《27.2 相似三角形》同步练习题2024-2025学年人教版数学九年级下册

2024-2025学年人教版九年级数学下册《27.2相似三角形》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列命题：①有一个角等于100°的两个等腰三角形相似；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．可以判定的条件（    ） A． B．，且 C．，且 D． 3．如图，在中，DE//BC，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径．如果，且量得，则零件的厚度x为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知∽，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，米，米，则树高为（    ）米 A．4 B．5 C．6 D．7 8．如图，已知四边形是平行四边形，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的值是（    ） A．6 B．5 C．8 D．4 二、填空题 9．如图，D是的边BC上一点，，，．如果的面积为15，那么的面积为 ． 10．如图，路灯距离地面10.5米，身高1.5米的小明站在距离灯的底部（点O）30米的A处，则小明的影子长为 米． 11．如图，为平行四边形的对角线上一点，的延长线交边于点．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形: ． 12．如图，点是线段BD上一个动点，，，，．当，则BP的长度= ． 13．图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为 ． 14．如图，四边形是的内接矩形，，，，则矩形的周长是 ． 15．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为秒，当 秒时，与相似． 16．如图，直线经过原点，与反比例函数交于两点，轴，轴，若的面积为2，则的值为 ． 三、解答题 17．如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 18．如图所示，已知，、相交于点，，． (1)若，求． (2)若，求． 19．已知：如图，在菱形中，点E、F分别在边上，，的延长线交的延长线于点G，的延长线交的延长线于点H． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的边长． 20．如图，反比例函数的图象经过点，直线l经过点A和点，与x轴交于点C，直线l的表达式为． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)在y轴上是否存在一点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，是圆O直径，C，D两动点在直径同侧，连接，作射线，交的延长线于点H． (1)求证：． (2)已知， ①若，求的长． ②若，，求y关于x的关系式，并求出四边形周长的最大值． 22．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1米．夜晚，身高为1.6米的小明以1米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为t秒．当行走3秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点B）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)若小明身高是影子与的比例中项，求此时t的值． (3)有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长 （用含t的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的！请直接写出小明在路灯下的影子的顶端N在地面上移动的速度为   米/秒． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B D B C A A 1．解：①有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，是真命题； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法是假命题； ③一个角为90°且邻边相等的平行四边形是正方形，故原说法是假命题； ④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题， 故真命题有①④，共2个， 故选：B． 2．解：A．只有一组角对应相等，无法判断三角形相似，； B．，但不是两边对应的夹角，故无法判断三角形相似，； C．，但不是两边对应的夹角，故无法判断三角形相似，； 均不能判断与相似，故错误； D．，由三边对应成比例的两个三角形相似可判定与相似，本选项正确 故选：D． 3．解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，， ∴． ∵BD=2AD， ∴． 故选：B． 4．解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵外径为， ∴， ∴． 故选：D． 5．解：中，，， ， 又∽， ， 故选：B． 6．解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴故C符合题意，D不符合题意； 根据现有条件无法证明，故B不符合题意； 故选C． 7．解：点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知， ， ， ， 又， ， ， 米，米，米 ， 米． 故选：A． 8．解：∵是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得， 故选：． 9．解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴的面积， 故答案是：5． 10．解：根据题意， 可得， ∴，即， 解得． ∴小明的影长为米． 故答案是：． 11．解：∵ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∴∠ABD=∠CDB． ∵∠AEB=∠FED， ∴△ABE∽△FDE． 故答案为：△ABE∽△FDE. 12．解：（1）∵∠B＝∠D＝90°，∠APC＝90°， ∴∠A+∠APB＝∠CPD+∠APB＝90°， ∴∠A＝∠CPD， ∴△ABP∽△PDC， ∴＝， ∵，，， ∴＝， 解得BP＝2或12； 经检验，∴BP＝2或12是原方程的解； 故答案为：2或12 13．解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：， 第二个高脚杯盛液体的高度为：， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， ∴， 故答案为：． 14．解：， ， ，即， 解得， ， ∴矩形的周长为 ， 故答案为: ． 15．解：和是对应边时，， ， 即， ， 和是对应边时，， ， 即， ， 综上所述，当或时，与相似， 故答案为：或． 16．解：设与x轴交于点M ∵直线经过原点，与反比例函数交于两点，轴，轴， ∴， ∴ ∵的面积为2 ∴ ∴ ∵反比例函数图象在一，三象限 ∴． 故答案为：1． 17．（1）证明： 于点，， ， ， ； （2）解： ， ， ，，， ， ． 18．（1）解：， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 19．（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即菱形的边长为． 20．解：（1）将点代入中，得， 反比例函数的解析式为； 将点，代入中， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，理由如下： 当时，， ， ，， ， 是直角三角形， 也是直角三角形， 当时，， 此时，， ， 此时； 当时，， ，即， ， ； 综上所述：点坐标为或． 21．（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）解：①连接， 又∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆O的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ∴.         ②∵， ∴，即， ∴， ∴. 四边形周长，     ， 当时，四边形周长的最大值为.     22．（1）解：由题意得米，米，米， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：路灯的高度为米； （2）由题意可知：， ∵， ∴， 设，则有， 解得： ， ∵， ∴， 设，则有， 解得， ∵是影子与的比例中项， ∴，即， 化简得：， 解得：，， ∴t的值为：4或14； （3）①∵， ， ∴， ②如图设O是小明在路灯下影子的起止位置，小明由B到P则影子有O到B，影子交于点G， 有（1）得， ， ， ， ， ， 移动的速度为（米/秒） 故答案为：①；②． 学科网（北京）股份有限公司 $$