黄金卷03（广东专用）-【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（广东专用） 黄金卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合,，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设数列，均为公比不等于1的等比数列，前n项和分别为，若，则＝（    ） A． B．1 C． D．2 4．现有印有数字0，1，2，6，12，20，22，26的卡片，每种卡片均相同且有若干张.若从中任选几张卡片并摆成一排，则数字20220126的摆放方式共有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 5．已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足（    ） A． B． 8．若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设A，B为随机事件，且，是A，B发生的概率．，则下列说法正确的是（    ） A．若A，B互斥，则 B．若，则A，B相互独立 C．若A，B互斥，则A，B相互独立 D．与相等 10．已知，是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点的距离为，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则直线恒过定点 C．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 D．若，则直线的斜率为 11．如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则（   ） A．当为的中点时，异面直线与所成角为 B．当平面时，点的轨迹长度为 C．当时，点到的距离可能为 D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入内 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列的公差，且、、成等比数列，则的值是 ． 13．设点，若动点满足，且，则的最大值为 ． 14．设满足方程的点，的运动轨迹分别为曲线、，若在区间内，曲线、有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）设为数列的前项和，已知，且为等差数列． (1)求证：数列为等差数列； (2)若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）． 16．（15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 17．（15分）某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏检率时，求临界值和错检率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 18．（17分）如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点是圆上异于点，的任意一点. (1)若点到平面的距离为，证明：. (2)求与平面所成角的正弦值的取值范围. 19．（17分）已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质： ①； ②对任意，存在，使得，则称为数表． (1)判断是否为数表，并求的值； (2)若数表满足，求中各数之和的最小值； (3)证明：对任意数表，存在，使得． 试卷第2页，共22页 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（广东专用） 黄金卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合,，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求解两个集合，再根据补集和并集的定义，即可求解. 【详解】，得，所以， 函数中，，即，所以， ，所以. 故选：B 2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解. 【详解】令，由，得， 点在以为圆心，1为半径的圆上，位于第四象限， 故选：D 3．设数列，均为公比不等于1的等比数列，前n项和分别为，若，则＝（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定等式，可得，再求出数列，的公比即可计算作答. 【详解】由得，，设{}的公比为，{}的公比为， 当时，，即， 当时，，即， 联立两式解得，此时，， 则，，所以. 故选：C 4．现有印有数字0，1，2，6，12，20，22，26的卡片，每种卡片均相同且有若干张.若从中任选几张卡片并摆成一排，则数字20220126的摆放方式共有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 【答案】C 【分析】先求摆放20的方式，再求摆放220的方式，最后求摆放126的方式，根据分步计数原理即可求解. 【详解】依题意， 摆放20的方式有：2，0或20两种方式； 摆放220的方式有：2，2，0或22，0或2，20三种方式； 摆放126的方式有：1，2，6或12，6或1，26三种方式； 由分步计数原理知，数字20220126的摆放方式共有：种方式. 故选：C. 5．已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合对数函数单调性比较，与，的大小，然后结合对数运算性质及基本不等式比较，的大小，即可求解． 【详解】由题意得，， 因为，即， ，即， 因为，所以， 故． 故选：C． 7．某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，结合放缩即可得解. 【详解】， 由，故， ， 由， 故，即有. 故选：D. 8．若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原不等式转化为对一切恒成立，设，则后者可转化为恒成立即为函数的极大值，故可求参数的范围或取值，故可得正确的选项，或者将原不等式转化为，根据左右两侧对应的函数的图象位置关系可求参数的范围. 【详解】法一：不等式对一切恒成立即为 不等式对一切恒成立， 今，则有； 故不等式对一切恒成立等价于恒成立， 所以为的最大值点. 显然，，否则时，，与题设矛盾. 又，此时 若，存在区间，是否且，总有， 这与为的最大值点矛盾，故不成立， 同理也不成立，故，则， 当时，当时，，当时，， 故在上递增，上递减，符合题意； 当时，当时，， 当时，， 故在上递减，上递增，上递减， 而当时，， 故即，故恒成立，故符合题意. 综上，，因此. 法二：不等式可化为， 令， 当时，，此时，直线恒过点， 故只需直线为在点处的切线即可， ，此时. 当时，亦恒过点， 为使对一切恒成立， 需开口向下，且在点处与有公切线即可， 故，此时. 综上，的取值范围是. 故选：A. 【点睛】思路点睛：多变量不等式恒成立问题，可将原不等式作适当变形，从而将恒成立问题转化为图象的位置关系，或者根据不等式的特征将不等式恒成立问题转化为函数的极值问题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设A，B为随机事件，且，是A，B发生的概率．，则下列说法正确的是（    ） A．若A，B互斥，则 B．若，则A，B相互独立 C．若A，B互斥，则A，B相互独立 D．与相等 【答案】ABD 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；由相互独立事件的概念可判断B选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C选项；由条件概率公式化简，可判断D选项. 【详解】对于A：若A，B互斥，根据互斥事件的概率公式，则，故A正确； 对于B：由相互独立事件的概念知，若，则事件A，B是相互独立事件，故B正确； 对于C：若A，B互斥，则A，B不一定相互独立， 例：抛掷一枚硬币的试验中，事件“正面朝上”，事件“反面朝上”， 事件与事件互斥，但，， 所以不满足相互独立事件的定义，故C错误； 对于D：， ， 所以与相等，故D正确. 故选：ABD. 10．已知，是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点的距离为，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则直线恒过定点 C．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 D．若，则直线的斜率为 【答案】AD 【分析】根据抛物线定义可对A项判断；设出直线方程，然后与抛物线联立，利用韦达定理可对B、C项判断.利用数型结合及，即可求解判断D项. 【详解】对于A：根据抛物线的定义知，得，故A选项正确； 对于B：设，，因为直线斜率必存在， 设直线的方程为，代入得，， 所以，，所以， 解得，所以直线恒过定点，故B选项错误； 对于C：的外接圆与抛物线的准线相切，，， 因为外接圆的圆心为各边垂直平分线的交点， 从而可得外接圆圆心的纵坐标为，又与抛物线准线相切， 所以得外接圆半径为，故C选项错误；    对于D：因为，所以直线过焦点，且， 设直线的倾斜角为，由抛物线性质知的斜率为互为相反数的两个值， 如图，过，分别向准线作垂线，，过向作垂线， 设，则，，，， ，，， 根据对称性可得，故D选项正确. 故选：AD. 11．如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则（   ） A．当为的中点时，异面直线与所成角为 B．当平面时，点的轨迹长度为 C．当时，点到的距离可能为 D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入内 【答案】ACD 【分析】对于AC：建立空间直角坐标系计算求解；对于B：过作面的平行平面，进而可得点的轨迹；对于D：由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥内接最大圆柱的体积，表示出体积，然后利用导数求其最值即可. 【详解】对于A，因为为正方形，如图，连接与，相交于点，连接， 则两两垂直，故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 为的中点，则， 当为的中点时，， 设异面直线与所成角为， 则，故，故正确； 对于B，如图，设为的中点，为的中点， 则，平面，平面， 则平面，又平面，又，设， 故平面平面，平面平面，平面平面， 则，则为的中点，点在四边形内（包含边界）运动，则， 点的轨迹是过点与平行的线段，长度为4，故B错误； 对于C，当时，设， ，得，即， 即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如下图）， 到的距离为3，弧上的点到的距离最小值为， 因为，所以存在点到的距离为，故C正确； 对于D，如图，由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥内接最大圆柱的体积， 设圆柱底面半径为，高为，为的中点，为的中点，， 根据，得，即， 则圆柱体积， 设，求导得， 令得，或，因为，所以舍去，即， 所以当时，，当时，， 即当时，， 则， 所以， 故存在一个体积为的圆柱体可整体放入内，故D正确． 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列的公差，且、、成等比数列，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据、、成等比数列得出与的等量关系，代入可求得的值. 【详解】等差数列的公差，且、、成等比数列，， 即，解得，， 因此，. 故答案为：. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，同时也考查了等比中项性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 13．设点，若动点满足，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，根据向量的坐标表示和模的概念可得，由题意和相等向量可得，进而，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】设，则， 由，得， 整理，得， 又， 代入， 有，所以， 由，得，当且仅当时等号成立， 所以，得， 所以. 即的最大值为. 故答案为： 14．设满足方程的点，的运动轨迹分别为曲线、，若在区间内，曲线、有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，曲线：，曲线：，在区间内，曲线、有两个交点，即方程在上有两解，即直线与，的图像有两个交点，令，，求导可知的单调性，进而得到的最值，从而求出的最大值． 【详解】因为， 所以， 依题意，曲线：，曲线：，在区间内，曲线、有两个交点， 即方程，也就是在上有两解， 即直线与，的图像有两个交点， 令， ， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，，， 且， 所以， 因为直线与，的图像有两个交点， 所以的最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．设为数列的前项和，已知，且为等差数列． (1)求证：数列为等差数列； (2)若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意可得、，解得，结合求得，即可证明； （2）由（1）可得，根据累乘法可得，结合裂项相消求和法计算即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，即，① 因为，所以由，得．② 由①、②解得，所以，即， 当时，， 当时，，上式也成立，所以， 所以数列是等差数列． （2）由（1）可知， 当时，， 因为满足上式，所以． ， 因为当时，，所以． 16．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出的范围. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，，由，得，由，得， 则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意； 当时，由，得或， ①若，即，由，得或，由，得， 则函数在上递增，在上递减， 因此函数的极大值为，极小值为，符合题意； ②若，即，由，得或，由，得， 则函数在上递增，在上递减， 因此函数的极大值为，极小值为，符合题意； ③若，即，由在上恒成立，得在上递增， 函数无极值，不合题意， 所以的取值范围为. 17．某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏检率时，求临界值和错检率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 【分析】（1）根据题意结合频率分布直方图求得，进而可求容错率； （2）分、两种情况，根据题意求，即可得的解析式，并根据解析式求最值. 【详解】（1）由题意可知：第一个图中第一个矩形面积为，可知， 可得，解得， 所以错检率. （2）当时，则， ， 可得； 当时，则， ， 可得； 所以， 当且仅当时，取到最小值. 18．如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点是圆上异于点，的任意一点. (1)若点到平面的距离为，证明：. (2)求与平面所成角的正弦值的取值范围. 【分析】（1）作于，利用线面垂直的判定及点到平面距离求出即可推理得解. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法列出函数式，再借助函数值域求解即得. 【详解】（1）如图，连接，过点作，垂足为， 由是圆的直径，得，由是圆柱侧面的母线，得平面， 而平面，则，又平面，因此平面， 而平面，则，又平面， 于是平面，则点到平面的距离为，即， 设，有，由，得，解得， 又，则，而是的中点， 所以. （2）在平面内，过点作交圆于点，连接， 由平面，得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设点，而点在圆上，有，且， 于是， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设与平面所成角为， 则， 显然，且，则， 于是，， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围是. 19．已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质： ①； ②对任意，存在，使得，则称为数表． (1)判断是否为数表，并求的值； (2)若数表满足，求中各数之和的最小值； (3)证明：对任意数表，存在，使得． 【分析】（1）根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可； （2）根据条件讨论的值，根据，得到相关的值， 进行最小值求和即可； （3）当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接，则该行有条有向线段，得到横向有向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明. 【详解】（1）是数表， （2）由题可知. 当时，有， 所以. 当时，有， 所以. 所以 所以 或者， 或者， 或，或， 故各数之和， 当时， 各数之和取得最小值. （3）由于数表中共个数字，必然存在，使得数表中的个数满足 设第行中的个数为当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接， 则该行有条有向线段， 所以横向有向线段的起点总数 设第列中的个数为. 当时，将纵向相邻两个用从上到下的有向线段连接， 则该列有条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数 所以, 因为,所以.所以必存在某个既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的起点，即存在 使得， 所以， 则命题得证. 试卷第2页，共22页 12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（广东专用） 黄金卷03·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C C D C D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AD ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，即，① 因为，所以由，得．② 由①、②解得，所以，即，（3分） 当时，， 当时，，上式也成立，所以， 所以数列是等差数列．（6分） （2）由（1）可知， 当时，，（10分） 因为满足上式，所以． ， 因为当时，，所以．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）当时，函数， 求导得，（2分） 则， 而， 所以曲线在点处的切线方程为， 即.（6分） （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，，由，得，由，得， 则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意； 当时，由，得或，（10分） ①若，即，由，得或，由，得， 则函数在上递增，在上递减， 因此函数的极大值为，极小值为，符合题意； ②若，即，由，得或，由，得， 则函数在上递增，在上递减， 因此函数的极大值为，极小值为，符合题意； ③若，即，由在上恒成立，得在上递增， 函数无极值，不合题意， 所以的取值范围为.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由题意可知：第一个图中第一个矩形面积为，可知， 可得，解得， 所以错检率.（6分） （2）当时，则， ， 可得；（10分） 当时，则， ， 可得； 所以， 当且仅当时，取到最小值.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）如图，连接，过点作，垂足为， 由是圆的直径，得， 由是圆柱侧面的母线，得平面， 而平面，则，（2分） 又平面，因此平面， 而平面，则， 又平面， 于是平面，则点到平面的距离为，即， 设，有，由， 得，解得，（6分） 又，则，而是的中点， 所以.（8分） （2）在平面内，过点作交圆于点，连接， 由平面，得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设点，而点在圆上，有，且， 于是， 设平面的法向量为， 则，取，得，（12分） 设与平面所成角为， 则， 显然，且， 则， 于是，， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围是.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）是数表， （3分） （2）由题可知. 当时，有， 所以. 当时，有， 所以. 所以 所以 或者， 或者， 或，或， 故各数之和， 当时， 各数之和取得最小值.（10分） （3）由于数表中共个数字，必然存在，使得数表中的个数满足 设第行中的个数为当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接， 则该行有条有向线段， 所以横向有向线段的起点总数 设第列中的个数为. 当时，将纵向相邻两个用从上到下的有向线段连接， 则该列有条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数 所以, 因为,所以.所以必存在某个既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的起点，即存在 使得， 所以， 则命题得证. （17分） 试卷第2页，共22页 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$