17.2勾股定理的逆定理课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册

17.2勾股定理的逆定理 命题1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2． 这个命题的条件和结论分别是什么？ 条件：直角三角形的两直角边长为 a，b，斜边长为 c． 结论：a2＋b2＝c2． 如果将条件和结论反过来，这个命题还成立吗？ 思考 据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角． 这种方法对吗？ 3 4 5 三边分别为 3，4，5， 满足关系：32＋42＝52， 则该三角形是直角三角形． 画一画：下列各组数中的两数的平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm）． ① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10； ③ 4，7.5，8.5． 探究 量一量：用量角器量一量，它们是什么三角形？ 直角三角形 由前面几个例子，我们可以作出什么猜想？ 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 命题 1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2． 命题 2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 这两个命题有什么不同？ 题设 结论 题设 结论 命题 1 与命题 2 的题设、结论正好相反．我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题． 概念 说出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，内错角相等； （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3）全等三角形的对应角相等； （4）在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 解：（1）内错角相等，两直线平行，成立； （2）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，不成立； 10 解：（3）对应角相等的两个三角形全等，不成立； （4）角平分线上的点到角两边的距离相等，成立． 说出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，内错角相等； （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3）全等三角形的对应角相等； （4）在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立． 思考 命题 2 正确吗？如何证明呢？ △ABC 是直角三角形 ∠C 是直角 ？ a2＋b2＝c2 a2＋b2＝c2 画一个两条直角边分别为 a，b 的直角三角形，如果△ABC 与这个直角三角形全等，那么△ABC 就是直角三角形． 证明：画一个△A′B′C′，使∠C′＝90°， B′C′＝a，C′A′＝b． ∵∠C′＝90°，∴ A′B′2＝a2＋b2＝c2， ∴ A′B′＝c． 在△ABC 和△A′B′C′ 中， BC＝a＝B′C′，CA＝b＝C′A′，AB＝c＝A′B′． ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． ∴∠C＝∠C′＝90°． 即△ABC是直角三角形． 这样我们证明了命题 2 是正确的，它也是一个定理．我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理． 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形． 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理． 勾股定理是直角三角形的一个性质定理，而其逆定理是直角三角形的一个判定定理． 例1　判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1） a＝15，b＝8，c＝17； （2） a＝13，b＝14，c＝15． 分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 18 解：（1）∵　152＋82 ＝225＋64＝289，172 ＝289， ∴　152＋82 ＝172． ∴　以 15，8，17 为边长的三角形是直角三角形． 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 例1　判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1） a＝15，b＝8，c＝17； （2） a＝13，b＝14，c＝15． 解：（2）∵　132＋142 ＝169＋196＝365，152 ＝225， ∴　132＋142 ≠152． ∴　这个三角形不是直角三角形． 例1　判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1） a＝15，b＝8，c＝17； （2） a＝13，b＝14，c＝15． 例2　在△ABC 中，a∶b∶c＝9∶15∶12，试判断△ABC 是否是直角三角形． 解：依题意知 b 是最长边， 设 a＝9k，b＝15k，c＝12k(k＞0)， ∵　a2＋c2＝(9k)2＋(12k)2＝225k2，b2＝(15k)2＝225k2， ∴　a2＋c2＝b2，即△ABC 是直角三角形． 本题易错点：没有弄清楚哪条边是最长边的情况下就盲目地运用勾股定理的逆定理，从而导致错误． 通过前面的学习我们知道，勾股定理在实际生活中应用广泛，那么勾股定理的逆定理呢？ 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile．它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知 道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 分析： （1）求“海天”号的航向就是求______的度数． （2）已知∠1的角度，则求出_______的度数即可． （3）根据已知条件可求出三边，利用勾股定理的逆定理判断∠RPQ 是否为______． ∠2 ∠RPQ 直角 解：根据题意， PQ＝16×1.5＝24， PR＝12×1.5＝18，QR＝30． 因为 242＋182＝302，即 PQ2＋PR2＝QR2， 所以 ∠QPR＝90°． 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°．因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行． 在实际生活中常用勾股定理的逆定理判断方向和位置，解决问题的关键是利用勾股定理的逆定理找出其中的直角． 例3　A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？ 分析：根据图示的距离，可以判断出以 A，B，C 三地位置为顶点的三角形是直角三角形． A B C 解：因为 AB2＋BC2＝122＋52＝169， AC2＝132＝169， 所以 AB2＋BC2＝AC2， 所以△ABC为直角三角形，且∠B＝90°，由于 A 地在 B 地的正东方向，所以 C 地在 B 地的正北方向． 例3　A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？ A B C 例4　如图，小李决定挖一块长方形的菜地，在挖完后测量了一下发现 AB＝CD＝4 m，AD＝BC＝3 m，AC＝4.5 m，请你帮忙计算一下小李挖的菜地是否为长方形． A B C D 30 解：因为 AB＝CD＝4 m，AD＝BC＝3 m，AC＝4.5 m， 所以 AB2＋BC2＝25，AC2＝20.25． 因为 AB2＋BC2≠AC2， 所以 ∠ABC≠90°， 故小李挖的菜地不是长方形． A B C D 31 在实际生活中，也常用勾股定理的逆定理判断物体的形状是否是直角三角形，或者判断它的一个角或多个角是否是直角． 例5　小明向东走 80 m 后，沿另一方向又走了 60 m，再沿第三个方向走 100 m 回到原地．小明向东走 80 m 后是向哪个方向走的？ 分析：如图，因为小明最终回到原地，所以小明沿这三个方向所走的线段围成一个三角形． 北 南 东 西 O A 小明先向东走到 A 处，则 OA＝80 m．小明之后应该是向东西方向坐标以上或者以下行走的，所以应该分两种情况讨论． 解：情形一：小明从 O 走到 A，再走到 B1，最终由 B1 回到 O． 因为 OA＝80 m，AB1＝60 m，OB1＝100 m， 所以 OA2＋AB12＝802＋602＝1002＝OB12． 所以 △AOB1 是直角三角形，且∠OAB1＝90°． 北 南 东 西 O A B1 B2 因此，小明向东走了 80 m 后，又向北走了 60 m，再走 100 m 回到原地． 情形二：小明从 O 走到 A，再走到 B2，最终由 B2 回到 O． 同理，△AOB2 是直角三角形，且∠OAB2＝90°． 北 南 东 西 O A B1 B2 因此，小明向东走了 80 m 后，又向南走了 60 m，再走 100 m 回到原地． 综上所述，小明向东走了 80 m 后，又向南或向北走了 60 m，最后走 100 m 回到原地． 　　（1）当△ABC 三边分别为 6，8，9 时，△ABC 为_______三角形；当△ABC 三边分别为 6，8，11 时，△ABC 为_______三角形． 锐角 钝角 　　在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设 c 为最长边，当 a2＋b2＝c2 时，△ABC 是直角三角形；当 a2＋b2≠c2 时，利用代数式 a2＋b2 和 c2 的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）． 6 8 10 6 8 11 6 8 9 　　解：（1）直角三角形两直角边分别为 6，8 时， 斜边＝ ＝10， 　　∴△ABC 三边分别为 6，8，9 时，△ABC 为锐角三角形； 　　当△ABC 三边分别为 6，8，11 时，△ABC 为钝角三角形． 　　（2）猜想，当 a2＋b2 和 c2 满足什么关系时，△ABC 为锐角三角形；当 a2＋b2 和 c2 满足什么关系时，△ABC 为钝角三角形． 　　解：（2）当 a2＋b2＞c2 时，△ABC 为锐角三角形； 　　当 a2＋b2＜c2 时，△ABC 为钝角三角形． 　　在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设 c 为最长边，当 a2＋b2＝c2 时，△ABC 是直角三角形；当 a2＋b2≠c2 时，利用代数式 a2＋b2 和 c2 的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）． 　　在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设 c 为最长边，当 a2＋b2＝c2 时，△ABC 是直角三角形；当 a2＋b2≠c2 时，利用代数式 a2＋b2 和 c2 的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）． 　　（3）判断当 a＝2，b＝4 时△ABC 的形状，并求出对应的 c2 的取值范围． 　　解：（3）∵c为最长边，2＋4＝6， 　　∴4≤c＜6， ∴16≤c2＜36， 　　a2＋b2＝22＋42＝20， 　　①a2＋b2＞c2，即 c2＜20， 　　∴当16≤c2＜20 时，这个三角形是锐角三角形； 　　②a2＋b2＝c2，即 c2＝20， 　　∴当c2＝20 时，这个三角形是直角三角形； 　　③a2＋b2＜c2，即 c2＞20， 　　∴当20＜c2＜36 时，这个三角形是钝角三角形． 　　勾股定理与勾股定理的逆定理的条件和结论相反．勾股定理是直角三角形的性质，其逆定理是直角三角形的判定．勾股定理是根据直角三角形探求边长的关系，体现了由形到数的转化；勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化． A B C D M N 北 东 　　例6　一艘轮船从 A 港向南偏西 48°方向航行 100 km 到达 B 岛，再从 B 岛沿 BM 方向航行 125 km 到达 C 岛，A 港到航线 BM 的最短距离是 60 km． 　　（1）若轮船速度为 25 km/h，求轮船从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的时间； 　　分析：（1）在 Rt△ABD 中，利用勾股定理可求得 BD 的长度，则 CD＝BC－BD；然后在Rt△ACD 中，利用勾股定理可求得 AC 的长度，最后由“时间＝路程÷速度”求出所需的时间； 　　∴ （km）． 　　解：（1）由题意 AD＝60 km， 　　在 Rt△ABD 中，由 AD2＋BD2＝AB2 得 602＋BD2＝1002． 　　∴BD＝80（km）． 　　∴CD＝BC－BD＝125－80＝45（km）． 　　75÷25＝3（h）． 　　答：从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的时间为 3 h． A B C D M N 北 东 　　（2）C 岛在 A 港的什么方向？ 　　分析：（2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC＝90°，由方向角的定义作答即可． 　　解：（2）∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15 625， BC2＝1252＝15 625， 　　∴AB2＋AC2＝BC2， 　　∴∠BAC＝90°． 　　∴∠NAC＝180°－90°－48°＝42°． 　　∴C 岛在 A 港的北偏西 42°方向上．  A B C D M N 北 东 　　例7　拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路 AB 由点 A 向点 B 行驶，已知点 C 为一所学校，且点 C 与直线 AB 上两点 A，B 的距离分别为 150 m 和 200 m，AB＝250 m，拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域． 　　（1）学校 C 会受噪声影响吗？为什么？ 　　分析：（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，然后利用三角形面积得出 CD 的长，进而得出学校 C 是否会受噪声影响； A B C D 　　解：（1）学校 C 会受噪声影响． 　　理由：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于 D， 　　∵AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m， 　　∴AC2＋BC2＝AB2， 　　∴△ABC是直角三角形． 　　∴S△ABC＝ AC·BC＝ CD·AB， 　　∴150×200＝250·CD， 　　∴CD＝ ＝120（m）． 　　∵拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域， 　　∴学校 C 会受噪声影响． A B C D 　　（2）若拖拉机的行驶速度为 50 m/min，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 　　分析：（2）利用勾股定理得出 ED 以及 EF 的长，进而可得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间． A B C D E F 　　∴EF＝100（m）． 　　解：（2）如图，取 EC＝130 m，FC＝130 m，当拖拉机在 EF 上时学校会受噪声影响． 　　∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502， 　　∴ED＝50（m）， 　　∵拖拉机的行驶速度为 50 m/min， 　　∴100÷50＝2（min）， 　　即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有 2 min． A B C D E F 　　例8　如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10 ． 　　（1）求四边形 ABCD 的面积． 　　分析：（1）连接 AC，然后根据勾股定理可以求得 AC 的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD 的形状，从而可以求得四边形 ABCD 的面积； 　　解：（1）连接 AC， 　　∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， A B C D A B C D 　　∴ ． 　　∵CD＝10，AD＝10 ， 　　∴CD2＋AC2＝102＋102＝200，AD2＝ ＝200， 　　∴CD2＋AC2＝AD2， 　　∴△ACD是直角三角形， 　　∴四边形ABCD的面积是 ＝74， 　　即四边形ABCD的面积是 74． 　　（2）求对角线 BD 的长． 　　分析：（2）作 DE⊥BC，然后根据三角形全等和勾股定理，可以求得对角线 BD 的长． 　　解：（2）作 DE⊥BC 交 BC 的延长线于点 E，则∠DEC＝90°， 　　∵△ACD 是直角三角形，∠ACD＝90°， 　　∴∠DCE＋∠ACB＝90°． 　　∵∠ABC＝90°， 　　∴∠CAB＋∠ACB＝90°， 　　∴∠DCE＝∠CAB． A B C D E 　　∴AB＝CE，BC＝ED． 　　∴ ． 　　在△ABC 和△CED 中， 　　∴△ABC≌△CED（AAS）． 　　∵AB＝6，BC＝8， 　　∴CE＝6，ED＝8． 　　∴BE＝BC＋CE＝8＋6＝14． A B C D E 52 勾股定理及其 逆定理的综合应用 勾股定理的逆定理 勾股定理 $$