微专题33 指数函数21种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题33 指数函数21种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 指数函数的概念辨析 题型2 利用指数函数概念求参 题型3 求指数函数的解析式或值 题型4 含指数函数的分段函数求值 题型5 指数型函数的定义域问题 题型6 指数型函数的值域问题 题型7 指数型函数的恒过定点问题 题型8 根据指数函数的图象判断底数大小 题型9 指数型函数图像识别 题型10 根据指数函数图像求参数取值范围 题型11 指数函数图像的应用 题型12 判断指数型函数的单调性 题型13 求指数型函数的单调区间 题型14 比较指数幂的大小 题型15 解指数型不等式 题型16 根据指数型函数的单调性求参数的取值范围 题型17 指数型函数的奇偶性问题 题型18 指数型函数的最值问题 题型19 指数函数的恒成立和存在问题 题型20 指数函数的实际应用 题型21 指数型函数性质的综合应用 1、指数函数的概念 （1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数， 其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． （2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． （3）指数函数的解析式必须具有三个特征： ①底数a为大于0且不等于1的常数；②指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. （4）求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件. 2、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 3、指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 注：底数a对指数函数图象的影响 函数，，和，，的图象如图所示． （1）当且时，底数越大，图象越“陡”；当且时，底数越小，图象越“陡”． （2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”． 4、指数型复合函数的定义域和值域 对于y＝af(x)(a>0，a≠1)这类函数， (1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围； (2)求值域问题，有以下三种方法： ①由定义域求出u＝f(x)的值域； ②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域. ③求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t(t>0)，再转化为二次函数求值域. 5、函数图象的变换规律 (1)平移变换：将函数y＝f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得函数y＝f(x－m)的图象(若m<0，就是向左平移|m|个单位长度)，将函数y＝f(x)的图象向上平移n(n>0)个单位长度，得到函数y＝f(x)＋n的图象(若n<0，就是向下平移|n|个单位长度). (2)对称变换： ①函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称； ②函数y＝f(|x|)是一个偶函数，其图象关于y轴对称，是将函数y＝f(x)位于y轴右侧的图象保留(左侧的擦去)，然后将y轴右侧的图象沿y轴对称到左侧，就得到函数y＝f(|x|)的图象； ③函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，x轴上方的部分不变. 6、判断形如y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性 (1)定义法，即“取值－作差－变形－定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律. 7、处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 8、指数型函数图象过定点问题的处理方法 求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． 9、比较指数幂的大小 (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决. (2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决. (3)底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象. 10、简单指数不等式的解法 (1)形如的不等式，可借助的单调性求解； (2)形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； (3)形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 11、指数型函数模型 形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型． 设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． 12、指数函数在实际问题中的应用 (1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题. (2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型. 13、解决指数函数性质的综合问题的注意点 (1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧. (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行. (3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论. 题型1 指数函数的概念辨析 【例1】给出下列函数，其中为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】给出下列函数，其中是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】【多选】下列命题是真命题的是（    ） A．是幂函数 B．不是指数函数 C．不是幂函数 D．是指数函数 题型2 利用指数函数概念求参 【例2】若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【变式1】函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【变式2】已知 且，函数是指数函数，且． (1)求和的值； (2)求的解集． 【变式3】函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 题型3 求指数函数的解析式或值 【例3】已知指数函数的图像经过点，则 ． 【变式1】已知函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，，若，． (1)求，的解析式； (2)若，试比较m，n的大小． 【变式3】已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 题型4 含指数函数的分段函数求值 【例4】设函数，则 ． 【变式1】已知函数，则的值为 ． 【变式2】已知函数，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式3】设函数，若，则 . 题型5 指数型函数的定义域问题 【例5】函数的定义域为 ． 【变式1】函数的定义域是 ． 【变式2】函数的定义域是 ． 【变式3】下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 题型6 指数型函数的值域问题 【例6】下列函数中，值域为的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，则函数的值域为 ． 【变式3】若函数（且）在上的值域为，则（    ） A．3或 B．或 C．或 D．或 【变式4】定义运算：，则函数的值域为 ． 【变式5】已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7 指数型函数的恒过定点问题 【例7】已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【变式1】当时，的图像恒过点（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4】已知幂函数的图像经过函数（且）的图像所过的定点，则 ； 【变式5】函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C． D． 【变式6】对任意实数且，函数的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则 . 题型8 根据指数函数的图象判断底数大小 【例8】设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，，， D．，，，， 【变式2】指数函数与的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】四个指数函数，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 C．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 D．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 题型9 指数型函数图像识别 【例9】函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1】函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数在上的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式4】在同一直角坐标系中，函数，的部分图象可能是（    ） A． B． C．   D．   【变式5】在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A．B．C． D． 题型10 根据指数函数图像求参数取值范围 【例10】已知函数的图象不过第二象限，则实数的取值范围是 . 【变式1】【多选】若函数且的图象过第一、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型11 指数函数图像的应用 【例11】已知函数，若方程有且仅有个实数根，则实数的取值范围是 . 【变式1】已知函数，，且，则（ ） A．，， B．，， C． D． 【变式2】已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 题型12 判断指数型函数的单调性 【例12】下列函数在定义域上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数既是偶函数且又在上是单调递减函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 题型13 求指数型函数的单调区间 【例13】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，则单调递增区间为 ． 【变式2】计算：函数的单调递减区间为 . 【变式3】函数的单调减区间是 ． 【变式4】函数的单调递增区间为 . 【变式5】若函数（，且）满足，则的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 题型14 比较指数幂的大小 【例14】下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】设，则大小关系是 . 【变式3】已知，，，则a，b，c按从小到大排列为 ． 【变式4】【多选】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5】在，，，这四个数中，最大的数为（    ） A． B． C． D． 【变式6】已知定义在上的函数，记，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型15 解指数型不等式 【例15】不等式的解集是 . 【变式1】若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】不等式的解集是 . 【变式3】已知指数函数经过点(2,9)，则不等式的解集为 ． 【变式4】已知，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5】已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型16 根据指数型函数的单调性求参数的取值范围 【例16】“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】若函数在上为减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】设函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数在区间（-1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 【变式4】已知定义域为的函数，若对任意，，均有恒成立，则下列情形可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式5】若函数（，且）满足，则的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【变式6】若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7】已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 题型17 指数型函数的奇偶性问题 【例17】函数在定义域上是（    ） A．严格增的奇函数 B．严格增的偶函数 C．严格减的奇函数 D．严格减的偶函数 【变式1】已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式2】若为奇函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式3】已知函数是奇函数，则 ． 【变式4】已知函数是偶函数，则 . 【变式5】若分别为定义在上的奇函数和偶函数，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式6】若函数是奇函数，则 . 题型18 指数型函数的最值问题 【例18】若函数，则此函数的最小值为 . 【变式1】若函数在区间[2,3]上的最大值比最小值大,则 . 【变式2】已知函数，的最小值为，则实数的值为 ． 【变式3】若函数（，)在区间的最大值为10，则 . 【变式4】已知函数且的图象过坐标原点. (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 题型19 指数函数的恒成立和存在问题 【例19】设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 【变式1】已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是 . 【变式2】已知为偶函数，为奇函数，且满足：．若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为 ． 【变式3】已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是 ． 【变式4】已知函数为奇函数． (1)求实数k的值； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【变式5】已知函数，R的图象与轴无公共点，求实数的取值范围是 . 【变式6】若函数为定义在上的奇函数. (1)求实数的值，并证明函数的单调性； (2)若存在实数使得不等式能成立，求实数的取值范围. 题型20 指数函数的实际应用 【例20】已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）近似满足函数关系（a，b为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在7℃的保鲜时间为216小时，在28℃的有效保鲜时间为8小时，那么在14℃时，该果蔬的有效保鲜时间大约为 小时. 【变式1】核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（    ）．（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 【变式2】国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2023年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆､绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量），且前4小时消除了的污染物，则污染物消除至最初的还需要过滤 小时． 题型21 指数型函数性质的综合应用 【例21】【多选】已知函数，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【变式1】【多选】已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数是奇函数 D．函数在上为减函数 【变式2】【多选】已知函数，其中且，则下列结论正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的图象过定点 C．函数在其定义域上有解 D．当时，函数在其定义域上为单调递增函数 【变式3】【多选】已知函数则下列选项正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数的值域为 C．方程有两个不等的实数根 D．不等式解集为 $$2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题33 指数函数21种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 指数函数的概念辨析 题型2 利用指数函数概念求参 题型3 求指数函数的解析式或值 题型4 含指数函数的分段函数求值 题型5 指数型函数的定义域问题 题型6 指数型函数的值域问题 题型7 指数型函数的恒过定点问题 题型8 根据指数函数的图象判断底数大小 题型9 指数型函数图像识别 题型10 根据指数函数图像求参数取值范围 题型11 指数函数图像的应用 题型12 判断指数型函数的单调性 题型13 求指数型函数的单调区间 题型14 比较指数幂的大小 题型15 解指数型不等式 题型16 根据指数型函数的单调性求参数的取值范围 题型17 指数型函数的奇偶性问题 题型18 指数型函数的最值问题 题型19 指数函数的恒成立和存在问题 题型20 指数函数的实际应用 题型21 指数型函数性质的综合应用 1、指数函数的概念 （1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数， 其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． （2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． （3）指数函数的解析式必须具有三个特征： ①底数a为大于0且不等于1的常数；②指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. （4）求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件. 2、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 3、指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 注：底数a对指数函数图象的影响 函数，，和，，的图象如图所示． （1）当且时，底数越大，图象越“陡”；当且时，底数越小，图象越“陡”． （2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”． 4、指数型复合函数的定义域和值域 对于y＝af(x)(a>0，a≠1)这类函数， (1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围； (2)求值域问题，有以下三种方法： ①由定义域求出u＝f(x)的值域； ②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域. ③求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t(t>0)，再转化为二次函数求值域. 5、函数图象的变换规律 (1)平移变换：将函数y＝f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得函数y＝f(x－m)的图象(若m<0，就是向左平移|m|个单位长度)，将函数y＝f(x)的图象向上平移n(n>0)个单位长度，得到函数y＝f(x)＋n的图象(若n<0，就是向下平移|n|个单位长度). (2)对称变换： ①函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称； ②函数y＝f(|x|)是一个偶函数，其图象关于y轴对称，是将函数y＝f(x)位于y轴右侧的图象保留(左侧的擦去)，然后将y轴右侧的图象沿y轴对称到左侧，就得到函数y＝f(|x|)的图象； ③函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，x轴上方的部分不变. 6、判断形如y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性 (1)定义法，即“取值－作差－变形－定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律. 7、处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 8、指数型函数图象过定点问题的处理方法 求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． 9、比较指数幂的大小 (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决. (2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决. (3)底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象. 10、简单指数不等式的解法 (1)形如的不等式，可借助的单调性求解； (2)形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； (3)形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 11、指数型函数模型 形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型． 设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． 12、指数函数在实际问题中的应用 (1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题. (2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型. 13、解决指数函数性质的综合问题的注意点 (1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧. (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行. (3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论. 题型1 指数函数的概念辨析 【例1】给出下列函数，其中为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为指数函数的形式为且， 所以是指数函数，即C正确；而ABD中的函数都不满足要求，故ABD错误.故选：C. 【变式1】给出下列函数，其中是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，是幂函数，故错误， 对于B，显然前面系数不为1，故错误， 对于C，显然前面系数不为1，故错误， 对于D，符合指数函数定义，故正确.故选：D 【变式2】下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据指数函数的定义：形如（且）的函数叫做指数函数， 结合选项从而可判断选项D正确．故选：D． 【变式3】【多选】下列命题是真命题的是（    ） A．是幂函数 B．不是指数函数 C．不是幂函数 D．是指数函数 【答案】ACD 【解析】由幂函数的定义可知：是幂函数，不是幂函数，即A、C正确； 因为， 所以由指数函数的定义可知：都是指数函数，即B错误，D正确．故选：ACD 题型2 利用指数函数概念求参 【例2】若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】因为函数是指数函数， 所以. 故选：C 【变式1】函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【解析】由已知得，即得.故选：C 【变式2】已知 且，函数是指数函数，且． (1)求和的值； (2)求的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的定义求解； （2）利用换元法，结合二次不等式的解法可得答案. 【详解】（1）由题意得，，解得或 (不符合题意，舍去)，由，且，得． （2）由（1）得，，即为， 设，则原不等式化为解得或， ∵，∴，∴，得，∴原不等式的解集为． 【变式3】函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【答案】B 【解析】由指数函数的概念，得且，解得．故选：B 题型3 求指数函数的解析式或值 【例3】已知指数函数的图像经过点，则 ． 【答案】/0.5 【分析】设出指数函数解析式，根据条件求出解析式，然后再计算的值. 【详解】设（，且），由于其图像经过点 ， 所以，解得或（舍去）， 因此，故 . 故答案为：. 【变式1】已知函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，所以，故选：C. 【变式2】已知函数，，若，． (1)求，的解析式； (2)若，试比较m，n的大小． 【答案】(1)，； (2)当时，；当时，；当时，； 【分析】（1）由已知得，代入即可求得，进而得解； （2）分类讨论当，和时，结合已知即可得解. 【详解】（1）由，解得：，即 ， （2）由，得， 当时，有，所以，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 【变式3】已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】由指数函数的图象经过点， 可得，解得，所以，故选：A. 题型4 含指数函数的分段函数求值 【例4】设函数，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的知识求得正确答案. 【详解】，. 故答案为： 【变式1】已知函数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】由分段函数解析式及指数运算求函数值即可. 【详解】由题设，则. 故答案为：2 【变式2】已知函数，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】先求出，再求出. 【详解】， 故选：C． 【变式3】设函数，若，则 . 【答案】/ 【分析】先求出，然后再代入函数列方程可求出 【详解】因为， 所以， 所以，得， 所以，， 所以，得， 故答案为： 题型5 指数型函数的定义域问题 【例5】函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】令解得答案即可. 【详解】令. 故答案为：. 【变式1】函数的定义域是 ． 【答案】且 【分析】根据题意得到求解即可. 【详解】由题知：且. 故答案为：且. 【变式2】函数的定义域是 ． 【答案】. 【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，即可求得结果. 【详解】由题意得， 解得且， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 【变式3】下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为； 对于B选项，函数的定义域为； 对于C选项，函数的定义域为； 对于D选项，函数的定义域为. 故选：B. 题型6 指数型函数的值域问题 【例6】下列函数中，值域为的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解四个选项对应函数的定义域，再根据定义域求解值域，即可. 【详解】对于A，因为函数的定义域为，值域为，不是 所以选项A不符合题意； 对于B，因为函数的定义域为或 所以值域为，不是，选项B不符合题意. 对于C，因为函数的定义域为，则， 所以则值域为，不是，所以选项C不符合题意； 对于D，因为函数的定义域为关于原点对称，且 ， 所以函数为偶函数， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 即函数值域为，所以选项D符合题意. 故选：D 【变式1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求出的范围，根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】依题意， 令，则， 因为单调递减，且 所以， 所以. 故选：A. 【变式2】已知函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】设，则，此时，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】设，则，此时， 当时，即 ，函数取得最小值，此时最小值为； 当时，即 ，函数取得最大值，此时最大值为． 故答案为：. 【变式3】若函数（且）在上的值域为，则（    ） A．3或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】当时，在上单调递减， 则，解得， 此时. 当时，在上单调递增， 则，解得或（舍去）， 此时 综上可得：为或.故选：C 【变式4】定义运算：，则函数的值域为 ． 【答案】 【详解】当时，，当时，， 所以， 当时，，当时，， 所以函数的值域是. 故答案为： 【变式5】已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可. 【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示： 由图可知，当或时，两图象相交， 若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论： 当时，显然两图象之间不连续，即值域不为； 同理当,值域也不是； 当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B 题型7 指数型函数的恒过定点问题 【例7】已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，解得，则，即过定点.故选：B 【变式1】当时，的图像恒过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于函数，令，解得，则， 所以的图像恒过点.故选：C 【变式2】已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是幂函数，所以，解得或． 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 故，此时，当时，，即的图象过定点．故选：A 【变式3】已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点， 即，此时， 由于由向下平移2个单位得到，且过点， 由此可知不过第二象限. 故选：B 【变式4】已知幂函数的图像经过函数（且）的图像所过的定点，则 ； 【答案】 【详解】由知：令，则，故定点为， 将代入中可得，故， 故答案为： 【变式5】函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C． D． 【答案】C 【解析】在中，当时，，故， 将代入直线方程中，化简得， 故， 当且仅当‘’时取等，即的最小值为.故选：C 【变式6】对任意实数且，函数的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则 . 【答案】/ 【分析】函数过定点得到，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】函数的图象经过定点，点P在角θ的终边上，故， . 故答案为： 题型8 根据指数函数的图象判断底数大小 【例8】设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据指数函数的单调性，确定，，，与的关系，再由时，函数值的大小判断. 【详解】因为当底数大于时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数大于且小于时，指数函数是定义域上的减函数， 所以，大于，，大于且小于， 由图知： ，即， ，即， 所以. 故选：B 【变式1】函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，，， D．，，，， 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系. 【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而. 故选：C． 【变式2】指数函数与的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质即可得答案. 【详解】解：因为函数的图象是下降的，所以； 又因为函数的图象是上升的，所以. 故选：C. 【变式3】四个指数函数，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 C．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 D．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 【答案】D 【解析】当时，， 所以图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和，故选:D. 题型9 指数型函数图像识别 【例9】函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】易知函数定义域为， 且满足，可得其为偶函数，图像关于轴对称； 又当时，，因此排除A， 又， 利用指数函数图象性质可知其在上单调递增，且增长速度越来越快，即排除CD， 故选：B 【变式1】函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数是奇函数，排除，再排除选项B，即得解. 【详解】解：因为，所以. 所以函数是奇函数，排除选项. 因为，，所以排除选项B. 故选: D 【变式2】函数在上的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，利用其奇偶性，结合的值的情况判断作答. 【详解】函数定义域为R，，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除B； 而，排除D，又，排除A，选项C符合题意. 故选：C 【变式3】函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由时，函数的单调性和判断. 【详解】当时，函数单调递增，当时，， 故选：A 【变式4】在同一直角坐标系中，函数，的部分图象可能是（    ） A． B． C．   D．   【答案】C 【分析】根据指数函数与幂函数的图象性质逐项判断即可. 【详解】对于A和B，指数函数过定点，且递增，则，所以幂函数递增，且增加的越来越快，故A不符合，B不符合； 对于C和D，指数函数过定点，且递减，则，所以幂函数递增，且增加的越来越慢，故C符合，D不符合. 故选：C. 【变式5】在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】因为为指数函数，所以，且， 所以， 因为二次函数的对称轴为直线，所以排除BD， 由指数函数的图象可知，所以， 所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误， 故选：A 题型10 根据指数函数图像求参数取值范围 【例10】已知函数的图象不过第二象限，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用指数函数图象性质可知至少向下平移个单位长度才能满足题意，即可求得. 【详解】由已知可知在上单调递增， 已知函数的图象如下图所示： 故若要符合题意需满足，可得 故答案为：. 【变式1】【多选】若函数且的图象过第一、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出函数大致图象，结合指数函数性质可构造不等式求得结果. 【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示， 结合图象可知：，解得：. 故选：BC. 【变式2】函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数单调性判断与的大小，再由图象与轴的交点位置判断的正负. 【详解】由图象可知，函数为减函数， 从而有； 法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标， 令，得， 由，即，解得 . 法二：函数图象可看作是由向左平移得到的， 则，即. 故选：D. 题型11 指数函数图像的应用 【例11】已知函数，若方程有且仅有个实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式作出函数图象，将方程有且仅有个实数根转化为函数，有两个交点，由数形结合即可求解. 【详解】 方程有且仅有个实数根，即函数的图象与直线有且仅有个交点，所以由数形结合可得，的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】已知函数，，且，则（ ） A．，， B．，， C． D． 【答案】D 【分析】画出的图象，根据以及的大小关系确定正确答案. 【详解】令，解得， 画出的图象如下图所示， 由于，且， 由图可知：，，的值可正可负也可为，所以AB选项错误. 当时，， 满足，，所以C选项错误. ， ，所以，D选项正确. 故选：D    【变式2】已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】画出的图象，结合图象及的零点个数，得到的两个不等零点，从而得到不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】画出的图象如下：    因为最多两个零点， 即当，或时，有两个不等零点， 要想有六个零点，结合函数图象，要和分别有3个零点， 则且， 即的两个不等零点， 则要满足，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 题型12 判断指数型函数的单调性 【例12】下列函数在定义域上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数、指数函数、绝对值函数、三角函数的单调性判断即可． 【详解】函数在上既有单调增区间又有减区间，故A错误； 函数在定义域上为增函数，故B错误； 函数是在上单调递减的指数函数，故C正确； 函数的定义域为，在是减函数，在是增函数，故D错误． 故选：C． 【变式1】下列函数既是偶函数且又在上是单调递减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦函数，指数函数，对数函数及幂函数的奇偶性和单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，故A不符题意； 对于B，函数在上是单调递增函数，故B不符题意； 对于C，当时，在上单调递增，故C不符题意； 对于D，， 因为，所以函数在上单调递减， 因为，所以是偶函数，故D符合题意. 故选：D. 【变式2】已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性定义，即可判断奇偶性，根据函数单调性的定义，即可判断函数的增减性. 【详解】函数的定义域为， ，所以函数是奇函数， 且是增函数，是减函数，所以函数在上是增函数. 故选：A 题型13 求指数型函数的单调区间 【例13】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据判断复合函数的单调性的方法同增异减可得答案. 【详解】令，则，因为为单调递减函数， 且函数是开口向上对称轴为轴的抛物线， 所以的单调递减区间为， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 【变式1】已知函数，则单调递增区间为 ． 【答案】/ 【分析】根据二次函数以及指数函数的性质，结合复合函数的单调性法则即可求解. 【详解】由于在单调递减，在单调递增， 而函数为上的单调递增函数， 所以的单调递增区间为， 故答案为： 【变式2】计算：函数的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】，的定义域为， 根据“同增异减”法则：求函数的单调递减区间，即求的单调递减区间， 而要求函数的单调递减区间，即要求函数的单调递增区间， 的对称轴为，的单调递增区间为， 故的单调递减区间为. 故答案为：. 【变式3】函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】令，则，分别判断函数和的单调性，然后利用复合函数单调性的判断方法即可求出原函数的单调区间. 【详解】令，则 ∵，∴在上单调递减 作出的图象 由图象可以在上单调递减，在上单调递增 ∴在上单调递增，在上单调递减 故答案为：. 【变式4】函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合复合函数单调性的关系进行转化求解即可. 【详解】设，则， 对称轴为，当，即， 即，即时，为减函数， 函数为增函数， 则为减函数， 即函数单调减区间为； 当，即， 即，即时，为减函数， 函数为减函数， 则为增函数， 即函数单调增区间为. 故答案为： 【变式5】若函数（，且）满足，则的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，即，解得或（舍）， 所以， 令，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数知，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故选：B. 题型14 比较指数幂的大小 【例14】下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A:由在单调递增，且，所以，故选项A错误； 对于选项B: 由在单调递增，所以， 由在单调递减，所以，故，故选项B错误； 对于选项C: 由,在单调递减，且在第一象限底大图高， 所以,故选项C错误； 对于选项D: 由在单调递增，且，所以,故选项D正确；故选：D. 【变式1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在第一象限为增函数，，所以， 因为在第一象限为增函数，，所以，所以，故选：B. 【变式2】设，则大小关系是 . 【答案】 【分析】抓住同底与同指构造函数，利用单调性比较大小. 【详解】因为在单调增， 所以，即， 因为在单调减， 所以，即 综上，. 故答案为：. 【变式3】已知，，，则a，b，c按从小到大排列为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数性质比较大小． 【详解】，， 所以． 故答案为：． 【变式4】【多选】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为指数函数是减函数，所以，即； 因为幂函数在上单调递增，所以，即； 因为指数函数是减函数，所以，即.故选：ABD. 【变式5】在，，，这四个数中，最大的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数与在上单调递减，可知，， 只需比较与的大小，由于幂函数在上单调递增， 所以，所以这四个数中，最大的数为. 故选：C. 【变式6】已知定义在上的函数，记，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数，对数函数性质可比较的大小，再利用的单调性可得解. 【详解】∵， 又，， 而，， 且函数在上单调递减，∴． 故选：C. 题型15 解指数型不等式 【例15】不等式的解集是 . 【答案】 【解析】由题意知，， 又指数函数在R上单调递增，所以，解得， 即原不等式的解集为. 故答案为： 【变式1】若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性有，即可得答案. 【详解】由在定义域上递增，且，则. 故选：B 【变式2】不等式的解集是 . 【答案】 【解析】由可得，可得或， 又因为函数为上的增函数，则有或， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 【变式3】已知指数函数经过点(2,9)，则不等式的解集为 ． 【答案】(1,2) 【解析】设且，所以有，解得，即， 因此函数为R上的增函数， 因为，所以，解得， 故答案为：. 【变式4】已知，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先画出函数的图象，然后根据图象列不等式组，从而求得正确答案. 【详解】画出的图象如下图所示， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：A    【变式5】已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，研究函数的单调性与奇偶性，利用函数性质解不等式. 【详解】令，定义域为，且， 所以函数为定义域内的奇函数，且在上单调递增； 则，则，即，即， 又因为为定义域内的奇函数，所以， 又因为在上单调递增，所以， 解得或， 故实数a的取值范围是. 故选：C 题型16 根据指数型函数的单调性求参数的取值范围 【例16】“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则的图象为： 可知在上单调递增； 若，则的图象为： 可知在上单调递减； 综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件. 故选：C． 【变式1】若函数在上为减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，函数在定义域上单调递减，满足条件； 当时，函数开口向上，对称轴为，所以在上单调递增， 又在定义域上单调递增，所以在上单调递增，不符合题意； 当时，只需满足在为减函数，即，则； 综上可得. 故选：C 【变式2】设函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，可得， 因为函数在定义域上为单调递减函数， 要使得 在上单调递减，则满足，解得， 所以实数的取值范围为.故选：D. 【变式3】已知函数在区间（-1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由复合函数单调性得出在区间上单调递减，对分类讨论，结合单调性得到不等关系，求出实数a的取值范围. 【详解】由函数在区间上单调递增， 得函数在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递减，符合题意． 当时，由在区间上单调递减， 得，解得：． 当时，由在区间上单调递减， 得，解得：． 综上所述，的取值范围是． 【变式4】已知定义域为的函数，若对任意，，均有恒成立，则下列情形可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A：若，所以，所以为单调递减的指数函数，因此对任意，，均有恒成立，故A正确； 对B：若，，函数无意义，故B错误； 对C：若，所以，所以为单调递增的指数函数，所以对任意，，均有恒成立，故C错误； 对D：若，所以，所以为单调递增的指数函数，所以对任意，，均有恒成立，故D错误； 故选：A 【变式5】若函数（，且）满足，则的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，即，解得或（舍）， 所以， 令，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数知，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故选：B. 【变式6】若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数在上为增函数的性质列式可求得结果. 【详解】因为是在上的增函数，所以， 故选：A. 【变式7】已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减， 所以，解得，则. 故答案为：. 题型17 指数型函数的奇偶性问题 【例17】函数在定义域上是（    ） A．严格增的奇函数 B．严格增的偶函数 C．严格减的奇函数 D．严格减的偶函数 【答案】A 【解析】令，任取， 则， 因为是上的严格增函数，所以， 则，所以，则函数是上的严格增函数； 又，即函数为奇函数， 所以函数在定义域上是严格增的奇函数.故选：A 【变式1】已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】的定义域为，是奇函数， 所以，即， 两边乘以得， 两边乘以得， 不恒为，则恒为， 由得恒成立，所以， 由于且，所以.故选：C 【变式2】若为奇函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【解析】由解析式知：函数定义域为R，又为奇函数， 所以， 故， 由，为奇函数，满足题设. 所以.故选：D 【变式3】已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据对任意非零实数恒成立，可求出结果. 【详解】的定义域为， 因为为奇函数，所以对任意非零实数恒成立， 所以，即. 故答案为：. 【变式4】已知函数是偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质进行判定求解. 【详解】因为函数是偶函数，且定义域为, 所以, 恒成立， . 故答案为：2. 【变式5】若分别为定义在上的奇函数和偶函数，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由奇偶性的定义求得与的表达式，然后求函数值． 【详解】（1），则， 又分别为定义在上的奇函数和偶函数， ∴（2）， （1）（2）两式相加除以2得，相减除以2得， ∴，，∴， 故选：D． 【变式6】若函数是奇函数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，得到，即可求解. 【详解】因为是奇函数，可得. 故答案为：. 题型18 指数型函数的最值问题 【例18】若函数，则此函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性求得正确答案. 【详解】函数在区间上单调递增， 所以最小值为. 故答案为： 【变式1】若函数在区间[2,3]上的最大值比最小值大,则 . 【答案】 【详解】函数在上单调递增， ∴ 解得： 故答案为 【变式2】已知函数，的最小值为，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】令则，则问题转化为二次函数在给定区间上的最值求参数的值，对对称轴分类讨论，分别计算可得； 【详解】解：因为函数，，令则，则，对称轴为， 当，即时，解得，舍去； 当，即时，解得，满足条件； 当，即时，解得或，舍去； 故答案为： 【点睛】本题考查含参二次函数的最值问题，考查分类讨论思想，转化化归思想，属于中档题. 【变式3】若函数（，)在区间的最大值为10，则 . 【答案】2或 【解析】将函数化为,分和两种情况讨论在区间上的最大值,进而求. 【详解】, , 时,, 最大值为,解得 时,, 最大值为,解得, 故答案为:或2. 【点睛】本题考查已知函数最值求参,答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解. 【变式4】已知函数且的图象过坐标原点. (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 【答案】(1) (2)或3 【详解】（1）因为的图象过坐标原点， 所以，解得. （2）若，则在上单调递减， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 若，则在上单调递增， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 综上，的值为或3. 题型19 指数函数的恒成立和存在问题 【例19】设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意得在上有意义，故在上恒成立， 故， 当时，，而，满足，符合题意， 当时，，在上恒成立， 令，， 其中在上单调递减， 故， 故， 综上，t的取值范围是， 故答案为： 【变式1】已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】将“对，使得，”转化为，再根据二次函数的性质和指数函数的单调性求得最值代入即可解得结果. 【详解】当时，， ∴当时，， 当时，为增函数， 所以时，取得最大值， ∵对，使得， ∴， ∴，解得. 故答案为：. 【变式2】已知为偶函数，为奇函数，且满足：．若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】为偶函数，为奇函数，，即 又，解得， 时，等价于， 化简得，， 令，则，在上单调递增， 当时， 则实数的最大值为 故答案为： 【变式3】已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（−∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数在x∈[2，＋∞）时的值域，当x∈（−∞，2）时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围． 【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为， 因为对任意的，都存在唯一的，满足， 则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个. 当时，， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 当时， ①当时，，此时， ，解得， ②当时，， 此时在上是减函数，取值范围是， 在上是增函数，取值范围是， ，解得， 综合得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想. 【变式4】已知函数为奇函数． (1)求实数k的值； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是奇函数， 所以，解得，此时符合题意． （2）原问题即为，即恒成立， 则， 设， 则， ，∴当时，y取得最小值26， 要使不等式在上恒成立，则， 【变式5】已知函数，R的图象与轴无公共点，求实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令＝t＞0，则g(t)＝>0对t＞0恒成立，即对t＞0恒成立，再由基本不等式求出的最大值即可. 【详解】，R， 令＝t＞0，则f(x)＝g(t)＝， 由题可知g(t)在t＞0时与横轴无公共点， 则对t＞0恒成立， 即对t＞0恒成立， ∵，当且仅当，即时，等号成立， ∴， ∴. 故答案为：. 【变式6】若函数为定义在上的奇函数. (1)求实数的值，并证明函数的单调性； (2)若存在实数使得不等式能成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）由求得a的值，运用函数单调性的定义证明即可. （2）由在上的奇函数可得，由在上单调递增可得，成立，进而可得，成立，令，运用换元法将问题转化为，，进而求在上的最小值即可. 【详解】（1）因为函数为定义在上的奇函数， 所以，解得， 经检验符合题意， 所以， 证明：任取，，且， 则 因为，所以， 所以，， ， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （2）因为，在上的奇函数， 所以， 由（1）知函数在上单调递增， 所以，成立， 即，成立， 设，则， 所以，， 所以，， 设，， 则在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以， 所以. 题型20 指数函数的实际应用 【例20】已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）近似满足函数关系（a，b为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在7℃的保鲜时间为216小时，在28℃的有效保鲜时间为8小时，那么在14℃时，该果蔬的有效保鲜时间大约为 小时. 【答案】72 【分析】根据题意列出方程组，求出，确定函数解析式，再代入求值即可. 【详解】由题意得：，①÷②得：，故， 则，，故 故当时，. 故答案为：72 【变式1】核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（    ）．（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 【答案】C 【分析】设DNA数量没有扩增前数量为a，由题意可得，，化简得，再根据指数函数的运算，即可求解． 【详解】设DNA数量没有扩增前数量为a， 由题意可得，，即， 所以，即， 故． 故选：C． 【变式2】国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2023年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆､绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量），且前4小时消除了的污染物，则污染物消除至最初的还需要过滤 小时． 【答案】4 【分析】先列出关于还需要过滤时间x小时的方程，解之即可求得还需要过滤时间为4小时. 【详解】根据题意有，，可得，即 设污染物消除至最初的还需要过滤x小时， 则，即 则，即， 则，解之得 故答案为：4 题型21 指数型函数性质的综合应用 【例21】【多选】已知函数，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D. 【详解】令，则， 对于选项A：的定义域与的定义域相同，均为R，故A正确； 对于选项B：因为，的值域为， 所以函数的值域为，故B正确； 对于选项C、D：因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减， 所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减， 所以C不正确，D正确. 故选：ABD. 【变式1】【多选】已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数是奇函数 D．函数在上为减函数 【答案】ABC 【分析】根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以，所以函数的定义域为，故A正确； B：，由 ， 所以函数的值域为，故B正确； C：因为， 所以函数是奇函数，所以C正确； D：因为函数是增函数，因为， 所以函数是减函数， 所以函数是增函数， 故是增函数，故D不正确， 故选：ABC. 【变式2】【多选】已知函数，其中且，则下列结论正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的图象过定点 C．函数在其定义域上有解 D．当时，函数在其定义域上为单调递增函数 【答案】ACD 【分析】对选项A，利用奇函数的定义即可判断A正确，对选项B，根据即可判断B错误，对选项C，令求解即可判断C正确，对选项D，根据指数函数单调性即可判断D正确. 【详解】函数， 对选项A，，定义域为R，， 所以函数是奇函数，故A正确. 对选项B，，故B错误. 对选项C，，定义域为R，令，解得， 故C正确. 对选项D，当时，，所以和在R上为增函数， 所以函数在R上为单调递增函数，故D正确. 故选：ACD 【变式3】【多选】已知函数则下列选项正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数的值域为 C．方程有两个不等的实数根 D．不等式解集为 【答案】BC 【分析】画出的图象，结合图象即可判断各选项. 【详解】   画出的图象，如上图所示. 令，解得或， 所以的图象与轴交于. 对于A，由图象可知，函数在区间上不单调，A错； 对于B，由图象可知，函数的值域为，B对； 对于C，，， 由图象可知，方程，即有两个不等的实数根，C对； 对于D，由图象可知，当时，， 所以，由可得. 令，解得或； 令，解得或， 所以，由图象可知，不等式解集为，D错. 故选：BC $$