解：由题意可得数轴如下： （2）解：由（1）中数轴可得：小彬家与学校的距离为； 答：小彬家与学校之间的距离为． （3）解：由题意得： （分）； 答：小明跑步一共用了40分钟． 2．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)求两点之间的距离； (2)点在点的右侧，在点的左侧，为14个单位长度，为8个单位长度，求点与点之间的距离； (3)在（2）的条件下，动点以3个单位长度/秒的速度从点出发沿正方向运动，同时点以2个单位长度/秒的速度从点出发沿负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇点表示的数是多少？ 【答案】(1)18 (2)4 (3)经过秒相遇，点表示的数为 【分析】本题主要考查绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）根据绝对值的性质可得点表示的数，再根据两点之间距离的计算方法即可求解； （2）根据两点之间的距离分别求出点表示的数，由此即可求解； （3）根据题意，设运动时间为秒，且由（1）可得的距离为18，由此列式可得，再根据点的移动可求出点表示的数． 【详解】（1）解：已知，且，， ∴，，解得，， ∴点表示的数是，点表示的数为6， ∴、两点之间的距离为：； （2）解：点在点的右侧，为14个单位长度，在点的左侧，为8个单位长度， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴点与点之间的距离为：； （3）解：根据题意，设经过秒相遇，由（1）可得，两点之间距离为18， ∴，解得（秒）， ∴点表示的数为， ∴经过秒相遇，点表示的数为． 3．综合与探究 已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是数轴上的一个动点． (1)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，到达点后，再从点出发沿着数轴向左运动，最终回到点．当点运动的时间为秒时，求点运动的路程及此时点在数轴上所表示的数． (2)若点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左运动，问经过多少秒时，点之间的距离恰好为点之间的距离的？ (3)若点从原点出发，沿着数轴按向右前进个单位长度，然后向左后退个单位长度的路径做往返运动，每秒运动一次（前进个单位长度或后退个单位长度），秒为一个周期． 第秒时，点所在的位置表示的数是________． 若点所在的位置表示的数是，求运动的时间是第多少秒？ 【答案】(1) (2)当经过5秒或秒时，点之间的距离恰好为点之间的距离的 (3)①6；②当点所在的位置表示的数为2025时，运动的时间为第2023秒 【分析】（1）根据点运动的速度和时间求出点运动的路程是个单位长度，而点和点之间的距离为个单位长度，所以点从点运动到点后又向左运动了个单位长度，求出点所在位置表示的数； （2）首先根据点、所表示的数得到，所以点、之间的距离的是个单位长度，而点、之间的距离为个单位长度分为两种情况：点、相遇前两点之间的距离为个单位长度；点、相遇后继续运动两点之间的距离为个单位长度； （3）根据点运动的规律计算可得第秒时点所在位置表示的数； 根据点运动的规律计算出当运动秒、秒、秒、秒、秒、秒时点表示的数找到规律，根据规律求出点表示时运动的时间． 【详解】（1）解：点运动的路程为个单位长度． 两点之间的距离为个单位长度， 点到达点后，又继续向左运动了个单位长度， 此时点表示的数为； 点之间的距离为个单位长度， （2）点之间的距离为个单位长度， 当点与点还没有相遇时，在点的左边：； 当点与点相遇后继续运动，点在点的右边时，； 综上所述，当经过5秒或秒时，点之间的距离恰好为点之间的距离的． （3） ，第秒时，点原点出发从运动了个周期， 点所在位置表示的数为：； 根据点运动的规律可得：点第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， …， 根据此规律，可知当点所在的位置表示的数为时，运动的时间为第秒． 4．已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，M、N两点之间的距离表示为，则在数轴上M、N两点之间的距离，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为和6． (1)直接写出A、B两点之间的距离______； (2)若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数； (3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当时，时间t的取值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或或 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴两点间的距离，绝对值方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，得出，即可作答． （2）进行分类讨论，则点C在B点的右边；当点C在A点与B点的之间，当点C在A点的左边，分别运用数轴两点间的距离进行列式计算，即可作答． （3）考虑，则点P表示的数是，列式，解得或，点P第一次从点往点移动时，则点P表示的数是，得，解得或；当点P第二次从出发，列式，解得．据此即可作答． 【详解】（1）解：∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6． ∴ ∴A、B两点之间的距离为； （2）解：设点C在数轴上表示有理数c， 点C在B点的右边，则结合数轴，， 不满足C到B的距离是到A的距离的2倍，故舍去； 当点C在A点与B点的之间， ∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍， 则 解得， 当点C在A点的左边， ∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍， 则 解得， ∴点C表示的数为或； （3）解：依题意，时间为t， 点Q表示的数是， ∵， ∴， ∴则点P表示的数是， ∵， ∴， 即， ∴或， 解得或， 当点P表示的数去到点，且点P第一次从点往点移动时， 则， ∴则点P表示的数是， ∵， ∴， ， 即或， 此时或， 当点P刚好回到，此时点Q表示的数是， ∵， ∴， ∵， ∴当点P第二次从A出发，， 则点P表示的数是， ∵， ∴， ∴， 综上或，或或． 5．已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①当运动秒时，点追上点；②当点运动秒或秒时，点与点间的距离为8个单位长度 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程． （1）先根据数轴上两点距离计算公式得到点表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可； （2）①根据追及问题的等量关系，利用动点P的运动距离减去动点Q的运动距离，列方程即可求解； ②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为6，是数轴上在原点左侧的一点，且，两点间的距离为， ∴点表示的数为， 当点运动到的中点时，点P表示的数为， 故答案为：，； （2）解：①根据题意，得， 解得， ∴当运动秒时，点追上点； ②根据题意得： 当点与点相遇前，点与点距离8个单位长度时，则， 解得； 当点与点相遇后，点与点距离8个单位长度时，则， 解得， ∴当点运动秒或秒时，点与点间的距离为8个单位长度． 6．问题探究：如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，其中，且a、c满足． (1)__________，__________． (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数__________表示的点重合． (3)若点A以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点C以每秒4个单位长度的速度向左运动，假设运动时间为t秒，当点A与点C相距3个单位长度时，求此时t的值？ 【答案】(1)， 14 (2)8 (3)3或． 【分析】本题主要考查绝对值的非负性，数轴上两点之间的距离，解题的关键是分类讨论思想的应用， （1）根据题意结合绝对值得非负性即可求得； （2）根据中点坐标求的折点，结合中点即可求得对应的点； （3）分相遇前和相遇后距离和速度即可求得时间． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：， 14； （2）解：∵将数轴折叠，使得A点与C点重合， ∴折点为， ∵， ∴点B与数表示的点重合， 故答案为：8； （3）解：①A与C相遇之前 （秒） ②A与C相遇之后 （秒） 综上t为3或． 7．数学实验室：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数到原点的距离为，可能在原点左边个单位，此时的值为_____，也可能在原点右边个单位，此时的值为_____． (2)与之间的距离表示为_____，结合上面的理解，若，则____． (3)当是_____时，代数式． (4)若点表示的数，点与点的距离是，且点在点的右侧，动点分别从同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 【答案】(1)，； (2)，或； (3)0或； (4)运动或秒后，． 【分析】（）根据绝对值的定义即可求解； （）去绝对值符号解方程即可； （）分当时，当时，当时三种情况分析即可； （）设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，然后分当在左侧时，当在右侧时两种情况分析即可求解； 本题考查了数轴和绝对值的意义，解一元一次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵数轴上数到原点的距离为， ∴在原点左边个单位时，的值为，在原点右边个单位时，的值为， 故答案为：，； （2）根据题意：与之间的距离表示为， 当时，；当时，； 故答案为：，或； （3）当时，，解得：， 当时，（舍去）， 当时，，解得：， 综上可知：当时，代数式， 故答案为：0或； （4）∵点表示的数，点与点的距离是，且点在点的右侧， ∴点表示的数， 设运动时间为秒， ∵分别从同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴当在左侧时， ，解得：； 当在右侧时， ，解得：； ∴运动或秒后，． 8．如图，已知数轴的单位长度为1，的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，求点C表示的数． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 【答案】(1)点C表示的数为5； (2)点表示的数为或1； (3)运动4秒后，点P可以追上点Q． 【分析】本题考查了相反数、数轴及两点间的距离、数轴上的动点问题，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想进行求解． （1）、互为相反数，就知道、分别表示，从而确定原点位置，即而得出表示的数； （2）分两种情况进行讨论，当点在点左边时，当点在点的右边时； （3）、E表示绝对值相等，则到原点距离相等，从而确定出原点位置，根据追及问题即可求得点P追上点Q所用时间． 【详解】（1）解：、互为相反数，且，如图： 表示，表示1， 表示的数为5； （2）解：由题意，可知点在点的左边或右边： 当点在点的左边时，如图： 由图可知点表示的数是； 当点在点的右边时，如图： 由图可知点表示的数为1， 故当时，点表示的数为或1； （3）解：、E表示的数的绝对值相等，即互为相反数，可确定原点为点A， 则点B表示的数为，点C表示的数为， ∴点P追上点Q所用时间为， 答：运动4秒后，点P可以追上点Q． 9．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点出发的同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设、两点运动的时间为秒． (1)点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示） (2)当，时，分别求线段的长． (3)当时，求所有符合条件的的值． (4)若点一直沿数轴的正方向运动，点运动到点时，立即改变运动方向，以原速度沿数轴的负方向运动，到达点时，随即停止运动，在点的整个运动过程中，当时，直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)当时，；当时，； (3)或； (4)或． 【分析】本题主要考查了两点间的距离，数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是熟记两点间的距离公式，找到等量关系． （1）根据点的运动方向列代数式即可求解； （2）先根据两点间的距离公式求出，再把值代入求解； （3）根据两点间的距离公式列方程求解； （4）根据的取值范围，分类讨论，列方程求解． 【详解】（1）解：点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （2）， 当时，， 当时，； （3）由题意得：， 解得：或； （4）当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 综上所述，或． 10．已知数轴上有、、三点，分别对应有理数、、，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，同时，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设点的移动时间为秒． (1)当秒时，数轴上点对应的数为______，点对应的数为______，、两点间的距离为______，用含t的代数式表示数轴上点对应的数为______． (2)在点运动到点的过程中（点运动到点后停止运动），请用含的代数式表示、两点间的距离． (3)在点运动到点的过程中（点运动到点后停止运动），求当为何值时？ 【答案】(1)，，， (2)或或 (3)当时， 【分析】本题考查了数轴，代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离，对进行分类讨论． （1）根据题意，可以计算出当秒时，点和点对应的数，然后用大数减去小数就是两点间的距离，用点对应的数加上点移动的距离即可表示数轴上点对应的数； （2）先计算、相遇的时间，点到达终点的时间，点到达终点的时间，然后分类写出、两点间的距离； （3）分为、相遇前和相遇后进行讨论，用含有的式子分别表示出、相遇前、后的、，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：当秒时， 数轴上点对应的数为：， 点对应的数为：， 、两点间的距离为：， 用含t的代数式表示数轴上点对应的数为：， 故答案为：，，，； （2）设点追上点所用的时间为， ， 解得：， 点到达终点的时间为：（秒）， 点到达终点的时间为：（秒）， 当时，， 当时，， 当时，， 或或； （3）①、相遇前， ， ，即， 解得：，不符合题意，舍去； ②、相遇后， ，， ，即， 解得：， 综上所述，当时，． 【题型2 动点求点对应的值】 11．如图，，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为． (1)请写出与，两点距离相等的点所对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以单位/秒的速度向左运动．出发秒后，另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数； (3)若当电子蚂蚁从点出发时，以单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以单位/秒的速度也向左运动，某一时刻两只电子蚂蚁在数轴上相距，求此时点对应的数是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)点表示的数为或． 【分析】本题主要考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题，解决本题的关键是要熟练掌握行程问题的等量关系． (1)先求出长度，由两点间距离即可求出点对应的数； (2)先求出电子蚂蚁的相遇时间，进而求得相遇时点运动的路程，即可得出点对应的数； (3)分点在点左面，相距个单位时，和当点在点左面，相距个单位时两种情况，利用有理数的混合运算进行计算即可得解． 【详解】（1）解：， 点表示的数为：， （2）解：两之电子蚂蚁共同行走的路程为：， 它们的相遇时间是（秒）， 即相遇时点运动的路程为：， 因此点表示的数为：． （3）解：当点在点左面，相距个单位时， 两只蚂蚁的运动时间为：（秒）， 即点运动的路程为：， 因此点表示的数为：； 当点在点左面，相距个单位时， 两只蚂蚁的运动时间为：（秒）， 即点运动的路程为：， 因此点表示的数为：； 综上，点表示的数为或． 12．综合与探究： 【背景知识】在学习绝对值后，我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离．如图，如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而，即也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示数的点之间的距离，一般地，点、在数轴上分别表示数、，那么、之间的距离可表示为． 【问题解决】请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是__________；数轴上表示和的两点之间的距离是__________； （2）数轴上点表示的数是2，、两点的距离为3，则点表示的数是__________ （3）的几何意义是数轴上表示有理数__________的点与表示的点之间的距离； 【拓展延伸】 （4）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 【答案】（1）1，；（2）或5；（3）；（4）28 【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离计算即可； （2）分点在点左边和点在点右边两种情况列式计算； （3）根据绝对值的几何意义分析即可； （4）先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出向右运动到相遇地点所对应的数． 【详解】解：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是； （2）∵数轴上点表示的数是2，、两点的距离为3， ∴， 当点在点左边时，； 当点在点右边时，； 即点表示的数是或5； （3）， 表示数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离； （4）A，B之间的距离为， 依题意有：秒，即12秒后相遇， 即相同时间Q点运动路程为：（个单位）， 则从数向右运动48个单位到数， 故C点对应的数是28． 13．如图①，在数轴上有一条线段，点A，B表示的数分别是2和． (1)线段 ； (2)若M是线段的中点，则点M在数轴上对应的数为 ； (3)若C为线段上一点，如图②，以点C为折点，将此数轴向右对折；如图③，点B落在点A的右边点处，若，求点C在数轴上对应的数是多少？ 【答案】(1)9 (2) (3)点C在数轴上对应的数为 【分析】此题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离： （1）根据数轴上两点间的距离直接求得线段的值； （2）根据中点坐标公式即可求解； （3）设 ，根据，可得，列方程即可得到结论． 利用数形结合的思想和数轴上求两点之间距离的方法解决问题． 【详解】（1）解：线段 ， 故答案为：9； （2）∵M是线段AB的中点， ∴点M在数轴上对应的数为 ， 故答案为：； （3）设 ， 因为，则 ． 所以由题意， 所以 ， 所以 ， 即， 所以， 所以由题意， 又因为点A表示的数为2， ， 所以点C在数轴上对应的数为． 14．如图所示，已知A，B两点在数轴上，点A在点B的左侧，点A表示的数为，点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍．    (1)数轴上点B对应的数是______． (2)若点C到点A、点B的距离相等，则点C表示的数为______．点C表示的数与点A表示的数之间的关系是______． (3)若点A与点D之间的距离表示，点A与点B之间的距离表示为，问：在数轴上是否存在点D，使得，若存在，请出点D表示的数是多少？若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)3 (2)；互为相反数 (3)存在；或7 【分析】（1）先计算出点A到原点O的距离，再算出点B到原点O的距离，再根据点A在点B的左侧确定点B对应的数． （2）根据两点之间的中点坐标的特点求解即可；根据结果可判断两点之间的关系是互为相反数． （3）先计算出的距离，再计算出AD的距离，最后分点D位于点A的左右两侧分别讨论． 【详解】（1）由题意知，点A表示的数为，则点A到原点O的距离是1，点B到原点O的距离是3，点B可能是或，但由于点A位于点B的左侧，故点B对应的数是3． 故答案为：3． （2）∵点C到点A、点B的距离相等， ∴点C表示的数为：，因点A表示的数为， ∴点C表示的数与点A表示的数之间的关系是互为相反数． 故答案为：；互为相反数． （3）存在，理由如下： ∵的距离为：， ∴， 考虑到点D可能位于点A的左右两侧，分两种情况讨论： 当点D位于点A的左侧时，点D表示的数为：； 当点D位于点A的右侧时，点D表示的数为： 答：存在点D，点D表示的数是或7． 15．同学们都知道，表示3与差的绝对值，实际上也可以理解为3与在数轴上所对应的两个点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和两点之间的距离是______． (2)_____；若，则______． (3)若x表示一个有理数，的最小值为______． (4)已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3．现点A、点B分别以2个单位长度/秒和单位长度/秒的速度同时向右，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点A所对应的数是多少？ 【答案】(1)10 (2)11；4或 (3)3 (4)点A所对应的数是或 【分析】（1）计算2和差的绝对值即可； （2）直接计算即可，根据题意可得表示x到1的距离为3个单位长度，即可求出x的值； （3）将化为，则当x在1和之间时，最小，即可求解； （4）设经过t秒，点A与点B之间的距离为3个单位长度，则经过t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，然后进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：10； （2）解：， ∵， ∴x到1的距离为3个单位长度， ∴或， 故答案为：11，4或； （3）解：， ∵表示x到1的距离，表示x到的距离， ∴当x在1和之间时，最小， ∴的最小值为， 故答案为：3； （4）解：设经过t秒，点A与点B之间的距离为3个单位长度， 经过t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为， 当点A在点B的左边时：， 解得：， ∴点A所对应的数是； 当点A在点B的右边时，， 解得：， ∴点A所对应的数是； 故点A所对应的数是或． 16．如图，直径为个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合． (1)把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C对应的数是____________； (2)把圆片沿数轴一个方向滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是___________； (3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动5次的情况记录如下：，，，，． ①第___________次滚动后，点A距离原点最远？ ②当圆片结束滚动时，求点A对应的数是多少？ 【答案】(1) (2) (3)①三；② 【分析】（1）利用圆的周长以及滚动周数即可得出点C对应的数； （2）利用圆的周长以及滚动周数即可得出点D对应的数； （3）①；算出每一次滚动后，A点相对于原点的周数，用绝对值判断即可；②利用滚动的方向和周数算出最后A点位置即可． 【详解】（1）∵圆片的周长为， ∴把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C对应的数是， 故答案为：； （2）解：当圆片向右沿数轴滚动两周时，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是； 当圆片向左沿数轴滚动两周时，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是； 综上所述，把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是， 故答案为：； （3）解： ②第一次滚动后，周数为， 第二次滚动后，周数为， 第三次滚动后，周数为， 第四次滚动后，周数为， 第五次滚动后，周数为， 其中绝对值最大的是4， 由此可知，第三次滚动后，点A距离原点最远， 故答案为：三； ②当圆片结束滚动时，相当于滚动了周， ∴当圆片结束滚动时，相当于直接把圆片向左滚动了3周， ∴点A对应的数是． 17．已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离．已知数轴上A，B两点对应的数分别为－1，3，P为数轴上一动点． (1)若点P到A，B两点之间的距离相等，则点P对应的数为______． (2)若点P到A，B两点的距离之和为6，则点P对应的数为______． (3)现在点A以2个单位长度/秒的速度运动，同时点B以0.5个单位长度/秒的速度运动，A和B的运动方向不限，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点B所对应的数是多少？ 【答案】(1)1； (2)4或； (3)点表示的数为或或或． 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算即可得出答案； （2）设点对应的数为，根据题意可得；分类讨论，当时，②当时，③当时，计算即可得出答案； （3）设经过秒，分情况讨论①当点点相向而行时，经过秒，点表示的数为，点表示的数为，即可得出，②当点点同向向右运动时，经过秒，点表示的数为，点表示的数为，则，③当点点同向向左运动时，求出的值，即可算出点对应的数． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 因为点到，两点之间的距离相等，所以点到点和点3的距离为2， 则点对应的数为：1； 故答案为：1； （2）解：设点对应的数为， 则； ①当时，最大值为4，不满足题意； ②当时，解得：； ③当时，解得：， 点对应的数为4或； 故答案为：4或； （3）解：设经过秒， ①当点点相向而行时， 经过秒，点表示的数为，点表示的数为， 则， 解得或， 点对应的数为或； ②当点点同向向右运动时， 经过秒，点表示的数为，点表示的数为， 则， 解得：或， 点表示的数为或； ③当点点同向向左运动时， 因为，点的运动速度大于点的运动速度， 不能满足题意． 综上：点表示的数为或或或． 18．同学们都知道，表示与差的绝对值，实际上也可以理解为与在数轴上所对应的两个点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和两点之间的距离是______． （2）_____；若，则______． （3）若表示一个有理数，的最小值为_______． （4）已知数轴上两点、对应的数分别为，．现点、点分别以个单位长度秒和单位长度秒的速度同时向右，当点与点之间的距离为个单位长度时，求点所对应的数是多少？ 【答案】（1）；（2）；或；（3）；（4）或． 【分析】（1）求出2和-8的差的绝对值是多少即可； （2）根据题目中的数据利用绝对值的性质求解即可； （3）由于x是一个有理数，可通过x与-2，1间不同位置，分类讨论并计算最小值； （4）分两种情况：点A在点B的左边，点A在点B的右边，进行讨论即可求解． 【详解】（1）数轴上表示和两点之间的距离是：； 故答案为：； （2）； 若，则， ∴， ∴或， 故答案为：；或； （3）①当 时， ， ∴当时，有最小值为3 ； ②当时， ， ③当时， ， ∴当时，有最小值为3． 综上，有最小值，最小值为3； （5）点A在点B的左边， ； 点A在点B的右边， ； 故点A所对应的数是或． 19．如图，已知A，B分别为数轴上的两点，点A表示的数是，点B表示的数是50． （1）请写出线段AB中点M表示的数是 ． （2）现有一只蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设两只蚂蚁在数轴上的点C相遇，求点C对应的数是多少？ （3）若蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时另一只蚂蚁Q恰好从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左运动，设两只蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点表示的数是多少？    【答案】（1）10；（2）2；（3）-190 【分析】（1）算出AB的距离除2即可； （2）算出A、B两点间的距离，再求出点C相遇时所用的时间，从而可计算点C对应的数； （3）D点表示的数计算为：50-[50-（-30）]÷（3-2）×3=-190 【详解】解：（1）AB=50+（-30）=20， ∴AB中点M表示的数是10． 故答案为：10； （2）∵A、B两点间的距离为：50-（-30）=80， 两只蚂蚁在数轴上的点C相遇时所用的时间为：80÷（3+2）=16（秒）； ∴点C对应的数是：50-16×3=2； （3）D点表示的数是：50-[50-（-30）]÷（3-2）×3=-190． 20．已知，如图，A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为 - 20，B点对应的数为80． （1）请写出A、B两点之间相距几个单位； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以7单位/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3单位/s的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗? （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以7单位/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3单位/s的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗? 【答案】（1）100；（2）10；（3）． 【分析】（1）根据数轴的定义即可得； （2）先根据两只电子蚂蚁所走的路程之和等于A、B两点之间的距离求出运动时间，从而可得点C与点B之间的距离，再根据数轴的定义即可得； （3）先根据电子蚂蚁P所走的路程减去电子蚂蚁Q所走的路程等于A、B两点之间的距离求出运动时间，从而可得点D与点A之间的距离，再根据数轴的定义即可得． 【详解】（1）， 答：A、B两点之间相距100个单位； （2）两只电子蚂蚁相遇时，运动时间为， 则点B、C之间的距离为， 因此，C点对应的数是， 答：C点对应的数是10； （3）两只电子蚂蚁相遇时，运动时间为， 则点A、D之间的距离为， 因此，D点对应的数是， 答：D点对应的数是． 【题型3 动点重合问题】 21．已知 A，B两点在数轴上分别示有理数a，b，在数轴上A，B两点之间的距离，如图，若，P为数轴上一动点，设点P在数轴上表示的数为x． (1)若，则_______； (2)若，则______； (3)将数轴沿着点A折叠，若数轴上的M，N两点折叠后重合，且点M在点N的左侧，M，N两点之间距离为15，数轴上一点C与M之间的距离为2，求点M，N，C表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)或 (3)点M，N分别表示的数是；C表示的数是或． 【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及化简绝对值，绝对值的意义，有理数的加减运算，数轴上两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）化简，即，即可作答． （2）依题意，分类讨论，即，；这三种情况，再分别化简计算，即可作答． （3）依题意，得出M，N两点分别到点的距离相等，且距离是结合点M在点N的左侧，得出点M，N分别表示的数是，因为数轴上一点C与M之间的距离为2，则C表示的数是或，据此即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ 此时不存在 ∴ 解得． 故答案为：； （2）解：依题意，当时， 解得； 当时，， 当时， 解得； 故答案为：或； （3）解：依题意，A，B两点在数轴上分别示有理数a，b，且，将数轴沿着点A折叠，若数轴上的M，N两点折叠后重合， ∴说明M，N两点分别到点的距离相等，且距离是， 则，， ∵点M在点N的左侧， ∴点M，N分别表示的数是， ∵数轴上一点C与M之间的距离为2， ∴当点C在点M的左边时，则， ∴当点C在点M的右边时，则， 则C表示的数是或． 22．如图，在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)将A，B，C三点所表示的数在如图所示的数轴上表示出来； (2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度所到达的点？ (3)如果移动点A，B，C中的两个点，使得三个点重合，你有几种移动方法？请分别求出移动的长度之和． 【答案】(1)见解析 (2)向左爬了4个单位长度 (3)见解析 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数形结合是解答本题的关键． （1）在数轴上表示出点，再写出点表示的数即可； （2）根据C点与原点的位置关系求解即可； （3）根据A，B，C在数轴上的位置，分3种情况求解即可．． 【详解】（1）解：如图， （2）根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了4个单位长度； （3）解：共有3种移动方法： ①移动A、B两点到C， A向左移动8个单位到C，B向左移动10个单位到C，； ②移动A、C两点到B， A向右移动2个单位到B，C向右移动10个单位到B，； ③移动B、C两点到A， B向左移动2个单位到A，C向右移动8个单位到A，． 23．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三个点，，，其中，两点之间的距离是2，，两点之间的距离是1，设，，所对应数的和是． (1)若以为原点，直接写出，对应的数，并求出的值； (2)若，表示的数互为相反数，则原点在点的________（填“左”或“右”）侧； (3)若原点在数轴上距离点1个单位长度，求的值； (4)若，直接写出原点会与，，中的哪个点重合． 【答案】(1)A对应的数是，C对应的数是1， (2)左 (3)点p的值为8或2 (4)，原点与点C重合． 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数的加法运算，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式以及有理数的加法运算法则是解此题的关键． （1）以B为原点，先分别求出A，B，C三点对应的数即可解决问题； （2）先求出A、C两点之间的距离，然后结合A、C表示的数互为相反数，可求出A表示的数，进而求出B表示的数，即可判断； （3）分原点在A的左侧、右侧讨论即可． （4）分A、B、C为原点讨论即可； 【详解】（1）解：∵B为原点，A、B两点之间的距离是2，B、C两点之间的距离是1， ∴A对应的数是，C对应的数是1， ∴； （2）解：∵A、B两点之间的距离是2，B、C两点之间的距离是1， ∴A、C两点之间的距离是， 又A、C表示的数互为相反数， ∴A对应的数是，C对应的数是， ∴B对应的数为， ∴原点在点B的左侧． （3）解：当原点在A左侧时， ∵原点在数轴上距A点1个单位长， ∴点A、B、C表示的数依次是：1、3、4， 则； 当原点在A右侧时， ∵原点在数轴上距A点1个单位长， ∴点A、B、C表示的数依次是：、1、2， 则； 所以点p的值为8或2． （4）解：∵A、B两点之间的距离是2，B、C两点之间的距离是1， ∴A、C两点之间的距离是， 当A为原点时，A表示的数是0，B表示的数是2，C表示的数是3， 此时，不符合题意，舍去； 当B为原点时，A表示的数是，B表示的数是0，C表示的数是1， 此时，不符合题意，舍去； 当C为原点时，A表示的数是，B表示的数是，C表示的数是0， 此时，符合题意， 综上，若，则原点是A、B、C三点中的点C． 24．如图①，点在数轴上对应的数分别为，且． (1)求出的值； (2)如图②所示，现将该数轴沿着点折叠，使得点的对应点与点重合． ①点表示的数为______； ②点为该数轴上点左侧的一点，沿着点进行同样的折叠后，对应点记作点．若点与点之间相距10个单位长度，借助数轴求出点所表示的数． 【答案】(1) (2)①；②-5或 【分析】本题考查了数轴以及有理数的运算； （1）根据绝对值的非负性，进行求解即可； （2）①根据对称性确定点表示的数； ②根据点与点之间相距10个单位长度，得到点表示的数，再根据对称性，得到点表示的数即可． 【详解】（1）解：∵，又， ∴， ∴， （2）解：①∵该数轴沿着点C折叠，使得点A、点B能重合， ∴点表示的数为：， ②∵点与点之间相距10个单位长度， ∴点表示的数为：或， ∴点表示的数为：或； 故答案为：或； 25．【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： (1)应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为__________， (2)应用二：若点表示的整数为，则当为_________时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为________，此时所有符合条件的整数的和为__________． (4)应用四：如图，将数轴沿着点折叠，若数轴上，两点折叠后重合，且点在点的左侧，，两点之间距离为12，，两点之间距离为4，则点表示的数是_______；点表示的数是__________；点表示的数是__________． 【答案】(1) (2) (3)7， (4)；；或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示x的数是表示4和的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的x的值的和即可； （4）根据题意可得点M和点N到点A的距离都为6，据此根据数轴上两点距离计算公式求出点M和点N表示的数，进而求出点C表示的数即可． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：； （2）解：∵与的值相等， ∴数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等， ∴数轴上表示x的数是表示4和的数的中点， ∴， 故答案为；． （3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和， ∴当时，有最小值，的最小值为， ∴符合题意的整数x有，它们的和为， 故答案为：7；； （4）解：∵将数轴沿着点折叠，数轴上，两点折叠后重合，且，两点之间距离为12， ∴点M和点N到点A的距离都为6， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∵，两点之间距离为4， ∴当点C在点M左侧时，点C表示的数为， 当点C在点M右侧时，点C表示的数为， ∴点C表示的数为或， 故答案为：；；或． 26．如图所示，在数轴上有三个点A、B，C，它们所表示的数分别为、、2，试回答下列问题． (1)B，C两点间的距离是_______；将A点向______平移______个单位到达C点； (2)若D点与B点的距离是8，则D点表示的数是______； (3)若将数轴折叠，使A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合． 【答案】(1)，右， (2)， (3)与点B重合的点表示的数为：． 【分析】（1）根据数轴上两点间距离的求法计算两点间的距离，根据A，C之间的距离可得将A点向右平移5个单位到达C点即可； （2）分点D在点B左侧和点D在点B右侧两种情况，分别计算即可； （3）首先求出折叠点位置表示的数，然后根据点与点重合的点到折叠点距离相等计算即可． 【详解】（1）解：∵所表示的数分别为、、2， ∴两点间的距离是：，将A点向右平移5个单位到达C点； 故答案为：4，右，5； （2）解：当点D在点B左侧时，D点表示的数是：， 当点D在点B右侧时，D点表示的数是：， 故答案为：或6； （3）解：∵折叠后点与点重合， ∴折叠点处的数为：， ∵B到折叠点的距离为：， ∴与点B重合的点表示的数为：， 故答案为1． 27．已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示1的点重合，则表示3的点与表示 的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示0的点与表示 的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为8，在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到折痕是解决问题的关键． （1）根据对称的知识，若表示的点与1表示的点重合，则折痕是原点，从而找到3的对称点； （2）由表示1的点与表示的点重合，可确定折痕是表示的点，则： ①表示0的点与表示的点重合； ②由题意可得、两点距离折痕的距离为4，据此求解． 【详解】（1）解：表示的点与1表示的点重合， 折痕在原点处， 表示3的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：①表示1的点与表示的点重合， 折痕在处， 表示0的点与表示的点重合， 故答案为：； ②若数轴上、两点之间的距离为在的左侧）， 则点表示的数是， 点表示的数是． 所以、两点表示的数分别是，2． 28．已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示___________的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示3的点与表示___________的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为12，（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 【答案】(1) (2)①；②、两点表示的数分别是，5 【分析】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系， （1）根据对称的知识，若表示的点与表示2的点重合，则对称中心是原点，从而找到1的对称点； （2）由表示1的点与表示的点重合，可确定对称中心是表示的点，则： ①表示3的点与对称中心距离为4，与左侧与对称中心距离为的点重合； ②由题意可得、两点距离对称中心的距离为6，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵表示的点与表示2的点重合， ∴对称中心是原点， ∴表示1的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：∵表示1的点与表示的点重合， ∴对称中心是表示的点， ①表示3的点与表示表示的点重合， 故答案为：； ②若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合， ∴且、两点到的距离相等都为， 则点表示的数是，点表示的数是． ∴、两点表示的数分别是，5． 29．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化． (1)平移运动： ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式计算表示出以上过程及结果是　　　． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是　　　． (2)翻折变换： ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示　　　的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则点A、点B分别表示　　　、　　　． ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为　　　．（用含有a，b的式子表示） 【答案】(1) ；1012 (2) ； ，；③ 【分析】本题考查数轴、有理数的加减混合运算等知识： （1）根据有理数的加法法则即可判断；探究规律，利用规律即可解决问题； （2）求出折痕处表示的数，即可解决问题；由折痕处表示的数是1，可知点A是1左边距1为1012个单位的点表示的数，点B是1右边距1为1012个单位的点表示的数，即可求出点A、B所表示的数；利用中点坐标公式即可解决问题． 【详解】（1）解：①由题意得，此时笔尖的位置表示的数为：， 故答案为：； 由题意得，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数为： ， 故答案为：1012； （2）解： ， 折痕处表示的数为1， ，， 表示2023的点与表示的点重合， 故答案为：； 点A表示的数为：， 点B表示的数为：， 故答案为：，； 数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b， 折叠中间点表示的数为：， 故答案为：． 30．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合． 若数轴上数表示的点与数1表示的点重合，请解决下列问题： (1)数轴上数3表示的点与数______表示的点重合； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，并且，两点经折叠后重合，求点表示的数； (3)已知数轴上，两点之间的距离为2024；若，两点经折叠后重合，且点表示的数比点表示的数大，求和表示的数． 【答案】(1) (2)或 (3)M点表示的数是1009，N点表示的数是 【分析】（1）根据题意即可找到对应点的数； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为或，分两种情况计算即可； （3）依据M、N之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，列式求出M、N所表示的数即可． 【详解】（1）解：∵数轴上数表示的点与数1表示的点的中点为： ， ∴数轴上数表示的点与数1表示的点的对称点为， ∵，， ∴数轴上数3表示的点与数表示的点重合； （2）解：∵点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为或， ∵A、B两点经折叠后重合， ∴当点A表示时，，， 当点A表示5时，，， ∴B点表示的数是或； （3）解：∵M、N之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合， ∴，， ∵M点表示的数比N点表示的数大， ∴M点表示的数是1009，N点表示的数是． 【题型4 动点求距离或路程】 31．如图，已知点O是原点，点A在数轴上，点A表示的数为－6，点B在原点的右侧，且OB＝OA， （1）点B对应的数是_________，在数轴上标出点B． （2）已知点P、点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以3个单位/秒的速度向左运动； ①用含t的式子分别表示P、Q两点表示的数：P是__________；Q是____________； ②若点P和点Q经过t秒后在数轴上的点D处相遇，求出t的值和点D所表示的数； ③求经过几秒，点P与点Q分别到原点的距离相等？ 【答案】（1）8；数轴表示见解析； （2）①-6+t； 8-3t；②t=；点D所表示的数是-2.5；③秒或1秒. 【分析】（1）求出OB的长度即可； （2）①表示出P的路程和Q的路程，根据左减右加即可表示出P、 Q的数； ②令P、 Q的数相等即可列出方程，解方程即可； ③表示出OP、OQ的长度，根据相等列出绝对值方程，解出即可. 【详解】（1）∵点A表示的数为－6 ∴OA=6 ∵OB＝OA ∴OB=8 ∵点B在原点的右侧 ∴点B对应的数是8，数轴表示如图所示 （2）①∵P的路程为t，Q的路程为3t ∴P是-6+t；Q是8-3t ②∵点P和点Q经过t秒后在数轴上的点D处相遇 ∴-6+t=8-3t ∴t= ∴点D所表示的数=-6+=-2.5 ③∵P是-6+t；Q是8-3t ∴OP=，OQ= ∵点P与点Q分别到原点的距离相等 ∴= ∴-6+t=8-3t或-6+t=3t-8 ∴t=或t=1. ∴经过秒或1秒，点P与点Q分别到原点的距离相等. 32．(1)根据下面给出的数轴，解答下面的问题： ①请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：______，B：______； ②观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：______； ③若将数轴折叠，使得A点与-3表示的点重合，则B点与数______表示的点重合． (2)如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． ①当0＜t＜5，用含t的式子填空：BP＝______，AQ＝______； ②当t＝2时，求PQ的值； 【答案】(1)①1，-2.5；②-3或5；③0.5；(2) ①5-t，10-2t； ②8. 【分析】（1）①由A、B在数轴上的位置可直接写出它们表示的数； ②与点A的距离为4的点在A的左右两侧各一个； ③A点与-3表示的点的中点，也是B与其重合点的中点，根据中点的性质计算即可； （2）①BP=AB-AP，AQ=OA-OQ，用t表示出P、Q两点的运动路程代入关系式即可； ②PQ=AQ+AP，将①中的表达式代入可表示出PQ，最后代入t=2. 【详解】（1）①A表示的数是1，B表示的数是-2.5； ②与点A的距离为4的点在A点左侧是1-4=-3，右侧是1+4=5，故答案为-3或5； ③A点与-3表示的点的中点表示的数是-1，B点与其重合点到该中点的距离相等，所以与B点重合的点表示的数为 （2）将P、Q标在数轴上如图所示， 由题意OA=10，AB=15-10=5，运动时间为t，则OQ=2t，AP=t， 所以BP=AB-AP=5-t，AQ=OA-OQ=10-2t； PQ=AQ+AP=10-2t+t=10-t 当t=2时，PQ=10-2=8. 故PQ的值是8. 33．已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒． （1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；P、Q两点间的距离为 ． （2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为 ． （3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离． 【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）当0≤t≤8时，PQ＝－2t＋16；当8＜t≤12时，PQ＝2t－16；当12＜t≤20时，PQ＝20－t． 【分析】（1）由题意根据数轴上动点向正方向移动用加法以及两点间距离公式进行分析计算； （2）根据题意点P的移动时间为t秒列出代数式即可； （3）根据题意分当0≤t≤8时，当8＜t≤12时，当12＜t≤20时三种情况进行分析即可. 【详解】解：（1）由题意可得当t＝5秒时， 数轴上点P对应的数为：， 点Q对应的数为：， P、Q两点间的距离为：， 故答案为：－5, －11；   6． （2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为：－10＋t． 故答案为：－10＋t． （3）当0≤t≤8时，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t) ＝－2t＋16； 当8＜t≤12时，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；   当12＜t≤20时，PQ＝10－(－10＋t) ＝20－t． 34．如图，已知在数轴上有、两点，点表示的数是，点表示的数是．点在数轴上从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点在数轴上从点出发，以每秒个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒． （1）_______；时，点表示的数是_______；当_______时，、两点相遇； （2）如图，若点为线段的中点，点为线段中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长； （3）如图，若点为线段的中点．点为线段中点，则直接写出用含的代数式表示的线段的长． 【答案】（1）15；；3；（2）不变化，=7.5；（3）． 【分析】（1）根据两点间距离的定义，线段的和差定义计算即可； （2）根据线段的中点定义，可得MN=MP+NP= （AP+BP）= AB； （3）由题意根据线段的中点定义，线段和差定义计算即可. 【详解】解：（1）AB=9-（-6）=15， t=1时，BQ=3，OQ=6， 设t秒后相遇，由题意（2+3）t=15，t=3， 故答案为：15，6，3. （2）答：MN长度不变，理由如下： ∵M为AP中点，N为BP中点 ∴MP=AP，NP=BP， ∴MN=MP+NP=（AP+BP）=AB=7.5． （3）根据题意分别得到点M表示的数为t-6；点T表示的数为9-1.5t； 根据两点间距离的定义可得MT= 9-1.5t-（t-6）=15-2.5t. 故答案为：. 35．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动设运动时间为t秒． ，B两点间的距离等于______，线段AB的中点表示的数为______； 用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； 求当t为何值时，？ 若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变请直接写出线段MN的长． 【答案】（1）20,6；（2），；（3）或6时；（4）不变，10，理由见解析. 【分析】（1）由数轴上两点距离先求得A，B两点间的距离，由中点公式可求线段AB的中点表示的数； （2）点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q从点B出发，向右为正，所以-4+3t； Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，向左为负，16-2t. （3）由题意,表示出线段长度，可列方程求t的值； （4）由线段中点的性质可求MN的值不变． 【详解】解：点A表示的数为，点B表示的数为16， ，B两点间的距离等于，线段AB的中点表示的数为 故答案为20，6 点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， 点P表示的数为：， 点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， 点Q表示的数为：， 故答案为， 或6 答：或6时， 线段MN的长度不会变化， 点M为PA的中点，点N为PB的中点， ， 36．如图，相距5km的A、B两地间有一条笔直的马路，C地位于AB两地之间且距A地2km，小明同学骑自行车从A地出发沿马路以每小时5km的速度向B地匀速运动，当到达B地后立即以原来的速度返回．到达A地停止运动，设运动时间为t(小时).小明的位置为点P、若以点C为坐标原点，以从A到B为正方向，用1个单位长度表示1km，解答下列各问： (1)指出点A所表示的有理数； (2)求t =0.5时，点P表示的有理数； (3)当小明距离C地1km时，直接写出所有满足条件的t值； (4)在整个运动过程中，求点P与点A的距离(用含t的代数式表示)； (5)用含t的代数式表示点P表示的有理数. 【答案】（1）点A所表示的有理数是−2； （2） t=0.5时点P表示的有理数是0.5. （3）当小明距离C地1km时，t的值是0.2或0.6或1.4或1.8； （4）在整个运动过程中，求点P与点A的距离是5t千米或10−5t千米； （5）点P表示的有理数是5t−2或8−5t. 【详解】试题分析：（1）根据以点C为坐标原点，以从A到B为正方向，而且AC=2km，可得点A所表示的有理数是-2． （2）首先根据速度×时间=路程，用小明骑自行车的速度乘以0.5，求出小明0.5小时骑的路程是多少；然后用它减去2，求出t=0.5时点P表示的有理数是多少即可． （3）根据题意，分两种情况：①当小明在C点的左边时；②当小明在C点的右边时；然后根据路程÷速度=时间，求出小明距离C地1km时，所有满足条件的t值是多少即可． （4）根据题意，分两种情况：①小明从A地到B地时；②小明从B地到A地时；然后分类讨论，求出点P与点A的距离是多少即可． （5）根据题意，用点P与点A的距离减去2，用含t的代数式表示点P表示的有理数即可． 试题解析： (1)因为AC=2km，且1个单位长度表示1km， 所以点A所表示的有理数是−2. (2)5×0.5−2=2.5−2=0.5 所以t=0.5时点P表示的有理数是0.5. (3)①当小明去时在C点的左边时， (2−1)÷5=1÷5=0.2 ②当小明去时在C点的右边时， (2+1)÷5=3÷5=0.6 ③当小明返回在C点的右边时， (10−3)÷5=7÷5=1.4 ④当小明返回在C点的左边时， (10−1)÷5=9÷5=1.8 答：当小明距离C地1km时，t的值是0.2或0.6或1.4或1.8 (4)①小明从A地到B地时， 点P与点A的距离是5t千米． ②(5−1)÷2=4÷2=2 所以小明从B地到A地时， 点P与点A的距离是： 5−5(t−1)=10−5t(千米) 所以在整个运动过程中，求点P与点A的距离是5t千米或10−5t千米． (5)因为点P与点A的距离是5t千米或10−5t千米， 所以点P表示的有理数是5t−2或8−5t. 37．已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)1 (2)或4 (3)点P所经过的总路程是个单位长度 【分析】（1）若点P对应的数与、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等． （2）根据当P在A的左侧以及当P在B的右侧分别求出即可； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多4，列出方程，求出a的值，即为点P运动的时间，再乘以点P运动的速度，可得点P经过的总路程． 【详解】（1）∵，2的绝对值是2， ，的绝对值是2， ∴点P对应的数是1． （2）当P在之间，（不可能有） 当P在A的左侧，，得 当P在B的右侧，，得 故点P对应的数为或4； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得： ， 解得． 则． 答：点P所经过的总路程是个单位长度． 38．已知、在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上两个动点： （1）写出点所对应的数； （2）点到、的距离之和是6个单位长度时，点所对应的数是多少？ （3）如果、分别从点、同时出发，均沿数轴向同一方向运动，点每秒走2个单位长度，点每秒走3个单位长度，3秒后，点、之间的距离是多少？ 【答案】（1）1；（2）或2；（3）、之间的距离是1或7 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解； （（2）分①点P在点M的左边，②点P在点N的右边两种情况进行讨论即可求解； （3）分向左运动时和向右运动时两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）． 故点所对应的数是1； （2）∵MN之间的距离为4，P到M，N的距离之和为6， ∴当P在M的左边时，PM=1，PN=4+1=5 ∴P表示的数为-3-1=-4； 当P在N的右边时，PN=1，PM=4+1=5， ∴P表示的数为1+1=2； 故点P所对应的数是：或2； （3）①向左运动时：点对应的数是，点对应的数是， 点、之间的距离； ②向右运动时：点对应的数是，点对应的数是， 点、之间的距离； 综上所述，点、之间的距离是1或7． 39．已知，数轴上有两点A、 B对应的数分别为−1，5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）若点P到点A、B的距离相等，求点A、B的距离及x的值． （2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小？若存在，请求出最小值；并求出取得最小值时x可以取的整数值；若不存在，说明理由． （3）点A、 B分别以3个单位长度/秒，2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点P以4个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以不变的速度向右运动，当遇到B时，点P立即以不变的速度向左运动，并不停往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】（1）−1，5，2；（2）存在，最小值为6，x可以取的整数值有−1、0、1、2、3、4、5；（3）48 【分析】（1）根据数轴上的两点距离公式和中点公式列式求解即可； （2）分类讨论点P分别在点A左侧、点A、点B之间、点B右侧时分别求出，进行比较即可求出最小值； （3）设经过t分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多6，列出方程，求出t的值，即为点P的运动时间，再乘以点P运动的速度，即可得点P所经过的总路程． 【详解】解：（1）∵点A、 B对应的数分别为−1，5， ∴，即点A、B的距离为6； ∵点P到点A、B的距离相等，则P为AB中点， 则有：，所以； （2）数轴上存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小， 当点P在点A左侧时，点P到点A、B的距离之和为：PA+PB=2PA+AB=2PA+6， 当点P在点A、点B之间时，点P到点A、B的距离之和为：PA+PB=AB=6， 当点P在点B右侧时，点P到点A、B的距离之和为：PA+PB=2PB+AB=2PA+6， 所以当点P在点A、点B之间时（含点A、点B），点P到点A、B的距离之和最小，最小值为6， 点A、点B之间的整数值有−1、0、1、2、3、4、5，即为x可以取的整数值； （3）设经过t分钟点A与点B重合，依题意得： −1+3t=5+2t+6，解得：t=12， 所以4t=4×12=48， 所以点P所经过的总路程是48个单位长度． 40．如图，已知A、B两地在数轴上相距20米，A地在数轴上表示的点为-8，小乌龟从A地出发沿数轴往B地方向前进，第一次前进1米，第二次后退2米，第三次再前进3米，第四次又后退4米，……，按此规律行进，（数轴的一个单位长度等于1米） （1）求B地在数轴上表示的数； （2）若B地在原点的左侧，经过第五次行进后小乌龟到达点P，第六次行进后到达点Q，则点P和点Q到点A的距离相等吗？请说明理由； （3）若B地在原点的右侧，那么经过30次行进后，小乌龟到达的点与点B之间的距离是多少米？ 【答案】（1）12或-28；（2）相等；（3）70米. 【分析】（1）到A地距离为20的点有两个，分别位于A点左侧、右侧.依据数轴两点距离即可求得点B坐标 （2）数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算分别求出点P、Q相对A点移动的距离即可得到答案 （3）根据100为偶数可得在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式即可求解． 【详解】解：（1），． 答：地在数轴上表示的数是12或． （2）令小乌龟从A地出发，前进为“+”，后退为“-”，则： 第五次行进后相对A的位置为：， 第六次行进后相对A的位置为：， 因为点、与点的距离都是3米， 所以点、点到地的距离相等； （3）若地在原点的右侧，前进为“+”，后退为“-”， 则当为100时，它在数轴上表示的数为： ， ∵B点表示的为12. ∴AB的距离为（米． 答：小乌龟到达的点与点之间的距离是70米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$