25.2求锐角三角比的值同步练习2024-2025学年沪教版（上海）九年级数学 第一学期

25.2求锐角三角比的值同步练习2024-2025学年九年级上册数学沪教版 (1) 解直角三角形(1) 要点归纳 1. 理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形. 2. 知道五个元素中的两个，其中一个元素是一条边，就可以解直角三角形. 疑难分析 例1 在Rt△ABC中,∠C =90°,由下列条件解直角三角形: (1)a =3 ,∠A =30°(结果保留根号); (2)c= 23.7,a = 20.2(保留四位有效数字). 例2 如图25-5,在Rt△ABC中,∠C=90°, BC=3,AC=4,以B为圆心、4为半径作圆弧交 AC 边于点 F,交 AB 于点E,连接CE,求∠ACE 的正切值. 基础训练 1. 在 Rt△ABC中,∠ 2. 在 Rt△ABC中,∠C= 90°,∠B = 60°, AC = ,则BC = . 3. 在△ABC中, AC: BC : AB = 1: :2,,则∠A = . 4. 在△ABC中,AB = AC, BC = 6,△ABC 面积为12,腰长 AB = . 5. 如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC 于点E, 则这个菱形的面积是 . 6. 如图,在Rt△ABC中,∠C =90°, D为BC 上一点,∠DAC = 30°, BD =2,AB = , 则 AC的长是( ). C. 3 7. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB =90°,CD⊥AB,D为垂足.若AC =4, BC = 3,则sin∠ACD 的值为( ). A. B. C. D. 8. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD绕着点B 旋转后，点D 落在CB的延长线上的 D'处,则 tan∠BAD'等于( ). A. 1 9. 已知在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是 的对边，解下列直角三角形： (3) 斜边上中线 10. 如图，已知在 中， ,延长CA至点D,使. 求： (1)∠D 及 (2) tan D 及 (3) 请用类似的方法，求 11. 如图,在 中，已知 ,求AC, BC的长. 12. 如图,已知在四边形 ABCD 中,∠A = 45°,∠C = 90°, ∠ABD = 75°,∠DBC =30°, AB = 2a. 求 BC 的长. 拓展训练 13. 如图,在 Rt△ABC中, 点 D 在边BC上,且. DC = 6,求∠BAD的正切值. (2) 解直角三角形(2) 要点归纳 1. 学习添加辅助线，构造直角三角形. 2. 综合运用锐角三角比解三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力. 疑难分析 例1 如图25-6,在△ABC中,AB = AC, BD ⊥AC, D 为垂足,且: ，求 的值. 例2 如图25-7,在四边形ABCD中,. 四边形ABCD 的面积为5 求 AD 的长. 基础训练 1. 在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且 则△ABC的面积等于 . 2. 如图,在△ABC中,∠ACB =90°,CD⊥AB 于点D, , BD = . 3. 如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于点E,设∠ADE =α,且 则AD 的长为 . 4. 在△ABC中,若. ,则 cos A = . 5. 如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6,D是AC上一点,若tan∠DBA= ,则AD 的长为 . 6. 已知在△ABC中,∠A =60°,∠B =75°,AB = ,则BC= . 7. 等腰三角形底边长为10厘米，周长为36厘米，则底角的余弦等于( ). A. D. 8. 菱形的边长为4，有一个内角为40°，则较短的对角线是( ). A. 4sin 40° B. 4sin 20° C. 8sin20° D. 8cos20° 9. 如图,在△ABC中,∠A=30°, E为AC上一点,且AE:EC=3: 1, EF ⊥AB 于点 F,连接 FC,则 cot∠CFB =( ). 10. 已知在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是 的对边，解下列直角三角形： 的平分线 11. Rt△ABC的两条边分别是6 和8，求其最小角的正弦值. 拓展训练 12. 如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=2,AB=4,∠ACD =∠B. 求 13. 如图,在Rt△ABC中,∠C =90°,AD 是边BC 上的中线. (1) 若 ,求AD 的长; (2)若∠ABC =α,∠ADC =β,求证: tanβ= 2tanα. (3) 仰角 俯角 要点归纳 1. 铅垂线：重力线方向的直线；水平线：与铅垂线垂直的直线；一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线. 2. 仰角：向上看时，视线与水平线的夹角；俯角：向下看时，视线与水平线的夹角，如图25-8所示. 疑难分析 例1 如图25-9，湖泊的中央有一建筑物AB(∠B =90°)，某人在地面C处测得其顶点A 的仰角为60°，然后自C处沿BC 方向行 100米至点 D，又测得其顶部A 的仰角为30°,求建筑物AB的高. 例2 如图25-10，已知缆车行驶线与水平线间的夹角小明乘缆车上山,从A到B,再从B到D 都走了200米(即AB = BD = 200米),请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离.(计算结果保留整数，以下数据供选用： 0.6820, tan47°≈1.0724) 基础训练 1. 如图,∠C=∠DEB=90°, FB ∥AC,从A看D的仰角是 ;从B看D的俯角是 ;从A看B的 角是 ;从D看B的 角是 . 2. 如图,∠ACB = 90°,若∠BAC =α, AC = a,则 3. 升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼.当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°.若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为 米.(用含根号的式子表示) 4. 某飞机在离地面1 200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是 米. 5. 如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆 BC的高度，他发现绳子刚好比旗杆长11米，若把绳子往外拉直，绳子接触地面点 A 并与地面形成30°角时，绳子末端D距点A 还有 1米，那么旗杆 BC 的高度为 . 6. 身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为 300米、250米、200米，线与地面所成的角度分别为 (假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝( ). A. 甲的最高 B. 乙的最低 C. 丙的最低 D. 乙的最高 7. 如图，两建筑物的水平距离为a米，从点 A 测得点 D 的俯角为α，测得点C的俯角为β，则较低建筑物CD的高为( ). A. a米 B.(a·tanα)米 米 D. a(tanα—tanβ)米 8. 如图，已知楼房AB高50米，铁塔塔基距楼房房基间的水平距离 BD = 50米,塔高 DC 为 米，下列结论中，正确的是( ). A. 由楼顶望塔顶仰角为60° B. 由楼顶望塔基俯角为60° C. 由楼顶望塔顶仰角为30° D. 由楼顶望塔基俯角为 30° 9. 如图，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边 C，D处分别用测角仪器测得顶部A 的仰角为 30°, 45°,已知CD = 30米,求铁塔的高.(结果保留根号) 10. 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A，B两处测得点 D 和点C 的仰角分别为和 ，且A，B，E三点在一条直线上，若. 米，求这块广告牌的高度.(取 计算结果保留整数) 11. 如图，某人在建筑物AB的顶部测得一烟囱CD 的顶端C 的仰角为测得点 C 在湖中的倒影C₁ 的俯角为60°.已知 米，求烟囱CD的高. 拓展训练 12. 某城市规划期间，欲拆除河岸边的一根电线杆AB(如图)，已知距电线杆 AB 水平距离14米处是河岸，即BD =14米，该河岸的坡面CD的坡角. 的正切值为2，岸高CF 为2米，在坡顶C处测得杆顶A 的仰角为3 D，E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将此人行道封上?(在地面上以点 B为圆心，以AB 为半径的圆形区域为危险区域) (4) 方 向 角 要点归纳 1. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的角叫做方向角. 2. 如图25-11,北偏东30°,北偏西 70°,南偏东50°,南偏西45°. 疑难分析 例1 如图25-12，A，B为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点.景点B 在景点C 的正东方向，从景点A看，景点 B在北偏东75°方向，景点C在北偏东30°方向.一游客自景点A驾船以20米/分的速度行驶了10分到达景点C，之后又以同样的速度驶向景点 B，该游客从景点 C 到景点 B 需用多长时间 ，精确到1分)? 基础训练 1. 小明同学在东西方向的沿江大道A 处，测得江中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A处正东 400米的B处，测得江中灯塔 P 在北偏东 30°方向上，则灯塔P 到沿江大道的距离为 米. 2. A港在B 地的正南10 千米处，一艘轮船由A 港开出向西航行，某人第一次在B处望见该船在南偏西30°，半小时后，又望见该船在南偏西60°，则该船速度为 . 3. 如图，小明从A 地沿北偏东 30°方向走 米到B地，再从 B地向正南方向走 200米到C地，此时小明离A地 米. 4. 如图，机器人从点 A 沿着西南方向，行了4 个单位，到达点 B后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来点 A 的坐标为 .(结果保留根号) 5. 一船在海上点 B 处沿南偏东 10°方向航行到点 C 处，这时在小岛A 测得点C 在南偏西80°方向,则∠ACB= . 6. 在位于O处某海防哨所的北偏东 60°相距6海里的A 处，有一艘快艇正向正南方向航行，经过一段时间快艇到达哨所东南方向的B处，则A，B间的距离是 海里.(精确到0.1海里， 7. 如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A，C两地相距( ). A. 30海里 B. 40海里 C. 50海里 D. 60海里 8. 如果由点 A测得点B 在北偏东 15°的方向，则由点 B 测点A 的方向为( ). A. 北偏东 15° B. 北偏西 75° C. 南偏西15° D. 南偏东75° 9. 如图，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M在北偏东60°的方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B处，在B 处看见灯塔M在北偏东 15°的方向，此时灯塔M与渔船的距离是( ). A. 14海里 B. 14 海里 C. 7海里 海里 10. 如图，某船以36海里/时的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点 B，测得该岛在北偏东 30°方向上，已知该岛周围16 海里内有暗礁. (1) 试说明点 B 是否在暗礁区域外? (2) 若继续向东航行有无触礁危险? 请说明理由. 注:1海里=1852米. 11. 如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C.经测量，花卉世界D位于点A 的北偏东 方向、点B的北偏东 30°方向上, AB = 2千米, (1) 求B,D之间的距离; (2)求C,D之间的距离. 拓展训练 12. 如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从 A 处起飞，一会儿便飞抵C 处，此时，在AQ延长线上B 处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆 PQ的顶点 P 在同一直线上. (1)已知旗杆高为10米，若在 B处测得旗杆顶点P 的仰角为 30°，A处测得点 P 的仰角为45°，试求A，B之间的距离； (2)此时，在A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°.若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多长? (结果可保留根号) (5) 坡度 坡比 坡角 要点归纳 1. 坡角：坡面与水平面的夹角. 2. 坡度：坡的铅垂高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度(坡比). 3. 一般情况下，我们用h表示坡的铅垂高度，用l表示水平宽度，用i 表示坡度(图 25-13)，即 疑难分析 例 如图25-14，一水库大坝横断面是梯形 ABCD，坝顶宽6米，坝高是23米，斜坡AB的坡度iAB = 1: 3,斜坡CD 的坡度tiCD = 1: 2.5. (1) 求斜坡AB 与坝底AD 的长度; (2) 求斜坡 CD 的坡角α(精确到 1°); (3) 若要把坝宽增加3米，同时背水坡AB 的坡度iAB由原来的 1: 3 变为1：5，请求出大坝横断面的面积增加了多少平方米. 基础训练 1. 如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i= .坡面与水平面的夹角叫做 ,记作α,有i= . 2. 某人沿坡度为3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高 米. 3. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2 米，则这个坡面的坡度为 . 4. 某人从地面沿着坡度 的山坡走了100米，这时他离地面的高度是 . 5. 如图，燕尾槽的横断面中，槽口的形状是等腰梯形，其外口宽AD = 15毫米，槽的深度为12毫米，∠B的正切值为 ，则它的里口宽BC = . 6. 某铁路路基的横断面是等腰梯形，其上底为 10米，下底为 13.6米，高1.2米，则腰面坡角的正切值为 . 7. 如图，梯形护坡石坝的斜坡 AB的坡度是i =1：3，坝高 BC为2米,则斜坡AB 的长( ). A. 2 米 C. 4 D. 6米 8. 一段公路的坡度为1：3，某人沿这段公路路面前进100米，则他上升的最大高度是( ). A. 30米 B. 10米 米 米 9. 如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2米，则两树间的坡面距离 AB为( ). A. 4米 B. 米 D. 4 10. 河堤横断面是梯形，上底为4米，堤高为6米，斜坡AD的坡角的正切值为 ，斜坡CB 的坡角为45°，则河堤横断面的面积为( ). A. 96平方米 B. 48平方米 C. 192平方米 D. 84平方米 11. 如图，一个大坝的横断面是一个梯形 ABCD，其中坝顶. 米，经测量背水坡AD = 20米,坝高10米,迎水坡 BC 的坡度: ，求迎水坡BC的坡角. 的余切值和坝底宽 CD. 12. 如图，某村开挖一条长为1600米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡度为1：1.求一共挖土多少立方米. 拓展训练 13. 如图，某堤坝的横截面是梯形 ABCD，背水坡AD 的坡度i 为1：1.2，坝高为5米.现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD 加宽1米，形成新的背水坡EF，其坡度为1：1.4，已知堤坝总长度为4000米. (1) 求完成该工程需要多少立方米的土? (2)该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成.按原计划需要20天.准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成.问这两个工程队原计划每天各完成多少立方米? 学科网（北京）股份有限公司 $$