5.5.2 简单的三角恒等变换 课件-2024～2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.2 简单的三角恒等变换 作者编号：32101 学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，以及进行简单的应用．2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用． 作者编号：32101 复习回顾 三角函数的(差)角公式、二倍角公式： 作者编号：32101 新课讲授 学习了和 （ 差 ） 角公式 、 二倍角公式以后 ， 我们就有了进行三角恒等变换的新工具 ，从而使三角恒等变换的内容 、 思路和方法更加丰富 ． 试以表示 解：是的二倍角.在倍角公式中， 以代替，以代替，得： ∴① 在倍角公式中， 以代替，以代替，得： ∴② ∴将①②两个等式的左右两边分别相除，得： 作者编号：32101 上述问题的结果还可以表示为： 并称之为半角公式，符号由所在象限决定. 因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式.这是三角恒等变换的一个重要特点. 作者编号：32101 解： 作者编号：32101 作者编号：32101 例2 求证： 证明(证法一)： ① 设那么 把的值代入①，即得 . 作者编号：32101 例2 求证： (证法二)：∵ ∴ 作者编号：32101 练2.求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值. 　解：原式 作者编号：32101 例3 求下列函数的周期，最大值和最小值： (1)(2) 解：(1) 因此，所求周期为最大值为，最小值为. 作者编号：32101 (2) (2)设 则 于是 所以所以 取则 由可知，所求周期为最大值为，最小值为. 作者编号：32101 　一般地，对于y＝asin x＋bcos x，你能对它进行合并吗？ 第三步：化简、逆用公式得asin x＋bcos x 作者编号：32101 概念讲解 辅助角公式 作者编号：32101 例4 将下列各式化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式: (2)y=cos 2x(sin 2x+cos 2x); 作者编号：32101 (2)y=cos 2x(sin 2x+cos 2x); 作者编号：32101 作者编号：32101 课堂总结 1.半角公式： 2.辅助角公式： 作者编号：32101 当堂检测 D C 作者编号：32101 当堂检测 D ( ) ( ) D 作者编号：32101 ∴sin ＝＝， cos ＝－＝－， tan ＝＝－2. ∵π<α<，sin α＝－， 例1 已知sin α＝－，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值. ∴cos α＝－，且<<， 练1.已知<θ<3π,且sin θ=,求sin ,cos ,tan ,cos 的值. 解：因为<θ<3π,且sin θ=,所以cos θ=-=-. 又,故sin =-=-=-, cos =-=-=-,tan . 又因为,所以cos =-=-=-. ＝＋(－2sin 70°sin 30°＋sin 70°) ＝＋(－sin 70°＋sin 70°)＝. ＝(1－cos 40°)＋(1＋cos 100°)＋[sin 70°＋sin(－30°)] ＝＋(cos 100°－cos 40°＋sin 70°) 第二步：定角度，确定一个角φ满足cos φ＝，sin φ＝， 得到(cos φsin x＋sin φcos x)； ＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝. 第一步：提常数，提出， 得到(sin x+cos x)； y＝asin x＋bcos x＝sin(x+).(其中tan =) 解：(1)y=3sin x-cos x=2 =2 =2sin. (1)y=3sin x-cos x; (3)y=sin+sin . (2)y=cos 2x(sin 2x+cos 2x)=sin 2xcos 2x+cos22x =sin 4x+sin 4x+cos 4x+ = = =sin. (3)y=sin+sin . (3)y=sin+sin . (3)y=sin+sin =sin cos +cos sin +sin sin cos =sin. 2.已知sin α=,cos α=,则tan等于(　　) A.2- B.2+ C.-2 D.±(-2) 1.设5π<θ<6π,cos =a,则sin 等于(　　) A. B. C.- D.- 3.若sin α－cos α＝，则cos等于 A. B.－ C. D.－ 4.函数f(x)＝sin x＋cos x的一个对称中心是 A. B. C. D. $$