第三章：圆锥曲线的方程章末综合检测（基础卷）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

第三章：圆锥曲线的方程章末综合检测（基础卷） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（23-24高二上·江苏扬州·期中）抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为抛物线的焦点为，准线为， 所以抛物线的焦点到准线的距离是，故选：D. 2．（23-24高二上·陕西榆林·期中）双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由双曲线，可得，则， 且双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标为.故选：D. 3．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得椭圆的焦点坐标为，， 设所求椭圆的标准方程为， 由于椭圆经过过点，则可将点代入方程得到，． 所求椭圆与椭圆有相同的焦点，所求椭圆的半焦距，， 联立解得，，所求椭圆的标准方程为.故选：B. 4．（23-24高二上·全国·月考）已知圆与圆内含，且圆心不重合，动圆与两圆相切，则圆心的轨迹为（    ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 【答案】D 【解析】由题意，记圆半径为．不妨令圆的半径为，圆的半径为，且， 则动圆与圆内切，与圆外切，可得：， 两式相加得：，且，故圆心的轨迹为椭圆．故选：D． 5．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知抛物线C：，点F为C的焦点，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若的面积为12，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】如图， 直线l：中，令，可得，令，可得， 所以，， 由抛物线C：可得， 所以，所以，解得.故选：A 6．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有， 又由双曲线的离心率为，有， 可得双曲线的方程为，代入，可得， 故该花瓶的高为.故选：B. 7．（23-24高二上·天津·月考）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当直线斜率不存在时， 由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上， 而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意. 故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为， 即， 代入椭圆的方程化简得， 所以，解得， 故直线方程为，即.故选：B. 8．（23-24高二上·重庆·月考）双曲线：（）的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与双曲线的一个交点满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意直线过点且倾斜角为，则， 又，，可得， 因为，所以，， 由双曲线定义，，即， 解得.故选：A. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·四川成都·月考）方程()表示的曲线可能是（    ） A．一条直线 B．圆 C．椭圆 D．线段 【答案】BC 【解析】当，则，可得，即曲线是圆； 当，则，可得，即，曲线是两条直线； 当，则，可得， 则，曲线是椭圆；故选：BC. 10．（23-24高二上·河南漯河·月考）已知椭圆:与双曲线：（），下列关于两曲线的说法正确的是（    ） A．C1的长轴长与C2的实轴长相等 B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率不相等 【答案】CD 【解析】椭圆：长轴半，短半轴，焦半距，离心率； 双曲线：长轴半，短半轴，焦半距，离心率； ∵，∴选项A不正确； ∵，∴选项B不正确； ∵，∴选项C正确； ∵，∴选项D正确；故选：CD 11．（23-24高二上·江苏连云港·月考）设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B在抛物线准线上的射影分别为，则下列结论正确的为（    ） A．是直角 B．以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切 C．若A、B 的纵坐标分别为，，则 D．弦AB 长度的最小值为p 【答案】ABC 【解析】设过抛物线焦点的直线方程为：， 代入得，， 则，，故C正确， ，， 当直线与轴垂直时，，最小为，故D错误； 以为直径的圆：圆心，，半径为， 圆心与准线的距离， 圆与准线相切，故B正确， ， 所以，故， 故，故为直角，A正确，故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点关于C的一条渐近线的对称点为M，且，则C的渐近线方程为 . 【答案】 【解析】设与渐近线的交点为A， 因为关于C的一条渐近线的对称点为M， 所以，， 因为，所以，所以， 所以C的渐近线方程为. 故答案为：. 13．（23-24高二上·河北邢台·月考）抛物线C：的焦点为，为抛物线上一动点，，则的最小值为 ． 【答案】13 【解析】由题意知抛物线的准线为：， 点到直线的距离为，则， 所以． 结合图形可知，当时，最小， 故的最小值为， 故答案为：. 14．（23-24高二上·安徽亳州·期中）已知椭圆C：（）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，PA⊥PF，直线PA与OB交于点M，且，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【解析】 设，，因为，所以得，， 因为点P在椭圆上，故可得，得， 因为，所以，， 代入，，，得，联立和 得，所以，或（舍去） 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二上·江西赣州·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为10，离心率是； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）依题意，可设双曲线的标准方程为， 则，解之可得， 则双曲线的方程为； （2）依题意，双曲线的焦点在轴上，设其标准方程为， 则，解之可得， 则双曲线的标准方程为． 16．（23-24高二上·天津·月考）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． (1)求焦点坐标，焦距，短轴长； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 【答案】(1)焦点坐标为，，焦距为，短轴长为；(2). 【解析】（1）设长半轴、短半轴、焦距分别为， 由已知方程得到，，所以，，由得， 故焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； （2）设，， 由已知得直线的方程为，与联立方程组得， 则，， 故， 令的面积为，所以. 17．（23-24高二上·四川绵阳·月考）已知抛物线的焦点为，且经过点. (1)求； (2)若过点的直线与抛物线交于不同的两点，为坐标原点，证明:. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意知，代点入中，得， 所以抛物线方程为， 由抛物线定义知； （2）当过点的直线斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去； 设直线为，联立方程，有， ，所以， 所以， 所以. 18．（23-24高三上·湖北随州·月考）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 【答案】(1)或或；(2)或；(3)或 【解析】（1）联立， 消整理得，（*） 因为直线l与双曲线C有两个公共点， 所以，整理得 解得：或或. （2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行， 方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解， 即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意． 当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点， 则，解得； 综上，或. （3）因为直线l与双曲线C没有公共点， 所以，解得： 或. 19．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于，且分别是弦的中点. (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线过定点； (3)求面积的最大值. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）因为椭圆经过点， 所以，因为与短轴的一个顶点构成一个等腰直角三角形， 所以， 所以，解得， 所以椭圆方程为. （2）证明：设直线的方程为， 则直线的方程为， 联立，消去得， 设，则, 所以， 由中点坐标公式得， 将的坐标中的用代换，得的中点， 当时，所在直线为， 当时，，直线的方程为， 整理得， 令，可得，即有， 所以直线过定点，且为. （3）方法一：面积为 . 令， 由，∴递增，则在上递减， 所以当，即时，取得最大值为， 则面积的最大值为. 方法二：， 则面积， 令，则，当且仅当， 即时，面积的最大值为. 所以面积的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章：圆锥曲线的方程章末综合检测（基础卷） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（23-24高二上·江苏扬州·期中）抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西榆林·期中）双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·全国·月考）已知圆与圆内含，且圆心不重合，动圆与两圆相切，则圆心的轨迹为（    ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 5．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知抛物线C：，点F为C的焦点，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若的面积为12，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24高二上·天津·月考）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·重庆·月考）双曲线：（）的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与双曲线的一个交点满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·四川成都·月考）方程()表示的曲线可能是（    ） A．一条直线 B．圆 C．椭圆 D．线段 10．（23-24高二上·河南漯河·月考）已知椭圆:与双曲线：（），下列关于两曲线的说法正确的是（    ） A．C1的长轴长与C2的实轴长相等 B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率不相等 11．（23-24高二上·江苏连云港·月考）设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B在抛物线准线上的射影分别为，则下列结论正确的为（    ） A．是直角 B．以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切 C．若A、B 的纵坐标分别为，，则 D．弦AB 长度的最小值为p 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点关于C的一条渐近线的对称点为M，且，则C的渐近线方程为 . 13．（23-24高二上·河北邢台·月考）抛物线C：的焦点为，为抛物线上一动点，，则的最小值为 ． 14．（23-24高二上·安徽亳州·期中）已知椭圆C：（）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，PA⊥PF，直线PA与OB交于点M，且，则该椭圆的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二上·江西赣州·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为10，离心率是； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为． 16．（23-24高二上·天津·月考）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． (1)求焦点坐标，焦距，短轴长； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 17．（23-24高二上·四川绵阳·月考）已知抛物线的焦点为，且经过点. (1)求； (2)若过点的直线与抛物线交于不同的两点，为坐标原点，证明:. 18．（23-24高三上·湖北随州·月考）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 19．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于，且分别是弦的中点. (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线过定点； (3)求面积的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$