精品解析：陕西省咸阳市永寿县上邑中学2024-—2025学年九年级上学期期中检测数学试题

2024~2025学年度第一学期期中教学检测 九年级数学试题（卷） 注意事项： 1．本试卷，满分120分，测评时间120分钟； 2．试卷如有答题纸，请在答题纸上作答；如无答题纸，请将第一部分答案填写在答题栏内，第二部分直接在试卷上作答； 3．答题前，请将装订线内的项目填写清楚．书写要工整、规范、美观． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列属于相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 3. 在“我的梦，中国梦”这六个字中任意选出一个字，选出的字为“梦”的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若正方形ABCD的面积是3，，那么EB的长为（ ） A. 1 B. C. D. 3 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点在上，且，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 10 7. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，点分别在边上，把矩形沿折叠，点的对应点分别为，连接并延长交边于点，则值为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知，则的值为________． 10. 已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 11. 如图，假设可以随意在两个完全相同的正方形拼成的图案中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是______． 12. 如图，在中，，，，点在边上，过点作交于点，作交于点，若，则的长为_________． 13. 如图，在菱形中，，，点，，分别是线段，，上的任意一点，连接、，则的最小值是________． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 如图，直线，直线和被、、所截，如果，，，求的长． 16. 如图，中，，点、、分别是、、的中点，若，求的长． 17. 如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 18. 已知关于的一元二次方程，其中是的三边长，若是该方程的一个根，试判断的形状，并说明理由． 19. 如图，在△中，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，求证：四边形是菱形． 20. 如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度． 21. 如图，在正方形中，是正方形内一点，且．求的度数． 22. 下表是某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 473 954 1906 4745 发芽频率 0.940 0.955 0.946 b 0.953 0.949 （1）上表中的__________，__________； （2）任取一粒这种植物种子，它能发芽的既率的估计值是__________（精确到0.01）； （3）若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 23. 如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A、B、C、D），每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关． （1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是　 ； （2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析． 24. 如图，在平行四边形中，点分别在上，且，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 25. 超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，该超市为了扩大销量，对该商品采取了降价措施，经过一段时间后，发现销售单价每降低1元．平均每天可多售出2件． （1）若降价6元，则平均每天销售量为________件； （2）为尽快减少库存，要使该超市每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？ 26. 问题提出 （1）如图①，在△中，，，点、分别在、边上，且，求证：； 问题探究 （2）如图②，在四边形中，点是边的中点，且，若， ，求线段的长； 问题解决 （3）如图③，在中，，，以为直角顶点作等腰直角三角形，点、分别在、边上，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中教学检测 九年级数学试题（卷） 注意事项： 1．本试卷，满分120分，测评时间120分钟； 2．试卷如有答题纸，请在答题纸上作答；如无答题纸，请将第一部分答案填写在答题栏内，第二部分直接在试卷上作答； 3．答题前，请将装订线内的项目填写清楚．书写要工整、规范、美观． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列属于相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的识别，掌握相似图形的概念是解题的关键；根据形状相同，大小不同的两个图形是相似图形逐项判断即可． 【详解】解：、形状不相同，不是相似图形，故本选项不符合题意； 、形状不相同，不是相似图形，故本选项不符合题意； 、形状不相同，不是相似图形，故本选项不符合题意； 、形状相同，大小不同，是相似图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等；利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 3. 在“我的梦，中国梦”这六个字中任意选出一个字，选出的字为“梦”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算．根据概率的计算公式直接计算即可求解． 【详解】解：在“我的梦，中国梦”这六个字中，“梦”字出现了2次， 则在“我的梦，中国梦”这六个字中任意选出一个字，选出的字为“梦”的概率为， 故选：． 4. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若正方形ABCD的面积是3，，那么EB的长为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正方形的性质得出∠B=90°，BC2=3，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理即可求出EB的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=90°， ∴EB 2=EC2-BC 2， 又∵正方形ABCD的面积=BC2=3，， ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟记①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程无实数根，是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 故选：A． 6. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点在上，且，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理．由四边形是菱形，推出，，，求出的长，由勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ，， ，， ， 在中 ， 在中 ． 故选：C． 7. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为1，，， A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； B、因为三边分别为：2，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似； C、因为三边分别为：1，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似， 故选：B． 8. 如图，在矩形中，，，点分别在边上，把矩形沿折叠，点的对应点分别为，连接并延长交边于点，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用以上知识证明；过点F作于点H，设与交于点O，由翻折变换可知，由矩形的性质可知，进而可证四边形是矩形，得到，再根据同角的余角相等得出，可证，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点F作于点H，设与交于点O，如图所示，则， 把矩形沿折叠，点的对应点分别为， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 故选：． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，对已知等式变形再代入分式约分求值是解题的关键；由已知可得，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 10. 已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】13 【解析】 【分析】此题主要考查由一元二次方程的根求代数式的值．首先将代入方程，得出，然后转换所求代数式即可得解． 【详解】解：由题意，得 ，即， ∴， 故答案为：13． 11. 如图，假设可以随意在两个完全相同的正方形拼成的图案中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先设一个小三角形的面积是x，可得整个阴影面积为，整个图形的面积是，再根据几何概率的求法即可得出答案． 【详解】解：设一个小三角形的面积是x， ∴整个阴影面积为，整个图形的面积是， ∴这个点取在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 12. 如图，在中，，，，点在边上，过点作交于点，作交于点，若，则的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，三角形的相似的判定与性质．先证明四边形是平行四边形，进而得出四边形是正方形；设正方形的边长为，利用，得到，得出比例式，列出方程即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 设这个正方形的边长为， 则，， ∵， ， ． 即：． 解得：． ∴正方形的边长为． ∴， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，，，点，，分别是线段，，上的任意一点，连接、，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及菱形性质的运用．作点关于的对称点，则在上，连接，则，过作于，当，，在同一直线上且时，的最小值等于的长，求得的长即可得到的最小值． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，则在上，连接，则，过作于， 当，，在同一直线上且时，的最小值等于的长， ，， ，， ， 中，， 的长为， 的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】根据公式法解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 15. 如图，直线，直线和被、、所截，如果，，，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 16. 如图，中，，点、、分别是、、的中点，若，求的长． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质及三角形的中位线定理，掌握斜边中线等于斜边的一半是解题的关键；根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得出，再根据三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：，是的中点， ， 、分别是、的中点， 是的中位线， ． 17. 如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 【答案】 证明：∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，先证明，再结合公共角可得结论，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】略 18. 已知关于的一元二次方程，其中是的三边长，若是该方程的一个根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 是等腰三角形， 理由如下：把代入得到， ， 则， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解的定义．把代入一元二次方程得到，即可判断三角形的形状． 【详解】略 19. 如图，在△中，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：在中，平分， ，， 又， 故四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定．菱形的判定定理有：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形． 首先根据等腰三角形的三线合一定理可证且，再根据可证四边形是菱形． 【详解】略 20. 如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度． 【答案】这棵树的高度为 【解析】 【分析】利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：这棵树的高度为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键． 21. 如图，在正方形中，是正方形内一点，且．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】在正方形中，，，再结合得到是等边三角形，是等腰三角形，从而利用等边三角形各内角为及三角形内角和定理求出，从而得到． 【详解】解：在正方形中，，， ， ， 在中，，则是等边三角形， ， ， 在中，，，则； ． 【点睛】本题考查在正方形中求角度的问题，涉及正方形性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、互余概念及三角形内角和定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． 22. 下表是某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 473 954 1906 4745 发芽频率 0.940 0.955 0.946 b 0.953 0.949 （1）上表中的__________，__________； （2）任取一粒这种植物种子，它能发芽的既率的估计值是__________（精确到0.01）； （3）若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【答案】（1）191；0.954 （2）0.95 （3）10000粒 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量： （1）根据频率等于频数除以总数，进行计算即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）利用概率计算数量即可． 【小问1详解】 解：； ； 故答案为：191；0.954 【小问2详解】 由表格可知：它能发芽的概率的估计值是0.95； 【小问3详解】 粒； 答：估算需要准备10000粒种子进行发芽培育． 23. 如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A、B、C、D），每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关． （1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是　 ； （2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）用列表法或树状图列举所有可能，再利用概率公式解答即可． 【详解】（1）由题意得：王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率为， 故答案为：； （2）画出树状图如下： 所有出现的等可能性结果有12种，其中满足条件的结果有2种，则两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是． 【点睛】本题考查了求概率，较复杂的可以用列表法或树状图法，关键是求得所有可能的结果数及事件发生的结果数，后者与前者的比便是所求的概率． 24. 如图，在平行四边形中，点分别在上，且，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和判定，利用勾股定理列方程是解题的关键； （1）先证四边形是平行四边形，再结合对角线相等证明即可； （2）根据勾股定理，可得， ，即可得到方程，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ， ， ， 设， 在中，， 在中，， ， 解得：， ， ． 25. 超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，该超市为了扩大销量，对该商品采取了降价措施，经过一段时间后，发现销售单价每降低1元．平均每天可多售出2件． （1）若降价6元，则平均每天销售量为________件； （2）为尽快减少库存，要使该超市每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）32； （2）每件商品应降价20元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据在每天销售20件的基础上销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件进行求解即可； （2）设每件商品应降价x元，则每天的销售量为件，再根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，若降价6元，则平均每天销售数量为件， 故答案为：32； 【小问2详解】 解：设每件商品应降价x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， ∵要尽快减少库存， ∴， ∴每件商品应降价20元． 26. 问题提出 （1）如图①，在△中，，，点、分别在、边上，且，求证：； 问题探究 （2）如图②，在四边形中，点是边的中点，且，若， ，求线段的长； 问题解决 （3）如图③，在中，，，以为直角顶点作等腰直角三角形，点、分别在、边上，若，求的长． 【答案】 （1）证明：，， ∴， ， ∵， ， ； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用一线三等角模型，可证明； （2）如图2中，证明，推出，求出，进而求解即可； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ∵是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴， ， ， ， ，即 ， ，， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $