5.5.1 课时1 两角差的余弦公式 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.1 课时1 两角差的余弦公式 作者编号：32101 学习目标 1.体会推导两角差的余弦公式过程. 2.掌握两角差的余弦公式. 3.能利用两角差的余弦公式解决相关的问题. 作者编号：32101 新课讲授 前面我们学习了使用诱导公式对三角函数式进行化简，那么当其不是任意角α与特殊角的和差，而是任意角α与任意角β的和差的时候，你能否由任意角α，β的正弦、余弦，推出α+β，α-β的正弦、余弦呢？ 例如：cos15°=？ cos15 ° = cos(45 °-30 °) 那么接下来，我们应当如何展开这个式子呢？ 作者编号：32101 下面我们一起来探究一下如何利用α，β的正、余弦值表示cos(α-β). 设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α-β这三个角，且α，β终边不重合. 连接AP，A1P1，由弧长相等，容易发现AP＝A1P1. α 问题1:已知角α的终边与单位圆的交点为P1，请写出点P1的坐标. P1 A1 A (1,0) P β α-β α-β 问题2:已知角β的终边与单位圆的交点为A1，请写出点A1的坐标. (cos α,sin α). (cos β,sin β). 问题3:已知角α-β的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标. (cos (α-β),sin (α-β)). 作者编号：32101 由AP＝A1P1，得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β) ＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2， O x y P1 A1 A P 角α-β终边 角β终边 角α终边 α-β α-β (cosα,sinα) (cosβ,sinβ) (cos(α-β),sin(α-β)) cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ 作者编号：32101 思考：当角α，β终边重合，即α=β+2kπ,k∈Z时，此公式是否成立？ cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ 证明过程：此时，左式=cos2kπ=1 右式=cos2β+sin2β=1 左式=右式 所以，等式成立. 作者编号：32101 两角差的余弦公式 cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ 对于任意角α，β有 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与cos(α-β)之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α-β). 记法：余余正正符号异 注意 (1)该公式对任意角都能成立. (2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和. (3)公式的逆用仍然成立. 作者编号：32101 例1 利用公式证明. (1); (2). 证明：(1) (2) 作者编号：32101 例2 已知是第三象限角，求的值. 解：由，得： 又，是第三象限角得： 所以. 作者编号：32101 练1.cos 20°等于( ) A.cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10° B.cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10° C.sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30° D.sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30° B B 作者编号：32101 ∵β＝α－(α－β)，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 作者编号：32101 作者编号：32101 课堂总结 回顾本节课，回答下列问题： 两角差的余弦公式 作者编号：32101 当堂检测 1.cos 15°cos 45°+sin 15°sin 45°=(　　) B ( ) B 作者编号：32101 当堂检测 B 作者编号：32101 cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝. 练2.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为( ) A.－ B. C.－ D. sin α＝＝＝. 由0<β<α<，得0<α－β<. 又∵cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝＝＝. ＝×＋×＝. ∵0<β<，∴β＝. 例3 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值. 解：由cos α＝，0<α<，得 练3.已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈,α+β∈,求角β的值. 解：由α-β∈,且cos(α-β)=-,得sin(α-β)=. 由α+β∈,且cos(α+β)=,得sin(α+β)=-. ∴cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =×+×=-1. 又α+β∈,α-β∈,∴2β∈. ∴2β=π,则β=. 2.已知sin α＝，α∈，则cos等于 A. B. C.－ D.－ A. B. C.- D.- 3.已知sin α-sin β=1-,cos α-cos β=,则cos(α-β)的值为(　　) A. B. C. D.1 $$