17.1勾股定理 课件 2023--2024学年人教版八年级数学下册

17.1勾股定理 你知道在古代，人们如何称呼直角三角形的三边吗？ 勾 股 弦 那么勾、股、弦之间有什么关系呢？ 2 毕达哥拉斯在朋友家里做客时，从砖铺成的地面中发现了直角三角形三边的数量关系． 你从图片中发现了什么？ 三个正方形的面积有什么关系？ 两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积． S1 S2 等腰直角三角形三条边的长度之间有怎样的特殊关系？ S S＝S1＋S2， a b c 即 c2＝a2＋b2． 等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和． 观察并将各正方形的面积写在对应的横线上（每个小方格的面积均为1）． SA＝____，SB＝____，SC＝____， SA′＝____，SB′＝____，SC′＝____． 4 9 13 9 25 34 你有什么发现？ SC＝SA＋SB， SC′＝SA′＋SB′． 6 通过前面的探究活动，你发现直角三角形三边之间的规律了吗？ 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2． 例1　设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c． （1）已知 a＝6，c＝10，求 b； （2）已知 a＝5，b＝12，求 c； （3）已知 c＝25，b＝15，求 a． 解：（1）因为 a2＋b2＝c2，即 62＋b2＝102， 又 b＞0，所以 b＝8． 解：（2）因为 a2＋b2＝c2，即 52＋122＝c2， 又 c＞0，所以 c＝13． 例1　设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c． （1）已知 a＝6，c＝10，求 b； （2）已知 a＝5，b＝12，求 c； （3）已知 c＝25，b＝15，求 a． 例1　设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c． （1）已知 a＝6，c＝10，求 b； （2）已知 a＝5，b＝12，求 c； （3）已知 c＝25，b＝15，求 a． 解：（3）因为 a2＋b2＝c2，即 a2＋152＝252， 又 a＞0，所以 a＝20． 首先分清斜边和直角边，然后利用“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”即可求出未知边的长． 例2　如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形 A，B，C，D 的边长分别是 12，16，9，12，求最大正方形E的面积． 解：由图形可知，正方形 E 的边长为 ＝25， 故正方形E的面积为 252＝625． 通过三个直角三角形，明确已知的正方形边长和未知的正方形边长之间的关系，从而得到所求正方形的边长，即可得到所求正方形的面积． 命题 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么__________． a2＋b2＝c2 如何证明呢？ 右图是我国古代证明该命题的“赵爽弦图”． 赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四．以勾股之差自相乘为中黄实．加差实，亦成弦实． 你是如何理解的？你会证明吗？ 证明 a b b a S＝a2＋b2 小正方形的面积 ＝(b－a)2 ＝ c a b c a b ＝c2 即 a2＋b2＝c2． 16 图形在经过适当分割后再另拼接成一个新的图形，分割拼接前后图形的各部分的面积之和不变． 你理解了吗？原命题是否正确？ 原命题是正确的，又因为该命题与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理．即： 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2． 18 世界上几个文明古国相继发现和研究过勾股定理，其证明方法有很多种，有兴趣的同学可以继续研究． c a b a b c 1876 年美国总统 Garfield 证明 a b c a 刘徽证明 19 例3　作 8 个全等的直角三角形（2 条直角边长分别为 a，b， 斜边长为 c），再作 3 个边长分别为 a，b，c 的正方形，把它们拼成两个正方形（如图）．你能利用这两个图形验证勾股定理吗？写出你的验证过程． 20 解：由图可知大正方形的边长为：a＋b，则面积为(a＋b)2， 由左图可得 (a＋b)2＝a2＋b2＋4× ， 由右图可得 (a＋b)2＝c2＋4× ． 根据面积相等，所以 a2 ＋ b2＝c2． 用分割拼接法证明勾股定理，其依据是“分割拼接前后图形的各部分的面积之和不变”． 例4　某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图 1，点 B 是正方形 ACDE 的边 CD 上一点，连接 AB，得到 Rt△ACB，三边分别为 a，b，c，将 △ACB 裁剪拼接至 △AEF 位置，如图 2，该同学用图 1、图 2 的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程． A C D E B a b c 图 1 A C D E B a b c b a F c 图 2 23 解：如图2，连接 BF． 在图1中，正方形 ACDE 的面积为 b2， 在图2中，∠BAC＝∠EAF，则 ∠EAF＋∠BAE＝90°， 故 △BAF为等腰直角三角形． 四边形 ABDF 的面积为： c2＋ (b－a)(a＋b) ＝ c2＋ (b2－a2)． A C D E B a b c 图 1 A C D E B a b c b a F c 图 2 A C D E B a b c 图 1 根据两图形面积相等，所以 c2＋ (b2－a2)＝b2． 化简，得 a2＋b2＝c2． A C D E B a b c b a F c 图 2 25 熟练掌握勾股定理的证明方法，一般先利用拼图，再利用面积相等．本题在利用面积相等时，关键是作辅助线，然后用含字母 c 的表达式来表示图 2 的面积． 波平如镜一湖面，半尺高处出红莲． 婷婷多姿湖中立，突遭狂风吹一边． 离开原处两尺远，花贴湖边似睡莲． 请你动动脑筋看，湖水在此多深浅． 这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题． 印度的数学家婆神迦罗在他的著作《丽拉瓦提》中提出这样一个问题： 图片需重画 27 Administrator (A) - 学科组拍摄 上面的问题可以归结为：如图，AC 长为 0.5 尺，BC 长为 2 尺，OA＝OB，求 OC 长为几尺．请你解答这个问题． A C O B 解：OA＝OB＝OC＋0.5， 在 Rt△OBC 中，根据勾股定理， OB2＝OC2＋BC2， 即 (OC＋0.5)2＝OC2＋22， OC＝3.75． 所以 OC 长为 3.75 尺． 28 应用勾股定理解决实际问题，关键是将实际问题转化为直角三角形模型． 例5　一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ （1）木板能横着或竖着从门框通过吗？ （2）这个门框能通过的最大长度是多少？ （3）怎样判定这块木板能否通过木框？ 不能． 门框对角线 AC 的长度． 求出 AC ，再与木板的宽比较． 解：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5． AC＝ ≈2.24． 因为 AC 大于木板的宽 2.2 m，所以木板能从门框内通过． 应用勾股定理解决实际问题时，若没有直角三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形． 例6　如图，一架 2.6 m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为 2.4 m．如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5 m，那么梯子底端 B 也外移 0.5 m 吗？ 解：可以看出，BD＝OD－OB． 在 Rt△AOB中，根据勾股定理， OB2＝AB2－OA2＝2.62－2.42＝1．OB＝1． 在 Rt△COD中，根据勾股定理， OD2＝CD2－OC2＝2.62－(2.4－0.5)2＝3.15． OD＝ ≈1.77， BD＝OD－OB≈1.77－1＝0.77． 所以梯子的顶端沿墙下滑 0.5 m 时，梯子底端并不是也外移 0.5 m，而是外移约 0.77 m． 应用勾股定理解决实际问题时，应重视对实际问题题意的正确理解，对结论要进行仔细验证． 例7　如图，池塘边有两点 A，B，点 C 是与 BA 方向成直角的 AC方向上一点，测得 BC＝60 m，AC＝20 m．求A，B 两点间的距离（结果取整数）． 解：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， AB2＝BC2－AC2＝602－202＝3 200． AB＝ ≈57． 所以 A，B 两点间的距离约为 57 m． 在实际生活中遇到的某些不可直接测量距离的问题，可以通过构造直角三角形模型，然后经过计算得出所求距离． 在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′． 求证：△ABC≌△A′B′C′． 证明“HL”定理 证明：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C＝∠C′＝90°， 根据勾股定理，得 BC＝ ，B′C′ ＝ ． 又 AB＝A′B′，AC＝A′C′， ∴ BC＝B′C′． ∴ △ABC≌△A′B′C′ (SSS)． 根据勾股定理，已知直角三角形的斜边和一条直角边，就可以求出另一条直角边的长，在本题中即可证明另一条直角边也相等，就可以用“SSS”方法判定这两个三角形全等了． 归纳 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？ 分析：将13 开方就是 ，如果一个三角形的斜边长为 的话，问题就可迎刃而解了． 探究 发现 是直角边分别为 2，3 的直角三角形的斜边长． 2 3 A B O C 1 2 3 提问 你能用语言叙述一下作图过程吗？ 第一步：在数轴上找出表示 3 的点 A，则 OA＝3； 第二步：过点 A 作直线 l⊥OA，在 l 上取点 B，使 AB＝2； 第三步：以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与数轴的交点 C 即为表示 的点． 类似地，利用勾股定理，可以作出长为 ， ， ，…的线段吗？ 思考 可以在数轴上画出表示 ， ， ， ， ，…的点吗？ 思考 利用勾股定理，可以作出长为 （n 是整数）的线段，进而在数轴上画出表示 （n 是整数）的点． 例8　在数轴上作出表示 的点． 解：如图，在数轴上找到点 A，使 OA＝4， 作直线 l 垂直于 OA，在 l 上取点 B，使 AB＝1， 以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与数轴的交点 C 即为表示 的点． A C O l B 1 2 3 4 49 例9　如图，等边三角形的边长是 6．求： (1)高 AD 的长； (2)这个三角形的面积． 解：(1)AD⊥BC 于 D，则 BD＝CD＝3． 在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝62－32＝27， 故 AD＝3 ． (2) S＝ ·BC·AD＝ ×6×3 ＝9 ． 求已知边长的等边三角形的面积，利用等边三角形“三线合一” 的性质及勾股定理求出高的长度是关键． 勾股定理的应用 若没有直角三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形 将实际问题转化为直角三角形模型 勾股定理的应用 在数轴上画出表示 （n 是整数）的点 证明“HL”定理 作出长为 （n 是整数）的线段 54 $$