第27章 相似 单元优生辅导练习题 2024-2025学年人教版九年级数学下册

2024-2025学年人教版九年级数学下册《第27章相似》单元优生辅导练习题（附答案） 一、单选题 1．已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线、与这三条平行线分别交于点A、D、F和点B、C、E．若，，则的长为（    ） A．4.4 B．5.5 C．9.9 D．10.1 3．如图，在中，，是的平分线，在的延长线上取一点，使得，连接．则（    ） A． B． C． D． 4．如图，与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点B的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，点在边上，线段绕点顺时针旋转，点恰巧落在边上的点处．如果，．那么与满足的关系式是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接、，交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知矩形的两点、在反比例函数的图象上，点和点都在坐标轴上，且的坐标为，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，正方形中，平分，交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连、，交于点H．下列结论①；②；③；④正确的是（    ） A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①② 二、填空题 9．已知线段AB及AB上一点P，当P满足下列哪一种关系时，P为AB的黄金分割点①AP2=AB•PB；②AP=AB；③PB=AB；④；⑤．其中正确的是 （填“序号”） 10．已知x轴上有A点，y轴上有B点，直线交x轴的正半轴于点E，交y轴于点F，若与相似（点O是坐标原点），则k的值为 ． 11．已知：如图，四边形是菱形，，且．则的长 ． 12．如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ． 13．如图，正方形中，P为上一点，交的延长线于点E，交于点F，若，，则的长为 ． 14．如图，为半圆的直径，以半圆的一条弦非直径为对称轴将弧折叠后与直径交于点，若，且，则弦的长为 ． 15．如图，已知等腰中，，点D、E分别为边上任意点，以为直径作圆正好经过点C，与交于点F，则面积最大值为 ．    16．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，抛物线经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．若点P在射线上，且，则点P的坐标是 ． 三、解答题 17．如图，E为菱形的边上一点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)作于点H，，，，求的长． 18．如图，内接于的外角的平分线交于点D，连接交于点F． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 19．如图，是圆O的直径，弦与交于点E，且，F是圆O上一点，，连接交于点N，过点D作圆O的切线交的延长线于点M，连接并延长交的延长线于点P．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 20．（1）如图1，在中，，直线l过点C，分别过A，B两点作，垂足分别为E，D．求证：； （2）如图2，在的边上取点E，使得．若，求的面积． 21．正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，于点P，交于点M． ①求证：点P在的平分线上； ②当时，猜想与的数量关系，并证明； ③作于点N，连接，当时，若，求的值． 22．在中，，，过作于点D． (1)如图1，过D作于点，连接，若，求线段的长； (2)如图2，H为平面内一点，连接、，在中，，，延长与交于点，过点作交于点，若、、在一条直线上，求证：； (3)如图3，M为上一点，连接，为上一点，若，，，连接，请直接写出线段的长． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C C D C D A 1．解：A. ， ∵是线段， ， ， 故A选项正确； B.若满足此时 ， ， ，故B选项错误； C.已知线段m，且 所以 当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即 故C选项错误； D.若满足 此时，故D选项错误. 故选: A. 2．解：∵， ∴， ∵， ∴，解得， 故选：B． 3．解：如解图，过点作交于点， ∴ ∴ ， ∴ ∴ 是的中位线， ，， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 故答案选：C． 4．解：与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点B的坐标为， 点在第四象限， 点的坐标为即， 故选：C． 5．解：过点作于点，如图， 线段绕点顺时针旋转，点恰巧落在边上的点处， ， ， ，， ， ， ， 即， ，， ， 即． 故选：D． 6．解：连接，交于点O； ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选C． 7．解：作轴于，轴于， ， 设， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵的坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点、在反比例函数的图象上， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，点在第三象限，不符合题意，舍去， ∴， ∴． 故选：D．    8．解：∵是 由绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，故正确； ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 即， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故正确； ∴正确， 故选：． 9．解：∵P为AB的黄金分割点， ∴=， ∴AP2=AB•PB，故①小题正确； AP2=AB•（AB﹣AP）， AP2+AB•AP﹣AB2=0， 解得AP=AB，故②小题正确； （AB﹣PB）=AB， 整理得，PB=AB，故③小题正确； ∵AP=AB， ∴PB=AB﹣AP=AB， ∴=，故④小题错误； =，故⑤小题错误． 综上所述，①②③正确． 故答案为①②③． 10．解：∵A点，y轴上有B点， ∴、， ∵直线交x轴的正半轴于点E，交y轴于点F， ∴， ， ∵与相似， ∴或，即或，解得或， 当时，，代入得，解得：， 当时，，代入得，解得：． ∴或． 故答案为：或． 11．解：∵，且， ∴， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 12．解：作交于点K， ∴，． ∵H是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 14．解：如图， ，且， ，， 作关于直线的对称线段，交半圆于，连接、，，则、、三点共线， 线段与线段关于直线对称， ， ， ，． 四边形是圆内接四边形， ， 又 ， 又 ， ， 即． 则， 又 ， ， ． 故答案为：． 15．解：连接，    由题意得，四边形是圆内接四边形， ∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， 作交延长线于点G，则， ∴， ∴， ∵， ∴当即时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 16．解： 如图，当P在C的左边时， ∵， ∴，    设， ∴，解得， ∴； 当P在C的右边时，如图，过作轴于H，则 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 此时的横坐标为1，则纵坐标， ∴， 综上：P的坐标为：或． 故答案为：或． 17．（1）解：四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接．   ， ， ． ，， ． ， ， ∴， ∴． 18．（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．解：（1）如图1，连接，，，   ，是直径， ，， ，且， ∴， ， ∴， ∵， ∴； （2） ， ，且，， ， ，， ，， ∴； （3）如图2，连接，，，，   是切线， ， ，， ∴ ， ， ，， ∴， ， ， ， ∴， ∵， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ，且， ∴， ， ， ． 20．（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ，又， ； （2）过点作于点，过点作，交的延长线于点， ， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ，， ，， ， ， 设，，， ，， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ，， ，， 的面积． 21．（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）①证明：连接，    由（1）得， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∵，， ∴点P在的平分线上； ②，理由如下： 由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，    ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ③由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，    ∴， 同理四点共圆，则， ∵， ∴， ∴，∵， ∴四边形是平行四边形， 设平行四边形的对角线的交点为，且， ∵是等腰直角三角形， ∴和都是等腰直角三角形， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（1）解： ，， ， ， ，， ， 过作于，如图1， ，， ，， ，， ， ， ． （2）证明：，， ∴ ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． （3）解：延长交于，延长到，使，连接，如图 ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 过作于，过作于， ， ，， ， ， ∴， ， ，， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$