江苏省无锡市宜兴市2023-2024学年下学期九年级数学中考模拟卷（四）

2023-2024学年九年级数学中考模拟卷（四） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．4的算术平方根是（    ） A． B．2 C．4 D． 2．函数中，自变量可取的值是（    ） A．5 B． C．0 D．1 3．二元一次方程的一个解是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．将函数的图像向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 6．某学校图书馆2021年图书借阅总量是5000本，2023年图书借阅总量是7200本，设该图书馆的图书借阅总量的年平均增长率为x，则下列方程中，正确的是(   ) A． B． C． D． 7．如图，将绕点逆时针旋转角（）得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数是（　　） A． B． C． D． 第7题 第9题 第10题 8．下列四个命题中，正确的是（   ） （1）各角相等的圆内接五边形是正五边形；（2）各边相等的圆内接五边形是正五边形； （3）各角相等的圆内接六边形是正六边形；（4）各边相等的圆内接六边形是正六边形． A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4） 9．如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 10．如图，圆O的直径，是弦，，弧CEB和弧EBD相等，，的延长线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，连接．下列结论中正确的个数是（    ） ①；②是圆O的切线；③B，E两点间的距离是；④． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．分解因式：________. 12．杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学计数法表示为________. 13．分式方程的解是________. 14．已知一个直棱柱共有15条棱，它的底面边长都是，侧棱长都是，则这个棱柱的所有侧面的面积之和是________． 15．写出一个y关于x的函数，满足当时，：________. 16．《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔn，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点和点到门槛的距离为1尺（1尺寸），双门间的缝隙为2寸，则门宽的长是________寸. 17．已知中，，，．点在上，，点从点出发，沿的边上运动，最后回到点，在运动的过程中，若满足的点恰好有3个（点，重合不包括在内），则的取值范围为________. 18．在中，，点D是AC的中点，将沿BD折叠得到，点E在外，连接AE.若于点F，BC=10，则AF的长为________.    三．解答题（共10小题，共96分 ） 19．（本题满分8分） （1）计算： (2) 化简： 20．（本题满分8分） （1）解方程：； （2）解不等式组： 21．（本题满分10分）如图，正方形的边长为1，点F在边上，延长到点E，使得，连接．   (1)求证：； (2)若延长与恰好相交于中点G，求的长． 22．（本题满分10分）如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．    现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率： (1)第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为__________； (2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率． 23．（本题满分10分）香醋中有一种物质，其含量不同，风味就不同，各风味香醋中该种物质含量如下表． 风味 偏甜 适中 偏酸 含量/ 71.2 89.8 110.9 某超市销售不同包装（塑料瓶装和玻璃瓶装）的以上三种风味的香醋，小明将该超市月份售出的香醋数量绘制成如下条形统计图．    已知月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占． (1)求出a，b的值． (2)售出的玻璃瓶装香醋中该种物质的含量的众数为______，中位数为______． (3)根据小明绘制的条形统计图，你能获得哪些信息？（写出一条即可） 24．（本题满分10分）如图，已知，点D，E分别在上，且满足，．    (1)用直尺和圆规确定点D，E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接与交于点F．若则的长为___________． 25．（本题满分10分）如图，点O是的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，． (1)连接AF，求证：AF是的切线； (2)若，，求FD的长． 26．（本题满分10分）某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数表达式： (2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】 27．（本题满分10分）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【动手实践】 （1）如图（1），已知正方形纸片，数学小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠使与重合，折痕为，易知点E、M、F共线，则_____°，三条线段的关系为______________； 【拓展应用】 （2）解决下面问题： ①如图（2）作于点N，交于点P，求证：； ②如图（3），数学小组在图（1）的基础上进行如下操作：将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N，他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，若点N恰好落在边上，，请直接写出此时的长度． 28．（本题满分10分）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； (3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标． 试卷第8页，共8页 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2023-2024学年九年级数学中考模拟卷（四）参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个非负实数a、b，若满足，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解；4的算术平方根是2， 故选；B． 2．A 【分析】本题考查了函数自变量取值范围，解题关键是掌握二次根式被开方数是非负数； 根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：函数中， 自变量的取值范围是：，即； 故选：A． 3．A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．正确利用二元一次方程的解的意义是解题的关键．将四个选项分别代入原方程，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解． 【详解】解：∵将代入原方程，左边右边， ∴A选项符合题意； ∵将代入原方程，左边右边， ∴B选项不符合题意； 将代入原方程，左边右边， ∴C选项不符合题意； ∵将代入原方程，左边右边， ∴D选项不符合题意． 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂乘法运算以及完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．根据积的乘方运算法则、合并同类项法则、同底数幂乘法运算法则以及完全平方公式逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，故运算不正确，不符合题意； B. ，故运算不正确，不符合题意； C. ，运算正确，符合题意； D. ，故运算不正确，不符合题意． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移规律“左加右减，上加下减”进行解答即可． 【详解】解：将函数的图像向上平移5个单位长度，得到的函数解析式为， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据2023年图书借阅总量2021年图书借阅总量列出方程即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，由，，则有，再根据旋转的性质即可求解，解题的关键是熟练掌握旋转的性质及其应用． 【详解】根据题意，，， ∴， 由旋转的性质，则，， ∴， ∴， ∴旋转角的度数是， 故选：． 8．B 【分析】本题考查多边形与圆的关系，熟记正多边形的概念及正多边形与圆的关系是解题的关键； 根据正多边形的性质及正多边形与圆的关系逐项判断即可． 【详解】（1）各角相等的圆内接五边形是正五边形，因为圆内接五边形的角度都是相等的，所以是正五边形，故符合题意； （2）各边相等的圆内接五边形是正五边形，因为圆内接五边形的边长都相等，所以是正五边形，故符合题意； （3）各角相等的圆内接六边形，因为圆内接六边形的角度相等，但各边不一定相等，所以不一定是正六边形，故不符合题意； （4）各边相等的圆内接六边形是正六边形，因为圆内接六边形的边长都是相等的，所以是正六边形，故符合题意． 综上所述命题正确的有（1）（2）（4）， 故选：B 9．C 【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得，，通过证明四边形是平行四边形，可得，则，作点C关于直线的对称点M，则，点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 点M，N分别是的中点， ，，，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 如图，作点C关于直线的对称点M，连接，，    则， 当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为， 在中，，， ， 的最小值， 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想． 10．B 【分析】连接、、，过点作交延长线于，于．①根据已知、垂径定理和圆内接四边形证，，即可得到；②根据已知、垂径定理、中垂线定理证，推出，不垂直，即可判断不是的切线；③证，结合、，计算出、、，最后根据勾股定理计算即可；④先计算出，推理出，设，用含的代数式表示和，代入求解即可． 【详解】如图，连接、、，过点作交延长线于，于    的直径，， ，， ，， 是弦，，， （垂直于弦的直径平分弦所对的弧）， ，即， ， ， ， （圆内接四边形的一个外角等于它的内对角）， ， 故结论①正确 ， ， 又（同弧所对圆周角是圆心角的一半）， ， ， ，于， ， ， ， ， ， 故结论③正确 ，， ， ， 平分（垂直于弦的直径平分弦）， 是的中垂线， ， ， ， ， ，即， 是弦， 是锐角， 是钝角， 是钝角，， 不垂直，不是的切线， 故结论②不正确 ，， ，， ， ，， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故结论④不正确 综上，①和③这2个结论正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的性质综合，结合判断切线、勾股定理、三角函数解直角三角形知识点，熟练掌握、综合运用知识点推理证明和计算是解题的关键． 11． 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12． 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】∵， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．根据去分母、去括号、合并同类项即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．100 【分析】本题考查了几何体的表面积，根据棱柱侧面积的面积公式，代入数据即可得出结论． 【详解】一个直棱柱共有15条棱， 该直棱柱为五棱柱，侧面是5个相同的长方形，长方形的长，宽为， 所有侧面的面积之和为：． 故答案为：100． 15．y=x（答案不唯一） 【分析】根据函数的概念，列出满足条件的一次函数即可． 【详解】解：根据题意，函数y=x，当x＞0时，y＞0满足题意； 故答案为：y=x． 【点睛】此题考查函数的概念；函数概念的理解主要抓住以下三点：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应．掌握一次函数图象的特征是解题关键． 16．101 【解析】略 17． 【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的加减运算，确定Q的位置是解本题的关键；如图，当时，此时满足条件的Q有2个，即Q，B，求解的长度，如图，当于时，则此时满足条件的Q只有2个，连接，再求解此时的的长度，从而可得答案． 【详解】解：如图，当时，此时满足条件的Q有2个，即Q，B， ∵，，． ∴，， ∴，， 此时， 如图，当于时，则此时满足条件的Q只有2个，连接， 此时， ∵， ∴由勾股定理可得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴满足的点恰好有3个（点，重合不包括在内）， 则的取值范围为． 故答案为： 18． 【分析】取中点，连接，取中点，连接，作于点．设，由折叠可知则，得到，从而推导出，由三角形中位线定理得到，从而推导出，得到四边形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：取中点，连接，取中点，连接，作于点． ∵，为的中点， ∴，，． ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，则于点，    设，由折叠可知则， ∵， ∴，， 又由折叠得，， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴， ∵是的中位线， ∴，， ∴， 由折叠知，， 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在 中，， ∴， 解得：， ∴，，即，， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性质等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据负指数幂、特殊三角函数值及实数的运算可进行求解； （2）根据多项式乘以多项式及完全平方公式可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【点睛】本题主要考查负指数幂、特殊三角函数值、实数的运算、多项式乘以多项式及完全平方公式，熟练掌握各个运算是解题的关键． 20．(1)， (2) 【分析】（1）根据公式法进行求解方程即可； （2）根据一元一次不等式组的解法可进行求解． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解： 由①得：； 由②得：； ∴该不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程及一元一次不等式组的解法，熟练掌握各个解法是解题的关键． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）依据正方形的性质，即可得到，，再根据，即可得到； （2）连接AC，依据全等三角形的性质，即可得出；再根据G是CE中点，即可得到AG是CE的垂直平分线，即可得到；最后依据进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：连接AC，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握正方形四条边相等，四个角都是直角；全等三角形对角相等；等腰三角形三线合一． 22．(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意，画出树状图， 进而根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：共有张卡片， 第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为 故答案为：． （2）树状图如图所示：    由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A唐僧”的结果有7种． ∴(至少一张卡片图案为“A唐僧”）． 答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A唐僧”的概率为． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 23．(1) (2)110.9，89.8 (3)见解析 【分析】（1）根据月份共售出香醋的总量和“偏酸”的香醋占比，可求出a的值，进而求出b的值； （2）分别计算出玻璃瓶装香醋三种风味各自的数量，数量最多和数量居中的那种风味对应的含量即为答案； （3）根据条形统计图，任写一条合理的信息即可，答案不唯一． 【详解】（1）∵月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占比， ∴售出“偏酸”的香醋的数量为（瓶）． ∴，解得． ∵，即， 解得． 综上，． （2）售出的玻璃瓶装香醋的数量为（瓶）． 其中：风味偏甜的有20瓶，风味适中的有38瓶，风味偏酸的有42瓶， ∵售出的风味偏酸的数量最多，风味适中的数量居中， ∴售出的玻璃瓶装香醋中的该种物质的含量的众数为，中位数为， 故答案为：110.9，89.8． （3）根据小明绘制的条形统计图可知，人们更喜欢风味偏酸的香醋（答案不唯一，合理即可）． 【点睛】本题考查条形统计图、中位数和众数，理解和掌握这些概念并能够灵活地运用它们是本题的关键． 24．(1)见解析 (2) 【分析】（1）以点A为圆心，为半径，画弧交于点D，作线段的垂直平分线，交于点E； （2）过点A作于点H，由得到，由得到，则，由，则，再证，则，代入数值即可得到答案． 【详解】（1）如图，点D、E即为所求，    （2）解：过点A作于点H， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、基本作图、解直角三角形等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 25．(1)见解析 (2)FD的长为 【分析】（1）根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF＝∠OEF＝90°，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出AF，证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD＝OF﹣OD求出即可． 【详解】（1）证明：在△AOF和△EOF中， ， ∴△AOF≌△EOF（SAS）， ∴∠OAF=∠OEF， ∵BC与相切， ∴OE⊥FC， ∴∠OAF=∠OEF=90°， 即OA⊥AF， ∵OA是的半径， ∴AF是的切线； （2）解：在中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6， ∴， ∵BC与相切，AF是的切线 ∴∠OEC＝∠FAC＝∠90°， ∵∠OCE=∠FCA， ∴△OEC∽△FAC， ∴， 设的半径为r，则， 解得， 在Rt△FAO中，∠FAO=90°，AF=8，， ∴， ∴， 即FD的长为． 【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键． 26．(1) (2)销售价格为元时，利润最大为 【分析】（1）分时，当时，分别待定系数法求解析式即可求解； （2）设利润为，根据题意当时，得出，当时，， 进而根据分时，当时，分别求得最大值，即可求解． 【详解】（1）当时，设关于的函数表达式为，将点代入得， ∴ 解得： ∴， 当时，设关于的函数表达式为，将点代入得， 解得： ∴， （2）设利润为 当时， ∵在范围内，随着的增大而增大， 当时，取得最大值为； 当时， ∴当时，w取得最大值为 ， 当销售价格为元时，利润最大为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 27．（1），； （2）①见详解；②的长为或． 【分析】（1）根据折叠的性质可得，由此可得．由可得三点共线．又由可得． （2）①由，可得，于是可得，由“同角的余角相等”可得，最后根据角边角即可证明． ②分两种情况：当点N落在上时，当点N落在上时，分别利用三角函数解直角三角形即可求得的长． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ． 沿折叠后得，沿折叠后得， ， ， ， 即． ， ． 三点共线． ， ， ． 故答案为：，． （2）①∵， ． ， ， ． 中，， ． 中，， ， ． 在和中， ， ． ②如图，当点N落在上时，    ∵四边形是正方形， ． 由折叠的性质可得， ， ． ， ∴； 如图，当N落在上时，    ∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得， 又， ， ∴， ， ， ， 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、利用三角函数解直角三角形，综合性强，难度较大．熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键． 28．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点，代入解析式即可求解； （2）可求直线的解析式为，可得，，，①当时，可求，，即可求解；②当时，，，即可求解； （3）①当在对称轴的左侧时，得到是矩形，邻边之比为，即，即可求解；②当在对称轴的右侧时，同理可求． 【详解】（1）解：由题意得 解得， 故抛物线的表达式； （2）解：当时，， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 点D的横坐标是，过点D作直线轴， ，，， ①如图，当时，    ， ， ， 整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， ； ②如图，当时，    ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ； 综上所述：线段的长为或． （3）解：设点，， 当四边形是矩形时，则为直角， ①当在对称轴的左侧时， 如图，过作轴交轴于，交过作轴的平行线于，   ， ∵为直角， 则， ∵， ∴， ∴， ∵是矩形邻边之比为，即或， 即和的相似比为或， 即， 由题意得：，， ∴， 则， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）； ②当在对称轴的右侧时，    同理可得：， 解得：， 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合体，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，矩形的性质，三角形相似的性质等知识点，分类求解是解答本题的关键． 答案第2页，共25页 答案第1页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$