空间向量与立体几何学案-2025届高三数学一轮复习

空间向量与立体几何导学案 空间向量与立体几何导学案 一、知识链接 1．空间向量的相关概念 两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量 a与 b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. 2. 空间向量的数量积 非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|·cos 〈a，b〉． 3.空间向量的坐标运算 4.常用结论 (1)在平面中，A，B，C三点共线的充要条件是 (其中)，O为直线AB外任意一点． (2)在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是 (其中)，A，B，C三点不共线，O为平面ABC外任意一点． 二、独立预习 1．设，是空间直线上的点 （1）求直线的一个方向向量. （2）求直线的单位方向向量 2. 已知 求平面的一个单位法向量的坐标. 三、探索研究 1. 直线l外一点P到直线l的距离 2．平面α外一点P到平面α的距离 3．异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝. 4．直线和平面所成的角 5.二面角 6．两平面的夹角 (1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角． (2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|. 4、 典例讲解 1.已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝为l的一个单位方向向量，则点P(4，3，2)到l的距离为 2.已知，，，求原点到平面的距离. 3.已知平面ABC的一个法向量为n＝(1，2，1)，向量＝，则点F到平面ABC的距离为 4. (2022新高考I卷)如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 5. (2023全国甲卷理科)如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1． （1）证明：； （2）已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值． 6. (2023新高考I卷)如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 五、反馈总结 第1页（共4页） 第2页（共4页） 没有笨的，只有不努力的 学科网（北京）股份有限公司 $$