27.2.2 相似三角形的性质 同步练习题 2024-2025学年人教版九年级数学下册

2024-2025学年人教版九年级数学下册《27.2.2相似三角形的性质》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，则下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是的中点，相交于点，（    ）    A． B． C． D． 4．如图，中，点，分别在上，且，下列结论正确的是（    ） A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．与四边形的面积比为 5．如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止．点运动的速度为秒，点运动的速度为秒．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（　　） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 6．如图，矩形中，，，点E为的中点，点G为上一点，连结、交于点 F，连结，当 时，线段的长度是 （    ） A．10 B．9 C．8 D．7 7．如图，已知点B在以为直径的上， 过 O作 交于 D，连接，，，与交于点．若，，则的长是（    ） A． B． C．3 D． 8．如图，在中，，于点，于，，相交于点，，的延长线相交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 9．在中，，垂足为点D，当时， ． 10．若以点为顶点的三角形与相似，且，则 ． 11．如图，已知，，，的平分线交于点D，则的长是 ． 12．如图，在梯形中，，已知的面积为4，的面积为9，则梯形的面积为 ． 13．如图，已知，若，，则 . 14．如图，在中，正方形的一边在边上，点G、F分别在边上，是边上的高，与相交于点O，已知，则正方形的边长是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰的直角边和斜边交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接，，若，则的面积为 ． 16．如图，正方形的边长为6，对角线相交于点，点分别在边上，且，连接交于，若，则 ． 三、解答题 17．如图，四边形是平行四边形． (1)请尺规作图，在的延长线上取一点E，使（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)若，，求的长． 18．如图，D是的边上一点，连接，若， (1)求证： (2)若，，求的长． 19．如图，在中，，的平分线交于点，，交于点， (1)求证：； (2)若，求线段长． 20．如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交于点M、N，过点M作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 21．如图，在中，，，，动点从点沿以每秒个单位长度的速度向点运动，交于点，交于点，设运动时间为()并且． (1)求证：； (2)求为何值时，四边形为菱形； (3)连接，若以、、为顶点的三角形与相似，求的值． 22．【数学模型】（1）如图1，在矩形中，，，点、分别在边、上，，垂足为点，则　　　． 【模型探究】（2）如图2，在平行四边形中，点、分别在边、上，与交于点，且，请证明：； 【拓展应用】（3）如图3，白云小区有一块四边形绿地，为了居民出行方便计划在四边形中修两条小路，在边上取一点，连接与交于点，、即为规划的两条小路，其中，，，且，求两条小路长度的比，即求的值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D D A C A C 1．解：∵， ， ， ， ， ∴，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确； 故选：B． 2．解：，， ，，四边形是平行四边形， ， ，， ，故A成立，符合题意； 不一定等于，故B不一定成立，不符合题意； 不一定等于1，故C不一定成立，不符合题意； 不一定等于，故D不一定成立，不符合题意， 故选：A． 3．解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 4．解：， ，故A错误； 与的面积比为，故B和C错误； ， ， 又∵ ， ，与的面积比为，故B和C错误，D正确， 故选：D． 5．解：根据题意得：设当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是秒， ①若，则， 即， 解得：； ②若，则， 即， 解得：； 综上所述：当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒， 故选：A 6．解：∵矩形中，，，点E为的中点， ∴，，，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 7．解：为的中点， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 为的直径， ， ， ∴ ， ， ， 故选：A． 8．解：， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 即，故①正确； ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，故②正确； 在和中， ， ， ，， ， ，故③正确； ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故④正确； ∵，， ∴， ∴，则， 若，，则，即， 整理得，即， ∴， ∴， ∴，即：， 结合题意可知，不一定等于，故⑤不正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：C． 9．解：如图， ， ，， ， ， ∴，即， ， ， ， 利用勾股定理可得, 故答案为：． 10．解：当时，如图所示： ∴； 当时，如图所示： ； 综上分析可知：的值为2或． 故答案为：2或． 11．解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，即， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 12．解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵和是分别以、为底，且高相等， ∴， 同理：， ∴，， ∴梯形的面积． 故答案为：25． 13．解：由， 可得，， 故，， 故， 即， 解得 故答案为： 14．解：设正方形的边长为x， 四边形是正方形， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 15．解：如图，连接，作轴于， ， ∵为等腰直角三角形，， ∴点为的中点， ∴， ∵点、是反比例函数上的点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．解：如图，过点作于点， 四边形为边长为6的正方形， ，，， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：10． 17．（1）解：如图，点即为所作： （2）解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（1）证明： ，， ； （2） ， ， ，， （负值舍去）． 19．（1）证明：是的角平分线， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， ， ， ， ． 20．（1）解：连接，    ∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴，又是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是斜边上的中线． ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 21．（1）证明：∵，， ∴，， ∴； （2）在中，，，， ∴， 依题意，，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 即时，四边形为菱形． （3）∵， ∴． ∴，又， ∴，则，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴当，，则， ∴， 解得： 当，， 即 解得： 综上所述，或． 22．解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ，， ， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，过点C作交延长线于N，过点D作交延长线于M，则四边形是平行四边形， ∴，，， 同（2）可得， 在上取一点P使得，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$