重庆市南开中学校2024-2025学年高二上学期周测试数学试题10.27

重庆南开中学高2026级高二(上)数学 10.27 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. 若一个圆的短轴长和焦距相等,则该圆的离心率为() B. A C. D.2 2. 若抛物线v-2rnx的焦点为(1.0):则P的值为( ) C2 A.-2 B.-4 D.4 A7 C.3 B.2 D. 4. 已知在圆C:(x-a){+(y-2a){=20上恰有两个点到原点的距离为、5,则a的取值范围是( ) A.(13) B.(1.9) C.(1,3)U(-3.-1) D. (1.9)U(-9.-1) A. 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 圆的右焦点,则aPOF的周长为() B8 A.16 C.4 D.2 7. 常见的“对勾函数”y=mx+”(m>0.n>0)能由双曲线的图象绕原点旋转得到(其渐近线分 .-5.则此“对勾函数“所对应的双曲线的实轴长为() 3 A.45 B.4 C.2V6 D.27 8. 以原点为对称中心的柩圆C..C.焦点分别在x轴,y轴,离心率分别为,,直线1交C.C.所得的弦中 点分别为M(x,y).N(x,),若xx。=2yy*0,2e}-=1,则直线/的斜率为() B.2 C.2 A.士1 D.22 试卷第1页,共4页 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部 选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分. 9. 代数与几何是数学的两个重要分支,它们之间存在着紧密的联系,将代数问题转化为几何问题,可以利 用几何直观来理解和解决代数问题,例如,与(x-a)+(y一b)相关的代数问题,可以转化为点A(x.y)与 点B(a.b)之间的距离的几何问题,结合上述观点,可满足方程 x-6x+13- +6 +13-23的x的 可能是() 2.-9 D A._5 C.5 10. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是() A. 平行四边形 B. 梯形 C. 有三条边相等的四边形 D 有一组对角相等的四边形 11. 加斯帕尔;蒙日(图1)是18-19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:与圆相切的两条 垂直切线的交点的轨迹是以树圆中心为圆心的圈.我们通常把 这个圆称为该圆的蒙日圆(图2). 已知圆C.-1的 43 左、右焦点分别为F,F,点P,2均在C的蒙日圆O上. P4. PB分别与C相切于A.B,则下列说法正确的是() 图 A. C的装日圆方程是x+y-4 图2 B. 设N(1l).则AN+AP|的取值范围为4-V5.4+V5 C. 长方形R的四条边均与圆C相切,长方形R的面积的最大值为14 D. 若直线P2过原点O,且与C的一个交点为G]GFl:lGF]=3.则]GPGC=3 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.已知两圆C:x+y-4x+2y-1-0与C:x+y+4x-4y-17-0,则它们的公共弦所在直线方程 为_ 13. 已知抛物线C:y}-2x的焦点为F,若C上存在三点B.B,B.且F为aPB的重心,则aPBB三边中 线长之和为_: 试卷第2页,共4页 心率的取值范围是_. 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15. 已知双曲线E: (1)求双曲线E的标准方程 (2)若过点P(1.1)的直线/与E交于A:8两点:点P能否为线段AB的中点?并说明理由. 16. 如图,在四 锥P-ABCD中,平面PAD1平面ABCD.PA1PD.A$1AD,PA=PD,AB=2.AD=8 AC-CD-5. (1)求证:平面PCD1平面PAB: (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值 17. 已知抛物线C:y2-2px(p>0).过点(2.0)的直线/与抛物线C相交于A,两点,O为坐标原点,且 0:0=2. (1)求抛物线C的方程 (2)点M坐标为(-2.0),直线MA,M8的斜率分别k,k,求证: 试卷第3页,共4页 与圆7x+7y-12-0相切 (1)求双曲线F方程 (2)过F,的直线/与双曲线E交于M.N两点. ①若MF.-AFN(1<A<3),求 MON的面积取值范围: ②若直线/的斜率为k,是否存在双曲线E上一点O以及x轴上一点P,使四边形PMON为菱形?若存在 求出:若不存在,请说明理 (1)求C,的标准方程 (2)若C.的焦点在x轴上,P(x,%)为C.上一点,A、B两点在C.上,且线段PA、PB的中点都在C上. ()当点P运动时,aP4B的面积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说理由; (i)记)-乙APB,求tan 的取值范围 试卷第4页,共4页重庆南开中学高2026级高二（上）数学 10.27答案 一、进邦题：BCBC BBCA 二、选择思：AC BCD BCD 三、填空愿：4x-3y-8=0 四、解答愿： 15解：0)油圆豪知，双曲线的斋近战的候斜角为30或60，即25或5。 3 当夕.5时，E的标准方程为言~立=1，代入(2,3)，无解 a 3 3 当名5时、E的标准方程为号茹1，代入2引，解得=。故后的标准方相为r-号=。 (2)P不能是线段AB的中点 设交点A(名)，B(名，乃)，当直线1的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个交点，不符合题意 当直线/的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-)+!,联拉方程组 y=(x-1)+1 ,整理得(3-)x2-2k(1-)x-1-}-3=0(k≠±V月，则 a=41-+4-[-+]0,由5+5-2-_2得k=3,将=3代入判别式 3-k △=40-+43-)[0-+3]s0, 所以满足题意的直线也不存在」 16.I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD, 且AB⊥AD,ABC平面ABCD,所以AB⊥平面PAD, 因为PDC平面PAD,所以AB⊥PD,又PD⊥PA,且PA门AB=A,PA,ABC平面PAB, 所以PD⊥平面PAB,又PDc平面PAD,所以平面PCD⊥平面PAB: (2)取AD中点为0，连接C0,P0, 又因为PA=PD,所以PO⊥AD,则AO=PO=4, 因为AC=CD=5,所以C0⊥AD,则CO=VAC-AO=3, D 以0为坐标原点，分别以OC,0Oa,O丽所在直线为x,y,z轴，建立如图 所示的空间直角坐标系0-2， 则4(0,40)，B(2,4,0).C(30,0.D(0,-4.0),P(0,0,4). PC=(3,0.4),P币=(0,4,4)，P丽=(2,4,4)，设i=(,yz)是平面PCD的一个法向重， 则c=0 日历三0得{y-经=0令：=小，则4，小，所以=4-). 「3x-4z■0 设P8与平面PCD所成的角为6，则sn8= n:PBL-16」4N3函 同PW343651 所以PB与平面PCD所成的角的正弦值为4 51 17.D设1方程为x=my+2,A(,),B() 迪2用分可-20%=2m 六丽.0丽=5+伪=分务+%=4-4p=2p-抛物线C的方程为y=x 2p2p 是+1.+2++2_4*%+26+为_为+⅓4+20+为.4+2出+为 四吃%为 5 为 ,上+上=0为定值 由m可得x+为=m,从=-2心店+名 18)明：x+9-c=0,愿：+y-号，因为直线与驱招切， 所以盟心(0,0)到直线BF:bx+y-bc=0的距离为， 即上 2 B+。7,即126+12c2=76,又=2， 12 且2=。+，所以=62=3，c2=4,所以双曲线E的标准方程为- 31 (2)0设直线1的方程为x=网+2， 代入2-号=1，得m-可+12g+9=0. 设wk小N%,所似%+%=器=” 9 则5o=-=+%-44- m-可，因为丽=丽，所以-女=2e化)，所以 36m'+36 可号+所制 9 -144m21 令2-11-引所以8-巴，又因为在山-到上递流，所以 e-Pe2i呵 ②假设存在P、2两点，使得四边形PMQN为菱形，直线I的方程为y=k(x-2), -kx-206-)2+4-4-3=0到. 3x2-y2-3 联立 以x+名=，=43，由题m=一无，设W的中点为 4k2 】 -2k2-3-3k 3-k3-k 片+%(+名-2刘=-2-6欧 3-k2 所似阳的直镜方是一-北) 2k2 所5器小装） 因为2在双曲线上， 所以3x+.（上2P-6 -=3,即3'+2k°-24k-18歇2-27=0， (3-2y（3-k2 令1=k2,即3+2r-24r2-181-27=0,即3(2+1)(-9列+2r(2-9）=0, 即(？-9(3x+2+3=0,所以2=9，即k2=3,与题意不符， 因此不存在P、Q两点，使得四边形PMON为菱形. 190油题意，精题G的离心率为马.@当S的焦点在：轴上时，设方程为号+卡=e>60小.则有 冱 a2 C+b=d心，解得d2=20,=5,c2=15,C的方程为兰+上 44 20*=: @当G的焦点在》轴上时，设方程为号+茶=0>b>0,同理可得205c.15, G的方程为号+号1缘上，6的标准方程为务 2。+号1或女 20*1 ②0圈G的感点在：鞋上.故G的标准方程为蜀号- 设4k).,线段PA的中点臣，生]在椭调C.k 2 2 做有，1，整理和年+小任+小学+%=4，将号=手+疗5代入整 16 理得：空+2%+2=0，同理可得：空+2%+2=0， 所以点Ax1为)，B(x2,2)满足方程等+2%y+2=0,赦直线B的方程为兰+2+2=0。 2 联立直线AB和椭圆C的方程，消去y得： （年+8+24-好-0.代入手+g=5,得 5x2+2xwx+4-48=0,△=4-20(4-46)=4(+20y%)-80=4(20+16y)-80=64, 名=子名丝6，当%0时。 5 -高长小.2：区，点到直线8的E房 4y5 5 月 G16“G+16家'PB的面积5=h4d=号2图6 片+4奶+424 24 原城 5 V+16y =0所，不猫5，则（后引（后》存号-学维上，8的面积 为定维兰 m-学+学+小6+刻4孚丝兰4 0-2++.得州话， 由-2+⅓)+4季+4=40-4)-0%+%=% 于是P丽-（名-3-）+（以-为%-%）=5-名名+)++-%(0+为)+坊 号，+0+式+=4，因2，所烈两2网，又 5 2或w网6所两-风网ae,所u0端”3西指