第五章第三节平面向量的数量积学案-2025届高三数学一轮复习

新高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 第三节　平面向量的数量积 一、课标要求 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题． 二、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度不定，分值为5分 【备考策略】 1通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积。 2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 3能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角。 4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用。 5会用数量积解决向量中的最值及范围问题。 【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理解，易得分，需重点复习。 平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题． 三、知识梳理 1．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ， 则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何 意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 2. 向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 数量积 |a||b|cos a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 1. 数量积运算律要准确理解、应用， 例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量． 2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b. 3．在用|a|＝求向量的模时，一定要先求出a2再进行开方． [常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)两向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线． (2)两向量a与b的夹角为钝角⇔a·b<0且a与b不共线． 3．a在b上的投影向量为·，a在b上的投影向量的模为. 四、课堂考点突破 考点一　平面向量数量积的计算 [例1]　设四边形ABCD为矩形，＝6，＝4，若点M，N满足＝，＝2，则·＝（　　） A.28　　　B.32 C.36　　　D.40 [答案]　A [解析]　由＝，则＝.由＝2，则＝， 在矩形ABCD中，由AB⊥AD，则·＝0， ·＝·＝· ＝·＝·＋＋＋· ＝×36＋×16＝28. 变式训练 1.在等边△ABC中，AB＝6，＝3，＝2，则·＝　　　　. 答案：22 解析：如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. ∵AB＝6，＝3，＝2， ∴B（－3，0），C（3，0），M（－2，－3）， ∴＝（－1，3），＝（5，3）， ∴·＝－5＋27＝22. 考点二　平面向量数量积的应用 题型一　求平面向量的模 [例2]　（2023·新高考Ⅱ卷）已知向量a，b满足｜a－b｜＝，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝　　　　. [答案]　 [解析]　由｜a＋b｜＝｜2a－b｜，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，即a2＝2a·b，则由｜a－b｜＝，得a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝. 题型二　求平面向量的夹角 [例3]　（1）（2023·全国甲卷）已知向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝，且a＋b＋c＝0，则cos＜a－c，b－c＞＝（　　） A.－　　B.－ C.　　　D. （2）（2024·江苏泰州模拟）已知a＝（1，0），b＝（0，1），则使向量a＋kb与向量b＋2ka的夹角为锐角的k的取值范围是　　　　. [答案]　（1）D　（2）∪ [解析]　（1）法一：∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴a2＋b2＋2a·b＝c2. ∵｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝，∴1＋1＋2a·b＝2，解得a·b＝0.又a＋c＝－b，∴a2＋c2＋2a·c＝b2，得a·c＝－1，同理b·c＝－1，∴（a－c）·（b－c）＝a·b－a·c－b·c＋c2＝4. 又｜a－c｜2＝a2＋c2－2a·c＝1＋2＋2＝5， ∴｜a－c｜＝，同理｜b－c｜＝， ∴cos＜a－c，b－c＞＝＝＝. 法二：∵｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝，且a＋b＋c＝0， ∴分别以a，b，c为边构造等腰直角三角形OAB，如图所示， 以O为坐标原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则a＝＝（1，0），b＝＝（0，1），c＝＝（－1，－1），则a－c＝（2，1），b－c＝（1，2）， ∴｜a－c｜＝｜b－c｜＝，∴cos＜a－c，b－c＞＝＝＝. （2）∵a＋kb＝（1，k），b＋2ka＝（2k，1）， ∴（a＋kb）·（b＋2ka）＝2k＋k＝3k. 若两个向量的夹角为锐角，则3k＞0，即k＞0. 又a＋kb，b＋2ka不共线，∴k≠，∴k＞0且k≠. 题型三　平面向量的垂直问题 [例4]　（2023·新高考Ⅰ卷）已知向量a＝（1，1），b＝（1，－1）.若（a＋λb）⊥（a＋μb），则（　　） A.λ＋μ＝1　　B.λ＋μ＝－1 C.λμ＝1　　　D.λμ＝－1 [答案]　D [解析]　由题意得（a＋λb）·（a＋μb）＝0， 即a2＋（λ＋μ）a·b＋λμb2＝0. ∵a＝（1，1），b＝（1，－1），∴a2＝2，b2＝2，a·b＝0， ∴2＋2λμ＝0，解得λμ＝－1. 变式训练 2.已知向量a，b满足＝7，且＝3，＝4，则＝（　　） A.5　　　　　B.3 C.2　　　　　D.1 答案：D 解析：＝a2＋b2＋2a·b＝49⇒2a·b＝49－9－16＝24，∴＝a2＋b2－2a·b＝9＋16－24＝1，∴＝1. 3.（2022·新高考Ⅱ卷）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb.若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（　　） A.－6　　　　B.－5 C.5　　　　　D.6 答案：C 解析：由题意可得c＝（3＋t，4）， 由＜a，c＞＝＜b，c＞得cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞， 即＝，解得t＝5. 4.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是BC的中点，F是AB上一点，且·＝0，则·＝　　　　. 答案：－ 解析：设＝λ，则＝－＝λ－， ＝＋＝＋， 所以·＝·（λ－）＝λ＋·－＝5λ－4＝0， 解得λ＝. 则＝－＝－－， 故·＝（－）· ＝＋·－＝－. 题型四　向量的投影 例5 (1)已知向量a与b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，则向量a在b上的投影向量为(　　) A．b B.b C．a D.a 答案　A 解析　由题意知，|a|＝2，且向量a与b的夹角为， 所以向量a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉＝b. (2)已知非零向量a，b满足b＝(，1)，〈a，b〉＝，若(a－b)⊥a，则向量a在b方向上的投影向量的坐标为______． 答案　 解析　由已知可得，|b|＝＝2. 因为(a－b)⊥a， 所以(a－b)·a＝a2－a·b＝|a|2－|a||b|cos ＝|a|2－|a|＝0， 解得|a|＝1或|a|＝0(舍去)， 所以向量a在b方向上的投影向量为|a|cos ·＝b，坐标为. 变式训练 5. (1)已知非零向量a，b满足|b|＝|a|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　) A．45° B．135° C．60° D．120° 答案　B 解析　根据题意，设a与b的夹角为θ， 因为(a－b)⊥(3a＋2b)，|b|＝|a|， 所以(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝－a·b－a2＝0，变形可得a·b＝－a2. 则cos θ＝＝＝－. 又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°. (2)(多选)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－2,1)，则下列说法正确的是(　　) A．若m＝1，则|a－b|＝ B．若a⊥b，则m＝2 C．“m<－”是“a与b的夹角为锐角”的充要条件 D．若m＝－1，则b在a上的投影向量的坐标为 答案　ACD 解析　对于选项A，因为m＝1，所以a＝(1，－1)，又b＝(－2,1)，所以a－b＝(3，－2)，故|a－b|＝＝，所以选项A正确； 对于选项B，因为a⊥b，所以－2m－1＝0，解得m＝－，所以选项B错误； 对于选项C，当a与b的夹角为锐角时，由cos〈a，b〉＝>0，得a·b>0， 即－2m－1>0，得m<－； 当m<－时，可得cos〈a，b〉＝>0，而〈a，b〉∈[0，π]， 又当a∥b时，m－2＝0得m＝2，此时a＝(2，－1)，b＝(－2,1)，a，b反向共线， 所以〈a，b〉∈，即“m<－”可以得出“a与b的夹角为锐角”，所以选项C正确； 对于选项D，当m＝－1时，a＝(－1，－1)，b＝(－2,1)，b在a上的投影向量为·＝×(－1，－1)＝，所以选项D正确． 考点三　平面向量的综合应用 题型一　平面向量与解析几何 [例6]　（2023·全国乙卷）已知☉O的半径为1，直线PA与☉O相切于点A，直线PB与☉O交于B，C两点，D为BC的中点.若｜PO｜＝，则·的最大值为（　　） A.　　　B. C.1＋　　D.2＋ [答案]　A [解析]　以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系（图略），则圆O的方程为x2＋y2＝1，点P的坐标为（，0）.因为D是BC的中点，所以OD⊥PB，所以点D的轨迹是以OP为直径的圆在圆O内部的那段圆弧.由题意得以OP为直径的圆的方程为x2＋y2－x＝0，由解得 则点D（x，y）在圆x2＋y2－x＝0上，且0≤x＜，－＜y＜.根据题意，不妨令点A的坐标为， 则＝，＝（x－，y）， 所以·＝－（x－）＋y＝－x＋y＋1.令－x＋y＋1＝t，则y＝x－＋t，显然直线y＝x－＋t在y轴上的截距最大时，t取最大值，此时直线y＝x－＋t与圆x2＋y2－x＝0相切（切点在第一象限），所以圆心到直线y＝x－＋t的距离d＝＝，解得t＝＋或t＝－（舍），所以tmax＝＋. 题型二　平面向量与三角函数 [例7]　（多选）已知O为坐标原点，点P1（cos α，sin α），P2（cos β，－sin β），P3（cos（α＋β），sin（α＋β）），A（1，0），则（　　） A.｜｜＝｜｜ B.｜｜＝｜｜ C.·＝· D.·＝· [答案]　AC [解析]　A项，∵｜｜＝＝1，｜｜＝＝1，∴｜｜＝｜｜，A选项正确. B项，易知｜｜＝＝， ｜｜＝＝，由于α，β的大小关系不确定，从而不能确定｜｜＝｜｜是否成立，B选项不正确. C选项，∵·＝（1，0）·（cos（α＋β），sin（α＋β））＝cos（α＋β）， ·＝（cos α，sin α）·（cos β，－sin β）＝cos αcos β－sin αsin β＝cos（α＋β）， ∴·＝·，C选项正确. D选项，∵·＝（1，0）·（cos α，sin α）＝cos α， ·＝（cos β，－sin β）·（cos（α＋β），sin（α＋β）） ＝cos β·cos（α＋β）－sin β·sin（α＋β） ＝cos（β＋α＋β） ＝cos（α＋2β）， ∴·＝·不一定成立，D选项不正确. 变式训练 6.（2023·新高考Ⅰ卷）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为　　　　. 答案： 解析：法一：依题意，设｜AF2｜＝2m，则｜BF2｜＝3m＝｜BF1｜，｜AF1｜＝2a＋2m. 在Rt△ABF1中，9m2＋（2a＋2m）2＝25m2，则（a＋3m）（a－m）＝0，故a＝m或a＝－3m（舍去）， 所以｜AF1｜＝4a，｜AF2｜＝2a，｜BF2｜＝｜BF1｜＝3a，则｜AB｜＝5a，故cos∠F1AF2＝＝＝. 所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，整理得5c2＝9a2，故离心率e＝＝. 法二：依题意得F1（－c，0），F2（c，0），设A（x0，y0），B（0，t）. 因为＝－，所以（x0－c，y0）＝－（－c，t），则x0＝c，y0＝－t. 又⊥，所以·＝·（c，t）＝c2－t2＝0，则t2＝4c2. 又点A在C上，则－＝1，整理得－＝1，即－＝1， 所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2（c2－a2）－16a2c2＝9a2（c2－a2），整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0， 则（5c2－9a2）（5c2－a2）＝0，得5c2＝9a2或5c2＝a2（根据c＞a舍去）.故所求离心率e＝＝. 7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量q＝，p＝，且p∥q.求sin A的值. 解：∵p∥q，∴2acos C＝2b－c， 根据正弦定理，得2sin Acos C＝2sin B－sin C. 又∵A＋B＋C＝π， ∴sin B＝sin＝sin Acos C＋cos Asin C， ∴sin C＝cos Asin C. ∵0＜C＜π，∴sin C≠0，∴cos A＝. 又∵0＜A＜π，∴A＝，∴sin A＝. 题型三　平面向量的实际应用 例8 (多选)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是(　　) A．|F1|的最小值为|G| B．θ的范围为[0，π] C．当θ＝时，|F1|＝|G| D．当θ＝时，|F1|＝|G| 答案　ACD 解析　由题意知，F1＋F2＋G＝0， 可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得 |G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ ＝2|F1|2＋2|F1|2cos θ， 所以|F1|2＝. 当θ＝0时，|F1|min＝|G|； 当θ＝时，|F1|＝|G|； 当θ＝时，|F1|＝|G|，故A，C，D正确； 当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立， 所以θ∈[0，π)，故B错误． 变式训练 8. 长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝6 km/h，如图，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　) A．－ B．－ C．－ D. 答案　B 解析　由题意知(v1＋v2)·v2＝0， 则v1·v2＋v＝|v1||v2|·cos θ＋v＝60cos θ＋36＝0， 所以cos θ＝－. 五、课后作业 一、单项选择题 1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·(a＋b)等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　D 解析　由题意，得|a－2b|2＝9， 即a2＋4b2－4a·b＝9， 即13－4a·b＝9，∴a·b＝1， 故a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋1＝2. 2．(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 答案　C 解析　由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)， 所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t， b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t. 因为〈a，c〉＝〈b，c〉， 所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉， 即＝， 即＝3＋t，解得t＝5. 3．平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1,0)的夹角是钝角，则b等于(　　) A．(－3，－4) B．(4,3) C．(－4,3) D．(－4，－3) 答案　D 解析　设b＝(x，y)， ∵a⊥b，∴a·b＝6x－8y＝0，① ∵b与向量(1,0)夹角为钝角，∴x<0，② 又|b|＝＝5，③ 由①②③解得∴b＝(－4，－3)． 4．已知向量a＝(λ＋1,2)，b＝(1，－λ)，若a⊥b，则向量c＝(1,2)在向量a＋b上的投影向量的坐标为(　　) A．(3,1) B．(1,3) C. D. 答案　D 解析　依题意得a＝(λ＋1,2)，b＝(1，－λ)，a·b＝0，所以λ＋1－2λ＝0，解得λ＝1，所以a＝(2,2)，b＝(1，－1)，所以a＋b＝(3,1)，则向量c＝(1,2)在向量a＋b上的投影向量的坐标为·＝·＝. 5．已知平面单位向量a，b，c满足〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝，则|3a＋2b＋c|等于(　　) A．0 B．1 C. D. 答案　C 解析　∵|3a＋2b＋c|2＝(3a＋2b＋c)2＝9a2＋4b2＋c2＋12a·b＋6a·c＋4b·c＝3，∴|3a＋2b＋c|＝. 6．(2023·佛山模拟)在△ABC中，设||2－||2＝2·(－)，那么动点M的轨迹必通过△ABC的(　　) A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 答案　D 解析　设线段BC的中点为D，则＋＝2， 因为||2－||2＝2·(－)， 所以(＋)·(－)＝2·， 即2·＝2·， 即·(－)＝·＝0， 即DM⊥BC， 所以DM垂直且平分线段BC， 因此动点M的轨迹是BC的垂直平分线，必通过△ABC的外心． 二、多项选择题 7．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的可能取值是(　　) A．－2 B．2 C．4 D．8 答案　BC 解析　如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 易知正六边形的每个内角为120°， 所以∠CBx＝60°， 则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，F(－1，)． 设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2,0)，且－1<x<3. 所以·＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)． 8．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是(　　) A．a与b的夹角为钝角 B．向量a在b上的投影向量为b C．2m＋n＝4 D．mn的最大值为2 答案　CD 解析　对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)， 则a·b＝2－1＝1>0， 又a，b不共线， 所以a，b的夹角为锐角，故A错误； 对于B，向量a在b上的投影向量为 ·＝b，故B错误； 对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c， 则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，故C正确； 对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数， 得mn＝(2m·n)≤2＝2， 当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立， 即mn的最大值为2，故D正确． 三、填空题 9．已知向量a＝(2,3)，b＝(－3，－2)，写出一个与a－b垂直的非零向量c＝________. 答案　(1，－1)(答案不唯一) 解析　由题意可知a－b＝(5,5)． 设c＝(x，y)， 则(a－b)·c＝5x＋5y＝0. 取x＝1，则y＝－1， 所以与a－b垂直的非零向量可以为c＝(1，－1)．(答案不唯一) 10.在如图所示的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为60 N的物品，在另一个秤盘中放入重量60 N的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)，若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的重量，则F1的大小为________ N. 答案　10 解析　依题意，|F1|＝|F2|＝|F3|且|F1＋F2＋F3|＝60， 所以|F1＋F2＋F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋|F3|2＋2F1·F2＋2F2·F3＋2F3·F1＝3 600， 即3|F1|2＋3×2|F1|2×＝3 600，解得|F1|＝10. 11．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－8，则|a×b|等于________． 答案　6 解析　设向量a与b的夹角为θ∈[0，π]， 则cos θ＝＝＝－， 因为θ∈[0，π]， 可得sin θ＝＝， 故|a×b|＝|a||b|sin θ＝2×5×＝6. 12．(2023·西安模拟)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，其外接圆的圆心为O，则·＝________. 答案　10 解析　如图，设BC的中点为D，连接OD，AD， 则·＝(＋)·(－)＝(＋)·(－)＋·(－)＝(||2－||2)＝10. 四、解答题 13．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，||＝2||＝2，∠BAD＝，E是BC边的中点． (1)试用，表示，； (2)求·的值． 解　(1)＝＋＝＋， ＝(＋)＝＝＋， ＝－＝＋－＝－. (2)由题意可知，||＝＝＝1，＝－， 所以·＝(－)· ＝||2－||2－· ＝||2－||2－||||·cos ＝×4－×1－×2×1×＝. 14．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M. (1)求∠EMF的余弦值； (2)设＝λ，求λ的值及点M的坐标． 解　(1)如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系， 则D(0,6)，E(3,0)，A(0,0)，F(6,2)， ∴＝(3，－6)，＝(6,2)， 由于∠EMF就是，的夹角， ∴cos∠EMF＝cos〈，〉 ＝＝， ∴∠EMF的余弦值为. (2)∵＝λ， 则＝(6λ，2λ)，则M(6λ，2λ)， 又D，M，E三点共线， 则设＝t，0<t<1， 即(6λ，2λ－6)＝t(3，－6)， 则解得λ＝， 故M. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 第三节　平面向量的数量积 一、课标要求 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题． 二、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度不定，分值为5分 【备考策略】 1通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积。 2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 3能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角。 4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用。 5会用数量积解决向量中的最值及范围问题。 【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理解，易得分，需重点复习。 平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题． 三、知识梳理 1．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ， 则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何 意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 2. 向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 数量积 |a||b|cos a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 1. 数量积运算律要准确理解、应用， 例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量． 2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b. 3．在用|a|＝求向量的模时，一定要先求出a2再进行开方． [常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)两向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线． (2)两向量a与b的夹角为钝角⇔a·b<0且a与b不共线． 3．a在b上的投影向量为·，a在b上的投影向量的模为. 四、课堂考点突破 考点一　平面向量数量积的计算 [例1]　设四边形ABCD为矩形，＝6，＝4，若点M，N满足＝，＝2，则·＝（　　） A.28　　　B.32 C.36　　　D.40 变式训练 1.在等边△ABC中，AB＝6，＝3，＝2，则·＝　　　　. 考点二　平面向量数量积的应用 题型一　求平面向量的模 [例2]　（2023·新高考Ⅱ卷）已知向量a，b满足｜a－b｜＝，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝　　　　. 题型二　求平面向量的夹角 [例3]　（1）（2023·全国甲卷）已知向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝，且a＋b＋c＝0，则cos＜a－c，b－c＞＝（　　） A.－　　B.－ C.　　　D. （2）已知a＝（1，0），b＝（0，1），则使向量a＋kb与向量b＋2ka的夹角为锐角的k的取值范围是　　　　. 题型三　平面向量的垂直问题 [例4]　（2023·新高考Ⅰ卷）已知向量a＝（1，1），b＝（1，－1）.若（a＋λb）⊥（a＋μb），则（　　） A.λ＋μ＝1　　B.λ＋μ＝－1 C.λμ＝1　　　D.λμ＝－1 变式训练 2.已知向量a，b满足＝7，且＝3，＝4，则＝（　　） A.5　　　　　B.3 C.2　　　　　D.1 3.（2022·新高考Ⅱ卷）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb.若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（　　） A.－6　　　　B.－5 C.5　　　　　D.6 4.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是BC的中点，F是AB上一点，且·＝0，则·＝　　　　. 题型四　向量的投影 例5 (1)已知向量a与b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，则向量a在b上的投影向量为(　　) A．b B.b C．a D.a (2)已知非零向量a，b满足b＝(，1)，〈a，b〉＝，若(a－b)⊥a，则向量a在b方向上的投影向量的坐标为______． 变式训练 5. (1)已知非零向量a，b满足|b|＝|a|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　) A．45° B．135° C．60° D．120° 考点三　平面向量的综合应用 题型一　平面向量与解析几何 [例6]　（2023·全国乙卷）已知☉O的半径为1，直线PA与☉O相切于点A，直线PB与☉O交于B，C两点，D为BC的中点.若｜PO｜＝，则·的最大值为（　　） A.　　　B. C.1＋　　D.2＋ 题型二　平面向量与三角函数 [例7]　（多选）已知O为坐标原点，点P1（cos α，sin α），P2（cos β，－sin β），P3（cos（α＋β），sin（α＋β）），A（1，0），则（　　） A.｜｜＝｜｜ B.｜｜＝｜｜ C.·＝· D.·＝· 变式训练 6.（2023·新高考Ⅰ卷）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为　　　　. 7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量q＝，p＝，且p∥q.求sin A的值. 题型三　平面向量的实际应用 例8 (多选)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是(　　) A．|F1|的最小值为|G| B．θ的范围为[0，π] C．当θ＝时，|F1|＝|G| D．当θ＝时，|F1|＝|G| 变式训练 8. 长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝6 km/h，如图，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　) A．－ B．－ C．－ D. 五、课后作业 一、单项选择题 1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·(a＋b)等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 2．(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 3．平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1,0)的夹角是钝角，则b等于(　　) A．(－3，－4) B．(4,3) C．(－4,3) D．(－4，－3) 4．已知向量a＝(λ＋1,2)，b＝(1，－λ)，若a⊥b，则向量c＝(1,2)在向量a＋b上的投影向量的坐标为(　　) A．(3,1) B．(1,3) C. D. 5．已知平面单位向量a，b，c满足〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝，则|3a＋2b＋c|等于(　　) 6．(2023·佛山模拟)在△ABC中，设||2－||2＝2·(－)，那么动点M的轨迹必通过△ABC的(　　) A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 二、多项选择题 7．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的可能取值是(　　) A．－2 B．2 C．4 D．8 8．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是(　　) A．a与b的夹角为钝角 B．向量a在b上的投影向量为b C．2m＋n＝4 D．mn的最大值为2 三、填空题 9．已知向量a＝(2,3)，b＝(－3，－2)，写出一个与a－b垂直的非零向量c＝________. 10.在如图所示的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为60 N的物品，在另一个秤盘中放入重量60 N的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)，若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的重量，则F1的大小为________ N. 11．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－8，则|a×b|等于________． 12．已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，其外接圆的圆心为O，则·＝________. 四、解答题 13．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，||＝2||＝2，∠BAD＝，E是BC边的中点． (1)试用，表示，； (2)求·的值． 14．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M. (1)求∠EMF的余弦值； (2)设＝λ，求λ的值及点M的坐标． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$