精品解析：山东省枣庄市第十五中学2024—-2025学年八年级上学期第一次单元评价（月考）数学试题

八年级单元学习评价 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 在，，，，，，中无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：本题主要考查的就是无理数的定义，无理数是指无限不循环小数，主要有三种表现形式：①、开方开不尽的数；②、含有π的数；③、具有特定结构的数.本题中和是无理数. 2. 下列数组中，是勾股数的是( ) A. 0.3、0.4、0.5 B. 6a、8a、10a C. 7、24、25 D. 1.5、2、2.5 【答案】C 【解析】 【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可． 【详解】解：A、0.3、0.4、0.5，三边都不是整数，不是勾股数，故不符合题意； B、6a、8a、10a，三边不一定是整数，不一定是勾股数，故不符合题意； C、，能构成直角三角形，且都是正整数，是勾股数，故符合题意； D、1.5、2、2.5，三边不都是整数，不是勾股数，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．注意：三个数必须是正整数． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A选项：，故不是最简二次根式； B选项：，故不是最简二次根式； C选项：，故不是最简二次根式； D选项：不能继续化简，故是最简二次根式． 故选D． 【点睛】考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 4. 估计的值应在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定的值，进而可得答案． 【详解】解：∵≈2.2 ∴2≈4.4 ∴2+3≈7.4 ∴7＜2+3＜8， 故选：D． 【点睛】此题主要考查实数的估算，解题的关键是熟知实数的大小及性质． 5. 若△ABC的三边a，b，c，满足，则△ABC是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据非负数的性质可得关于a、b、c的等式，继而可得a、b、c三边的数量关系，进而可判断出△ABC的形状． 【详解】解：∵， ∴a-b=0且a2+b2-c2=0， ∴a=b且a2+b2=c2， ∴△ABC是等腰直角三角形， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定以及非负数的性质，熟练掌握非负数的性质以及勾股定理的逆定理等知识是解题的关键． 6. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 7. 下列各式正确的有（ ） ①=0.2；② = ；③-的平方根是；④的算术平方根是—3；⑤是1的平方根． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根和平方根的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：①，此选项错误； ②，故此选项错误； ③没有平方根，故此选项错误； ④，故3的算术平方根是，故此选项错误； ⑤（±）2，故此选项正确． 故选A． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、解题的关键是注意算术平方根、平方根的区别和联系． 8. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　） A. 4尺 B. 4.55尺 C. 5尺 D. 5.55尺 【答案】B 【解析】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：． 所以，原处还有4.55尺高的竹子． 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 9. 如果在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，那么BC的长为( ) A. 14 B. 14或4 C. 8 D. 4和8 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：①此图中有两个直角三角形，利用勾股定理可得：=81，∴CD=9，同理得=25，∴BD=5，∴BC=14，②此图还有另一种画法．即当是此种情况时，BC=9﹣5=4，故选B． 考点：1．勾股定理；2．分类讨论． 10. 如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半在作弧交数轴的正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ） A. B. -1 C. +1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出AC，根据AC=AM，求出OM，由此即可解决问题， 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝3，AD＝BC＝1， ∴ ∴OM＝﹣1， ∴点M表示点数为﹣1． 故选B. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共18分） 11. 的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的算术平方根是， 故答案为：． 12. 在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为______． 【答案】13或 【解析】 【分析】分两种情况考虑：若12为直角边，可得出5也为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理求出斜边，即为第三边；若12为斜边，可得5和第三边都为直角边，利用勾股定理即可求出第三边． 【详解】解：①若12为直角边，可得5为直角边，第三边为斜边， 根据勾股定理得第三边为=13； ②若12为斜边，5和第三边都为直角边， 根据勾股定理得第三边为=， 则第三边长为13或. 故答案为13或． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 13. 若一个正数的平方根是和，则a为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得出关于a的方程，然后解关于a的方程即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了平方根的性质，熟知一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． 14. 如图，已知圆柱的底面直径,高,小虫在圆柱表面爬行，从点爬到点，然后在沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程为___________. 【答案】 【解析】 【详解】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解． 解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示， 点A. C的最短距离为线段AC的长． 在Rt△ADC中,∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=3， 所以AC=3， ∴从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为2AC=6. 故答案为. 15. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为．正方形的面积是，的面积是，的面积是，则的面积为________． 【答案】##30平方厘米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．观察并能够发现正方形，，，的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形，，，的面积和即是最大正方形的面积．由题意根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以得四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，由此即可解决问题． 【详解】解：如图标记图中三个正方形分别为、、． 根据勾股定理得到：与的面积的和是的面积；与的面积的和是的面积；而，的面积的和是的面积． 即、、、的面积之和为的面积． ∵的面积是， ∴、、、的面积之和为，设正方形的面积为， ∴， ∴，即的面积为 故答案为：． 16. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴可得：， 则 ∴ = = = =2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键． 三、解答题 17. 计算 （1）； （2）. （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）2 ；（4） 【解析】 【分析】（1）原式第一项化简二次根式，第二项根据立方根的意义化简，第三项化简二次根式，第四项根据二次根式的性质化简，再合并即可； （2）原式第一项根据零指数幂的意义化简，第二项化成最简二次根式，第三项根据绝对值的代数意义化简，第四项根据负整数指数幂的意义化简，最后进行加减运算即可； （3）原式先根据二次根式的乘除法进行计算，再进行加减运算即可； （4）分别运用平方差公式和完全平方公式把括号去掉，再合并即可得解. 【详解】（1） = =； （2） = =； （3） =5-1-2 =2； （4） =12-6-5+ =1+. 【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键. 18. 如图，在四边形中，已知，且，求四边形的面积． 【答案】216 【解析】 【分析】连接，在中，已知，的长，运用勾股定理可求出的长，在中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形的面积为与的面积之差． 【详解】解：连接， ，，， ， ，， ， ， 为直角三角形， ． 故四边形的面积为216． 【点睛】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出的形状是解答此题的关键． 19. 已知的立方根是2，的算术平方根是3，的小数部分为c． （1）分别求出a、b、c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别根据立方根，算术平方根，无理数的估算求解，即可得到答案； （2）将a、b、c的值丢计算出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵的立方根是2， , ， 的算术平方根是3， ， ， 的小数部分为c，且， ； 【小问2详解】 解： ， 的平方根为． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根、无理数的估算，平方根、完全平方公式代数式求值，熟练掌握相关计算方法是解题关键． 20. 如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由． 【答案】能通过， ∵车宽1.6米， ∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高． 在Rt△OEF中，由勾股定理可得： （m）， EH＝EF＋FH＝0.6＋2.3＝2.9＞2.5， ∴卡车能通过此门． 【解析】 【分析】根据题意作出辅助线，利用勾股定理求出EF的长度，然后求出EH的长度，与卡车的高度比较即可判断出卡车能否通过这个通道． 【详解】略 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是求出EH的长度,然后与卡车的高度进行比较． 21. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】 【解析】 【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案． 【详解】解：在中，， 设秋千的绳索长为，则， 故， 解得：， 答：绳索的长度是． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 22. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a＋b＝(m＋n)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn. ∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把部分a＋b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝________，b＝________； (2)试着把7+4化成一个完全平方式. （3）请化简：． 【答案】(1) m2+3n2；2mn；（2）（2+）2；（3）3+ 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用已知直接去括号进而得出a，b的值； （2）直接利用完全平方公式，变形得出答案； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可． 试题解析： （1）∵a+b=（m+n）2， ∴a+b=（m+n）2=m2+3n2+2mn， ∴a=m2+3n2，b=2mn； 故答案为m2+3n2；2mn； （2）7+4=（2+）2； 故答案为（2+）2；   （3）∵12+6=（3+）2， ∴＝ ＝3+． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确利用完全平方公式化简是解题关键． 23. 观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例， 例，， （1） ； （2）请你用含为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律． （3）利用上面的结论，求下列式子的值．． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将、分母有理化，即可得出答案； （2）被开方数是两个相邻的数，即，按照规律即可表达出各式子的变形规律； （3）由（1）（2）得，原式，合并可得结果． 【小问1详解】 解：；． 故答案为：，； 【小问2详解】 根据前几个等式的变形规律，得：． 【小问3详解】 ， ． 【点睛】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算，找到变化规律是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级单元学习评价 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 在，，，，，，中无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列数组中，是勾股数的是( ) A. 0.3、0.4、0.5 B. 6a、8a、10a C. 7、24、25 D. 1.5、2、2.5 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）． A. B. C. D. 4. 估计的值应在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 5. 若△ABC的三边a，b，c，满足，则△ABC是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 6. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式正确的有（ ） ①=0.2；② = ；③-的平方根是；④的算术平方根是—3；⑤是1的平方根． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　） A. 4尺 B. 4.55尺 C. 5尺 D. 5.55尺 9. 如果在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，那么BC的长为( ) A. 14 B. 14或4 C. 8 D. 4和8 10. 如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半在作弧交数轴的正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ） A. B. -1 C. +1 D. 2 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共18分） 11. 的算术平方根是_____． 12. 在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为______． 13. 若一个正数的平方根是和，则a为______． 14. 如图，已知圆柱的底面直径,高,小虫在圆柱表面爬行，从点爬到点，然后在沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程为___________. 15. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为．正方形的面积是，的面积是，的面积是，则的面积为________． 16. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 三、解答题 17. 计算 （1）； （2）. （3） （4） 18. 如图，在四边形中，已知，且，求四边形的面积． 19. 已知的立方根是2，的算术平方根是3，的小数部分为c． （1）分别求出a、b、c的值； （2）求的平方根． 20. 如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由． 21. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 22. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a＋b＝(m＋n)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn. ∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把部分a＋b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝________，b＝________； (2)试着把7+4化成一个完全平方式. （3）请化简：． 23. 观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例， 例，， （1） ； （2）请你用含为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律． （3）利用上面的结论，求下列式子的值．． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $