17.1勾股定理（第2课时）课件2023-2024学年人教版数学八年级下册

勾股定理（第2课时） 命题 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么__________． a2＋b2＝c2 如何证明呢？ 右图是我国古代证明该命题的“赵爽弦图”． 赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四．以勾股之差自相乘为中黄实．加差实，亦成弦实． 你是如何理解的？你会证明吗？ 证明 a b b a S＝a2＋b2 小正方形的面积 ＝(b－a)2 ＝ c a b c a b ＝c2 即 a2＋b2＝c2． 4 图形在经过适当分割后再另拼接成一个新的图形，分割拼接前后图形的各部分的面积之和不变． 你理解了吗？原命题是否正确？ 原命题是正确的，又因为该命题与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理．即： 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2． 6 世界上几个文明古国相继发现和研究过勾股定理，其证明方法有很多种，有兴趣的同学可以继续研究． c a b a b c 1876 年美国总统 Garfield 证明 a b c a 刘徽证明 7 例1　作 8 个全等的直角三角形（2 条直角边长分别为 a，b， 斜边长为 c），再作 3 个边长分别为 a，b，c 的正方形，把它们拼成两个正方形（如图）．你能利用这两个图形验证勾股定理吗？写出你的验证过程． 8 解：由图可知大正方形的边长为：a＋b，则面积为(a＋b)2， 由左图可得 (a＋b)2＝a2＋b2＋4× ， 由右图可得 (a＋b)2＝c2＋4× ． 根据面积相等，所以 a2 ＋ b2＝c2． 用分割拼接法证明勾股定理，其依据是“分割拼接前后图形的各部分的面积之和不变”． 例2　某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图 1，点 B 是正方形 ACDE 的边 CD 上一点，连接 AB，得到 Rt△ACB，三边分别为 a，b，c，将 △ACB 裁剪拼接至 △AEF 位置，如图 2，该同学用图 1、图 2 的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程． A C D E B a b c 图 1 A C D E B a b c b a F c 图 2 11 解：如图2，连接 BF． 在图1中，正方形 ACDE 的面积为 b2， 在图2中，∠BAC＝∠EAF，则 ∠EAF＋∠BAE＝90°， 故 △BAF为等腰直角三角形． 四边形 ABDF 的面积为： c2＋ (b－a)(a＋b) ＝ c2＋ (b2－a2)． A C D E B a b c 图 1 A C D E B a b c b a F c 图 2 A C D E B a b c 图 1 根据两图形面积相等，所以 c2＋ (b2－a2)＝b2． 化简，得 a2＋b2＝c2． A C D E B a b c b a F c 图 2 13 熟练掌握勾股定理的证明方法，一般先利用拼图，再利用面积相等．本题在利用面积相等时，关键是作辅助线，然后用含字母 c 的表达式来表示图 2 的面积． 勾股定理的证明 证明勾股定理的一般方法 “赵爽弦图”法证明勾股定理 $$