17.2勾股定理的逆定理（第1课时）课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册

勾股定理的逆定理 (第1课时) 命题1 如果直角三角形两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么 a2+b2=c2. 这个命题的条件和结论分别是什么? 条件:直角三角形的两直角边长为 a,b,斜边长为 c. 结论:a2+b2=c2. 如果将条件和结论反过来,这个命题还成立吗? 思考 据说,古埃及人曾用如图所示的方法画直角. 这种方法对吗? 3 4 5 三边分别为 3,4,5, 满足关系:32+42=52, 则该三角形是直角三角形. 画一画:下列各组数中的两数的平方和等于第三数的平方,分别以这些数为边长画出三角形(单位:cm). ① 2.5,6,6.5; ② 6,8,10; ③ 4,7.5,8.5. 探究 量一量:用量角器量一量,它们是什么三角形? 直角三角形 由前面几个例子,我们可以作出什么猜想? 如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 命题 1 如果直角三角形两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么 a2+b2=c2. 命题 2 如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 这两个命题有什么不同? 题设 结论 题设 结论 命题 1 与命题 2 的题设、结论正好相反.我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题. 概念 说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗? (1)两条直线平行,内错角相等; (2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等; (3)全等三角形的对应角相等; (4)在角的内部,到角两边距离相等的点在角的平分线上. 解:(1)内错角相等,两直线平行,成立; (2)如果两个实数的绝对值相等,那么这两个实数相等,不成立; 10 解:(3)对应角相等的两个三角形全等,不成立; (4)角平分线上的点到角两边的距离相等,成立. 说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗? (1)两条直线平行,内错角相等; (2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等; (3)全等三角形的对应角相等; (4)在角的内部,到角两边距离相等的点在角的平分线上. 一般地,原命题成立时,它的逆命题可能成立,也可能不成立. 思考 命题 2 正确吗?如何证明呢? ABC 是直角三角形 ∠C 是直角 ? a2+b2=c2 a2+b2=c2 画一个两条直角边分别为 a,b 的直角三角形,如果 ABC 与这个直角三角形全等,那么 ABC 就是直角三角形. 证明:画一个 A′B′C′,使∠C′=90 , B′C′=a,C′A′=b. ∵∠C′=90 ,∴ A′B′2=a2+b2=c2, ∴ A′B′=c. 在 ABC 和 A′B′C′ 中, BC=a=B′C′,CA=b=C′A′,AB=c=A′B′. ∴ ABC≌ A′B′C′(SSS). ∴∠C=∠C′=90 . 即 ABC是直角三角形. 这样我们证明了命题 2 是正确的,它也是一个定理.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理. 如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 作用:判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形. 一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理. 勾股定理是直角三角形的一个性质定理,而其逆定理是直角三角形的一个判定定理. 例1 判断由线段 a,b,c 组成的三角形是不是直角三角形: (1) a=15,b=8,c=17; (2) a=13,b=14,c=15. 分析:只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 18 解:(1)∵ 152+82 =225+64=289,172 =289, ∴ 152+82 =172. ∴ 以 15,8,17 为边长的三角形是直角三角形. 像 15,8,17 这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数. 例1 判断由线段 a,b,c 组成的三角形是不是直角三角形: (1) a=15,b=8,c=17; (2) a=13,b=14,c=15. 解:(2)∵ 132+142 =169+196=365,152 =225, ∴ 132+142 ≠152. ∴ 这个三角形不是直角三角形. 例1 判断由线段 a,b,c 组成的三角形是不是直角三角形: (1) a=15,b=8,c=17; (2) a=13,b=14,c=15. 例2 在 ABC 中,a∶b∶c=9∶15∶12,试判断 ABC 是否是直角三角形. 解:依题意知 b 是最长边, 设 a=9k,b=15k,c=12k(k>0), ∵ a2+c2=(9k)2+(12k)2=225k2,b2=(15k)2=225k2, ∴ a2+c2=b2,即 ABC 是直角三角形. 本题易错点:没有弄清楚哪条边是最长边的情况下就盲目地运用勾股定理的逆定理,从而导致错误. 勾股定理的逆定理 勾股数 互逆命题:原命题、逆命题 勾股定理的逆定理的证明 $$