26.1.2.2 反比例函数的图象和性质（二）课件 2023—2024学年人教版数学九年级下册

第二十六章 反比例函数 26.1.2 反比例函数的图象和性质 第2课时 反比例函数的图象和性质（二） 1/20 长岐中学 詹春燕 学习目标 1. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点) 2. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. (难点) 2/20 长岐中学 詹春燕 导入新课 问题1 反比例函数的图象是什么？ 问题2 反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 反比例函数的图象是双曲线 当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 复习引入 3/20 长岐中学 詹春燕 反比例函数图象和性质的综合 一 (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ O x y 例1 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m－5＞0，解得m＞5. 4/20 讲授新课（第7~8页） 长岐中学 詹春燕 (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？ 解：因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1＞x2时，y1＜y2. 5/20 O x y 长岐中学 詹春燕 练一练 6/20 1．已知点A（－1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是函数 y＝ 图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）　　　　　　　　　　 A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C． y3＜y2＜y1 D．无法确定 1 x 2. 已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数 y＝－ 的图象上，并且y1＜y2＜0＜y3，则下列各式正确的是（　　）　　　　 A．x2＜x1＜x3 B．x1＜x2＜x3 C． x3＜x1＜x2 D．x2＜x3＜x1 2 x C B 长岐中学 詹春燕 7/20 3.已知反比例函数y＝－ .当－3＜x＜－2时，y的取值范围是（　　） A．0＜y＜1 B．1＜y＜2 C． 2＜y＜3 D．－3＜y＜－2 6 x 4. 已知反比例函数y＝ .当y＜3时，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜0 C．0＜x＜2 D．x＜0或x＞2 6 x C D 长岐中学 詹春燕 反比例函数解析式中 k 的几何意义 二 1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格： 合作探究 8/20 长岐中学 詹春燕 5 1 2 3 4 －1 5 x y O P S1 S2 P (2，2) Q (4，1) S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=k －5 －4 －3 －2 1 4 3 2 －3 －2 －4 －5 －1 Q 9/20 长岐中学 詹春燕 S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与 k 的关系 P (－1，4) Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格： 4 4 S1=S2 S1=S2=－k y x O P Q S1 S2 10/20 长岐中学 詹春燕 由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|. 11/20 长岐中学 詹春燕 y x O P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b) A B ∵点 P (a，b) 在函数 的图 象上， ∴ ，即 ab=k. ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k； 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP=PB·PA =a· (－b)=－ab=－k. B P A 综上，S矩形 AOBP=|k|. 自己尝试证明 k > 0的情况. 12/20 长岐中学 詹春燕 点 Q 是其图象上的任意一 点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ= . 推理：△QAO与△QBO的 面积和 k 的关系是： S△QAO=S△QBO= . Q 对于反比例函数 ， A B |k| y x O 归纳： 反比例函数的面积不变性 13/20 长岐中学 詹春燕 例2 如图所示，点A在反比例函数 的图象上，AC 垂直 x 轴于点 C，且 △AOC 的面积为 2，求该反比例 函数的表达式． 解：设点 A 的坐标为(xA，yA)， ∵点 A 在反比例函数 的图象上，∴ xA·yA＝k， ∴ S△AOC＝ ·k＝2， ∴ k＝4， ∴反比例函数的表达式为 14/20 长岐中学 詹春燕 y D B A C x 例3 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图象上 任意一点，AB//x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中 点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =___. 3 2 5 方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形. 15/20 长岐中学 詹春燕 16/20 练一练 1．如图，点P在反比例函数y＝－ 的图象上，过点P分别向x轴、y轴引垂线，垂足分别为A，B，则矩形PAOB的面积为　　． 5 x 5 2.如图，已知A为反比例函数y＝ （x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B. 若△OAB的面积为1，则k的值为（　　） A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 k x B 长岐中学 詹春燕 A. SA >SB>SC B. SA<SB<SC C. SA =SB=SC D. SA<SC<SB y x O A B C C 3、如图，在函数 (x＞0)的图像上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则( ) 17/20 长岐中学 詹春燕 －12 提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k＜0. y x O P A 4. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = . 5. 若点 P 是反比例函数图象上的一点， 过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足 分别为点 M，N，若四边形PMON 的面 积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 或 18/20 长岐中学 詹春燕 19/20 课堂小结 1．反比例函数y＝ （k≠0）的性质： （1）当k>0时，双曲线的两支分别位于第　　　 象限， 在每一象限内，y随x的增大而　　　； （2）当k<0时，双曲线的两支分别位于第　　　　 象限， 在每一象限内，y随x的增大而　　　. k x 2．双曲线y＝ 中的k的几何意义： 从双曲线上任意一点P（x，y）引x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴所围成的矩形面积＝ |x| · |y| ＝ |xy| ＝______.　　　　　 k x 一、三 减小 二、四 增大 | k | 长岐中学 詹春燕 20/20 课后作业 长岐中学 詹春燕 $$