2023-2024学年江苏省无锡市宜兴市 中考数学模拟考试卷二

2023-2024学年九年级数学中考模拟考试卷（二） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分 ） 1．10的相反数是（　 　） A．﹣10 B．+10 C．﹣ D． 2.下列问题适合全面调查的是（　　 ） A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命 B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况 C．了解长江的水质情况 D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　 　） A B C D 4．下列计算正确的是（　 　） A．（a2）3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．a3•a4＝a12 D．a2﹣a＝a 5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（ ） A．50° B． 80° C．100° D．130° 6．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°， ∠BPC＝70°，则∠ADC是（　　 ） A．70° B．60° C．50° D．40° A B C D O （第5题） （第6 题 ） （第7 题 ） 7．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了6米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（ ） A． B． C． D． 8.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（　 　） A．π B．3π C．2π D．2π﹣ 9.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（　 　） A． B． C． D．4 10.如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E．设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若，则tan∠ACO的值为（　 　） A． B． C． D． （第8题） （第9 题 ） （第10 题 ） 二、填空题（本大题共有8小题，每空3分，共24分） 11.分解因式：xy2﹣4x＝　 　． 12．深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为 ． 13．已知一个圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是 cm2． 14．若关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 　 　． 15．如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝　 　． （第15题） （第16题 ） （第17题 ） （第18题 ） 16．如图，《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少 ？设门对角线的长为x尺，则可列方程为 ． 17.如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与过点（﹣1，0）的直线AB相交于A、B两点．已知点A的坐标为（1，3），点C为x轴上任意一点．如果S△ABC＝9，那么点C的坐标为 ．△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为 　 　． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分 ） 19．（本题共有2小题，每小题4分，共8分） （1）计算：（）﹣1﹣tan30°+（π﹣2023）0+|﹣2|； （2）化简：(a－b)2＋b(2a－b)． 20．（本题共有2小题，每小题4分，共8分） （1）解方程组； （2）解不等式组：． 21.（本题满分10分） 如图，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE， ∠ACB＝∠DCE，点D在线段AB上（与A，B不重合），连接BE． （1）证明：△ACD≌△BCE． （2）若BD＝2，BE＝5，求AB的长． 22．（本题满分10分）近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）所抽取的学生人数为 　 　； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数； （3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数． 23.（本题满分10分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 　 ； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明） 24.（本题满分10分）已知△ABC，∠B＝60°，＝． （1）如图1，若BC＝2，求AC的长； （2）如图2，试确定四边形ABCD，满足∠ADC＋∠B＝180°，且AD＝2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．） （图2） （图1） A B C A B C 25.（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G． （1）求证：AF＝DF． （2）若AF＝，sin∠ABD＝，求⊙O的半径． 26．（本题满分10分）某学校在开展“学习雷锋精神，争做时代标杆”的征文活动中，计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买3支钢笔和2本笔记本共52元，购买5支钢笔和4本笔记本共92元． （1）钢笔和笔记本的单价分别为多少元？ （2）经与文具店协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价出售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？ 27．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A（，0），B（0，1），D（2，1），矩形EFGH的顶点E（0，），，H（0，）． （1）填空：如图①，点C的坐标为 　 　，点G的坐标为 　 　； （2）将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E′FG′H′，点E，F，G，H的对应点分别为E′，F′，G′，H′，设EE′＝t，矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分的面积为S． ①如图②，当边E′F′与AB相交于点M、边G′H′与BC相交于点N，且矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 28．（本题满分10分）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值； （3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页（共7页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年九年级数学中考模拟考试（二）评分标准 一、选择题（本大题共10小题，满分30分，每小题3分） 1．A 2．D 3．A 4．A 5．D 6．D 7．D 8．B 9．A 10．A 二、填空题（本大题共8小题，满分24分，每小题3分） 11．x（y+2）（y﹣2） 12．3.2× 13．15π 14．4 15．3 16．x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2 17．（﹣5，0）或（3，0） 18． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19.（1）原式＝＝4； （2）原式 ＝a2 20.（1） ； （2）﹣3≤x＜1． 21.证明：（1）∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE， ……………………………（2分） 在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；………………（5分） （2）由（1）知：△ACD≌△BCE，∴AD＝BE＝6，…………………………………（7分） ∴AB＝AD+BD＝6+2＝8． ………………………………………………………………（10分） 22．所抽取的学生人数为：90÷45%＝200 ； （2）样本中“中度近视”的人数为：200×15%＝30（人）； “高度近视”的人数为：200﹣90﹣70﹣30＝10（人）； 扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为：360°×＝126°； （3）3000×＝1050（人）， 答：估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数约1050人． 23.（1）； （2）画树状图如下： 一共有在16个等可能的结果，其中第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1出现了3次，∴P（第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1）＝． 24.（1）； （4分） （2）作△ABC的外接圆； …………………………………………………………（7分） 以点C为圆心，BC为半径画弧，交△ABC的外接圆于点D (或过点C作AB的平行线交△ABC的外接圆于点D) ；…………………………………………（9分） 连接AD、CD． ………………………………………………………………（10分） 25.（1）证明：∵D是弧AC的中点， ∴， ∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径， ∴， ∴， ∴∠ADH＝∠CAD， ∴AF＝DF． （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB+∠B＝90°， ∵∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠B， ∴sin∠ADE＝， ∴tan∠ADE＝， 设AE＝x，则DE＝2x， ∵DF＝AF＝， ∴EF＝2x﹣， ∵AE2+EF2＝AF2， ∴x＝2， ∴AD＝＝2， ∴AB＝， ∴AB＝10， ∴⊙O的半径为5． 26．解：（1）设钢笔的单价是x元，笔记本的单价是y元， 由题意可得，， 解得， 答：钢笔的单价是12元，笔记本的单价是8元； （2）设这次奖励一等奖学生有a人，购买奖品的总金额为w元， 当30≤a≤50时，w＝[12﹣（a﹣30）×0.1]a+8（100﹣a）＝﹣0.1a2+7a+800＝﹣0.1（a﹣35）2+922.5， ∴当a＝50时，w取得最小值，此时w＝900； 当50≤a≤60时，此时钢笔单价为：12﹣（50﹣30）×0.1＝10（元）， w＝10a+8（100﹣a）＝2a+800， ∴当a＝50时，w取得最小值，此时w＝900； 由上可得，这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为900元． 27.（1）解：四边形EFGH是矩形，且E（0，）．F（﹣，）（0，）， ∴EF＝GH＝，EH＝FG＝1， ∴G（﹣，）； 连接AC，BD，交于一点H，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，且A（，0），B（0，1），D（2，1）， AB＝AD＝，AC⊥BD，CM＝AM＝OB＝1，BM﹣MD＝OA＝， ∴AC＝2， ∴C（，2）， 故答案为（，2），（﹣，）； （2）解：①∵点E（0，），点F（﹣，），点H（0，）， ∴矩形EFGH中，EF∥x轴，E'H'⊥x轴，EF＝，EH＝1， ∴矩形E'F'G'H'中，E'F'∥x轴，E'H'⊥x轴，E'F'＝，E'H'＝1， 由点A（，0），点B（0，1），得OA＝，OB＝1， 在Rt△ABO中，tan∠ABO＝，得∠ABO＝60°， 在Rt△BME中，由EM＝EB×tan60°，EB＝1﹣＝，得EM＝， ∴S△BME＝EB×EM＝，同理，得S△BNH＝， ∵EE'＝t，得S矩形EE'H'H＝EE'×EH＝t， 又S＝S矩形EE'H'H﹣S△BME﹣S△BNH， ∴S＝t﹣， 当EE'＝EM＝时，则矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分为△BE'H'， ∴t的取值范围是＜t≤， ②由①及题意可知当≤t时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分的面积S是增大的，当时，矩E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分的面积S是减小的， ∴当t＝时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分如图所示： 此时面积S最大，最大值为S＝1×＝； 当t＝时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分如图所示： 由（1）可知B、D之间的水平距离为2，则有点D到G'F'的距离为， 由①可知：∠D＝∠B＝60°， ∴矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分为等边三角形， ∴该等边三角形的边长为2×， ∴此时面积S最小，最小值为， 综上所述：当时，则． 28.解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0）， ， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4； （2）由（1）知y＝x2﹣5x+4，当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4），抛物线的对称轴为直线， ∵△PAC的周长等于PA+PC+AC，AC为定长， ∴当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小， ∵A，B关于抛物线的对称轴对称， ∴PA+PC＝PB+PC≥BC，当P，B，C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点， 设直线BC的解析式为：y＝mx+n， 则：， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 当 时，， ∴， ∵A（1，0），C（0，4）， ∴PA＝＝，PC＝＝， ∴； （2）存在， ∵D为OC的中点， ∴D（0，2）， ∴OD＝2， ∵B（4，0）， ∴OB＝4， 在Rt△BOD中，， ， ∴∠QDB＝∠OBD； ①当Q点在D点上方时：过点D作DQ∥OB，交抛物线于点Q，则：∠QDB＝∠OBD，此时Q点纵坐标为2， 设Q点横坐标为t，则：t2﹣5t+4＝2，解得：， ∴Q（，2）或（，2）； ②当点Q在D点下方时：设DQ与x轴交于点E， 则：DE＝BE， 设E（p，0），则：DE2＝OE2+OD2＝p2+4，BE2＝（4﹣p）2， ∴p2+4＝（4﹣p）2， 解得：， ∴， 设DE的解析式为：y＝kx+q， 则：， 解得：， ∴， 联立， 解得：或， ∴Q（3，﹣2）或； 综上所述， 或 或Q（3，﹣2）或． 第4页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$