江苏省无锡市宜兴市2024-2025学年九年级上学期数学期中考试模拟卷二

2024秋学期期中模拟试卷二 九年级数学 完成时间：120分钟 试卷总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1．下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 3．下列线段中，成比例的是（　　） A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cm C．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm 4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF//AB交BC于点F．若AB=4，则EF的长为（    ） A． B．1 C． D．2 5．如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 (第4题) (第5题) (第6题) (第8题) 6．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）   A． B． C． D． 7．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 8．如图，点E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（　　） A． B．3 C． D．4 9．如图，在中，，AB=4，，是边上的高．点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且．设，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C． D． 10．如图，四边形内接于，，，AB+AD=2，则的半径是（    ） A． B． C． D． (第9题) (第10题) (第12题) (第13题) 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分．） 11．已知方程的一个根为，则方程的另一个根为　 　． 12．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是　 　．（写出一种情况即可） 13．如图，一块面积为60的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB:B=2:3，则△A1B1C1的面积是　 　． 14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝　 　． 15．已知，则的值为 ． 16．如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是 ．    (第14题) (第16题) (第17题) (第18题) 17．如图， AB是的直径，AB=2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 18．如图，已知两条平行线l1、l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，点C、D分别是l1，l2上的动点，且满足AC＝BD，连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，则当 ∠BAH最大时，的值为 　　． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．） 19.（本题满分8分）解下列方程： （1） （2） 20．（本题满分8分）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 21．（本题满分8分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的 坐标是　 　； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是　 　； （画出图形） （3）△A2B2C2的面积是　 　平方单位． 22．（本题满分10分）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点， 第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1) 探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，那么，前行的点数之和为______． (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 23（本题满分10分）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 24．（本题满分10分）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 25．（本题满分10分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于点 A（，a）．将正比例函数图象向下平移n（n＞0）个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点 B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE：CE ＝3：2，过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接CG． （1）求反比例函数的表达式； （2）求n的值及△BCG的面积． 26．（本题满分10分）如图，是的直径，点，在上，平分. (1)求证：； (2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 27．（本题满分10分）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在△ABC中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断△AEB的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，△ABC是直角三角形，，平面内一点，满足AD=AC，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 28．（本题满分12分）问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．      学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024 秋学期期中模拟试卷二 九年级数学 完成时间：120 分钟 试卷总分：150 分 一．选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．） 1．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A． ( ) 2 2 1x − = − B． ( ) 2 2 0x − = C． ( ) 2 2 1x − = D． ( ) 2 2 2x − = 2．若关于 x 的一元二次方程 ( ) 2 22 4 0a x x a+ + + − = 的一个根是 0x = ，则a 的值为（ ） A．2 B． 2− C．2 或 2− D． 1 2 3．下列线段中，成比例的是（ ） A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cm C．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm 4．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 为 OC 的中点， EF//AB 交 BC 于点 F．若 AB=4，则 EF 的长为（ ） A． 1 2 B．1 C． 4 3 D．2 5．如图， O 中，弦 AB的长为4 3，点C 在 O 上，OC AB⊥ ， 30ABC = ． O 所在 的平面内有一点 P ，若 5OP = ，则点 P 与 O 的位置关系是（ ） A．点 P 在 O 上 B．点 P 在 O 内 C．点 P 在 O 外 D．无法确定 (第 4 题) (第 5 题) (第 6 题) (第 8 题) 6．如图，四边形 ABCD是 O 的内接四边形， AB是 O 的直径，若 20BEC = ，则 ADC 的度数为（ ） A．100 B．110 C．120 D．130 7．一种药品原价每盒 48 元，经过两次降价后每盒 27 元，两次降价的百分率相同，则每 次降价的百分率为（ ） A．20% B．22% C．25% D．28% 8．如图，点 E 为▱ABCD 的对角线 AC 上一点，AC＝5，CE＝1，连接 DE 并延长至点 F， 使得 EF＝DE，连接 BF，则 BF 为（ ） A． 5 2 B．3 C． 7 2 D．4 9．如图，在Rt ABC△ 中， 90ABC = ，AB=4， 2BC = ，BD是边 AC 上的高．点 E，F 分别在边 AB，BC 上（不与端点重合），且DE DF⊥ ．设 AE x= ，四边形 DEBF 的面积 为 y，则 y 关于 x 的函数图象为（ ） A． B． C． D． 10．如图，四边形 ABCD内接于 O ， 60ABC = ， 45BAC CAD = = ，AB+AD=2， 则 O 的半径是（ ） A． 6 3 B． 2 2 3 C． 3 2 D． 2 2 (第 9 题) (第 10 题) (第 12 题) (第 13 题) 一．填空题（本大题共 8 小题，每题 3 分，共 24 分．） 11．已知方程 2 2 0x x k− + = 的一个根为 2− ，则方程的另一个根为 ． 12．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上．添加一个条件使△ADE∽△ACB， 则这个条件可以是 ．（写出一种情况即可） 13．如图，一块面积为 60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源 O 的照射下形成的投影是△A1B1C1，若 OB:B𝐵1=2:3，则△A1B1C1 的面积是 cm 2． 14．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若 OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝ ． 15．已知 2 2 20 3 3 0y x x y x− = − + − =， ，则 x 的值为 ． 16．如图，正五边形 ABCDE 的边长为 4，则这个正五边形的对角线 AC 的长是 ． (第 14 题) (第 16 题) (第 17 题) (第 18 题) 17．如图， AB 是 O 的直径，AB=2，点 C 在线段 AB 上运动，过点 C 的弦 DE⊥AB，将 DBE 沿DE 翻折交直线 AB于点 F，当DE 的长为正整数时，线段FB的长为 ． 18．如图，已知两条平行线 l1、l2，点 A 是 l1 上的定点，AB⊥l2 于点 B，点 C、D 分别是 l1， l2 上的动点，且满足 AC＝BD，连接 CD 交线段 AB 于点 E，BH⊥CD 于点 H，则当 ∠BAH 最大时， 𝐴𝐻 𝐴𝐵 的值为 ． 二．解答题（本大题共 10 小题，共 96 分．） 19.（本题满分 8 分）解下列方程： （1） 0422 =−− xx （2） 1)13 −=− xxx（ 20．（本题满分 8 分）关于 x 的方程 2 2 4 0x x m− + − = 有两个不等的实数根． (1)求m 的取值范围； (2)化简： 21 1 3 | 3 | 2 1 m m m m m − − −   − + ． 21．（本题满分 8 分）已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A（0，3）、 B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）△ABC 向下平移 4 个单位长度得到的△A1B1C1，点 C1的 坐标是 ； （2）以点 B 为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且位似比为 2：1，点 C2的坐标是 ； （画出图形） （3）△A2B2C2的面积是 平方单位． 22．（本题满分 10 分）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有 1 个点， 第二行有 2 个点……第n 行有n 个点…… 容易发现，三角点阵中前 4 行的点数之和为 10． (1) 探索：三角点阵中前 8 行的点数之和为_____，那么，前n 行的 点数之和为______． (2)体验：三角点阵中前n 行的点数之和______（填“能”或“不能”）为 500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用 420 盆同样规格的花， 按照第一排 2 盆，第二排 4 盆，第三排 6 盆……第n 排2n盆的规律摆放而成，则一 共能摆放多少排？ 23（本题满分 10 分）每年 5 月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残， 共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每 辆轮椅盈利 200 元时，每天可售出 60 辆；单价每降低 10 元，每天可多售出 4 辆．公司 决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于 180 元．设每辆轮椅降价 x 元，每天的销售利润为 y 元． （1）求 y 与 x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润 为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润 12160 元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 24．（本题满分 10 分）如图， BE 是 O 的直径，点A 在 O 上，点C 在 BE 的延长线上， EAC ABC = ， AD平分 BAE 交 O 于点D，连结DE ． (1)求证：CA是 O 的切线； (2)当 8, 4AC CE= = 时，求DE 的长． 25．（本题满分 10 分）如图，正比例函数 y＝x 与反比例函数 y＝ 𝑘 𝑥 的图象交于点 A（√6，a）．将正比例函数图象向下平移 n（n＞0）个单位后，与反比例函数图象在第 一、三象限交于点 B，C，与 x 轴，y 轴交于点 D，E，且满足 BE：CE ＝3：2，过点 B 作 BF⊥x 轴，垂足为点 F，G 为 x 轴上一点，直线 BC 与 BG 关于直线 BF 成轴对称，连接 CG． （1）求反比例函数的表达式； （2）求 n 的值及△BCG 的面积． 26．（本题满分 10 分）如图， AB是 O 的直径，点C ，D在 O 上，OD平分 AOC . (1)求证：OD BC∥ ； (2)延长DO交 O 于点E，连接CE交OB 于点F ，过点 B 作 O 的切线交DE 的延长 线于点 P .若 5 6 OF BF = ， 1PE = ，求 O 半径的长. 27．（本题满分 10 分）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似 进行了深入研究． （一）拓展探究 如图 1，在△ABC 中， 90 ,ACB CD AB =  ⊥ ，垂足为D． （1）兴趣小组的同学得出 2AC AD AB=  ．理由如下： 90ACB =  90A B + =  CD AB⊥ 90ADC =  90A ACD + =  B =①______ A A =  ABC ACD ∽ AB AC  =②______ 2AC AD AB =  请完成填空：①______；②______； （2）如图 2，F 为线段CD上一点，连接 AF 并延长至点E，连接CE，当 ACE AFC = 时，请判断△AEB 的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图 3，△ABC 是直角三角形， 90 , 2, 2 6ACB AC BC =  = = ，平面内一点D， 满足 AD=AC，连接CD并延长至点E，且 CEB CBD = ，当线段 BE 的长度取 得最小值时，求线段CE的长． 28．（本题满分 12 分）问题背景：如图（1），在矩形 ABCD中，点E，F 分别是 AB，BC 的中点，连接 BD，EF，求证： BCD FBE∽△ △ ． 问题探究：如图（2），在四边形 ABCD中， AD BC∥ ， 90BCD = ，点E是 AB的 中点，点F 在边BC上， 2AD CF= ，EF 与BD交于点G ，求证：BG FG= ． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接 AG， AD CD= ， AG FG= ， 直接写出 EG GF 的值． 2024秋学期期中模拟试卷（九年级数学）参考答案及评分标准 完成时间：120分钟 试卷总分：150分 1． 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1.B 2.A 3.D 4. B 5.C 6.B 7. C 8. B 9. A 10. A 2． 填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分．） 11. 4 ； 12. ∠ADE＝∠C（答案不唯一）； 13. 375 ； 14. 40°； 15. 3 ； 16. ； 17. 或或2 ； 18. ． 3． 解答题（本大题共10小题，共96分．） 19.（本题满分8分）（1）, （2）, 20．（本题满分8分） (1) （4分）(2) （8分） 21．（本题满分10分）（1）（2，-2）（2分）；（2）（1,0）图略 （6分）；（3）10（8分） 22．（本题满分10分）（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为，(1分) 那么，前行的点数之和为；…………………………(3分) （2）解：不能，理由如下： 由题意得，得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500；…………………………(5分) （3）解：同理，前行的点数之和为， 由题意得，得，即， 解得或（舍去），∴一共能摆放20排．…………………………(10分) 23.（本题满分10分）解：（1）y＝（200﹣x）（60+4×） ＝﹣0.4x2+20x+12000． ＝﹣0.4（x2﹣50x+625）+12250 ＝﹣0.4（x﹣25）2+12250． ∵200﹣x≥180， ∴x≤20． ∴当x＝20时，利润最大，最大利润为：﹣0.4（20﹣25）2+12250＝12240（元）． 答：y与x的函数关系式为：y＝﹣0.4x2+20x+12000；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元； …………………………………………………… (5分) （2）12160＝﹣0.4（x﹣25）2+12250 0.4（x﹣25）2＝12250﹣12160 0.4（x﹣25）2＝90 （x﹣25）2＝225． 解得：x1＝40（不合题意，舍去），x2＝10． ∴售出轮椅的辆数为：60+4×＝64（辆）． 答：售出64辆轮椅． …………………………………………………… (10分) 24．（本题满分10分）（1）证明：连接， 是的直径， ，，，，， ，，，是的半径，是的切线；…………………………(5分) （2）解：，，，，，，，连接，平分，∠EAD=∠BAD，，是的直径，， ．…………………………(10分) 25．（本题满分10分）解：（1）∵点A（，a）在直线y＝x的图象上， ∴A（，）， ∵点A（，）在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝6，∴反比例函数解析式为y＝； ………………………… (3分) （2）正比例函数向下平移n个单位后得到直线BC的解析式为y＝x﹣n． 如图，作BG⊥y轴，CH⊥y轴， ∴BG∥CH， ∴△GBE∽△HCE，∵BE：CE＝3：2，∴， 设点B（3a，），则C（﹣2a，）， ∵点BC在直线y＝x+n的图象上， ，解得， ………………………… (7分) ∴直线BC解析式为y＝x+1， ∵直线BC与BG关于直线BF成轴对称， ∴E（0，﹣1），D（1，0），B（3，2），G（5，0），C（﹣2，﹣3），∴GD＝4， ∴S△BCG＝S△BDG+S△CDG＝＝10． …………………………(10分) 26．（本题满分10分）（1）根据题意，得， ∵，∴，∴，∵平分， ∴，∴，∴； ………………………… (5分) （2）∵，， 不妨设，则， ∴，∵，∴，， ∴，∴，解得，取的中点M，连接， 则∵，∴，∴， ∴，∵是的切线，∴， ∴，解得， 故半径的长为. …………………………(10分)   27．（本题满分10分）解：（1），，， ，，，， ，，；…………………………(2分) （2）是直角三角形；理由如下： ，，， 由（1）得，，， ，，， 是直角三角形． ………………………… (6分) （3），，， ， 如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，则，∵为的直径，∴， ，∴， ，，， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短，∴当点E在点处时，最小，即的最小值为的长， ∵，∴四边形是矩形，∴，在中根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为．…………………………(10分) 28．（本题满分12分） 问题背景：∵四边形是矩形，∴， ∵，分别是，的中点∴，即， ∴；…………………………（4分） 问题探究：如图所示，取的中点，连接，   ∵是的中点，是的中点，∴，又∵，∴，∵， ∴∴四边形是平行四边形，∴∴ 又∵，是的中点，∴ ∴∴，∴；…………………………（9分） 问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接， ∵，∴，设，则，在中，，∵，由（2）∴，又∵是的中点，∴垂直平分∴，，在中， ∴设，则 ∴，又∵∴ ∴又∵∴ ∴．…………………………（12分） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024 秋学期期中模拟试卷（九年级数学）参考答案及评分标准 完成时间：120 分钟 试卷总分：150 分 一．选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．） 1.B 2.A 3.D 4. B 5.C 6.B 7. C 8. B 9. A 10. A 二．填空题（本大题共 8 小题，每题 3 分，共 24 分．） 11. 4 ； 12. ∠ADE＝∠C（答案不唯一）； 13. 375 ； 14. 40°； 15. 3 ； 16. 2 5 2+ ； 17. 2 3− 或2 3+ 或 2 ； 18. √2 2 ． 三．解答题（本大题共 10 小题，共 96 分．） 19.（本题满分 8 分）（1）𝑥1 = 1 − √5, 𝑥2 = 1 + √5 （2）𝑥1 = 1, 𝑥2 = 1 3 20．（本题满分 8 分） (1) 3m  （4 分）(2) 2− （8 分） 21．（本题满分 10 分）（1）（2，-2）（2 分）；（2）（1,0）图略 （6 分）；（3）10（8 分） 22．（本题满分 10 分）（1）解：三角点阵中前 8 行的点数之和为 ( ) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 8 8 36 2 + + + + + + + = +  = ，(1 分) 那么，前 n 行的点数之和为 ( ) ( ) 1 1 1 2 3 1 1 2 2 n n n n n+ + + + = +  = + ；…………………………(3 分) （2）解：不能，理由如下： 由题意得 ( ) 1 1 500 2 n n+ = ，得 2 1000 0n n+ − = ， ( )21 4 1000 4001 = −  − = ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前 n行的点数和不能是 500；…………………………(5 分) （3）解：同理，前n 行的点数之和为 ( ) ( ) 1 2 4 6 2 2 1 1 2 n n n n n+ + + + =  +  = + ， 由题意得 ( )1 420n n+ = ，得 2 420 0n n+ − = ，即 ( )( )21 20 0n n+ − = ， 解得 20n = 或 21n = − （舍去），∴一共能摆放 20 排．…………………………(10 分) 23.（本题满分 10 分）解：（1）y＝（200﹣x）（60+4× ） ＝﹣0.4x2+20x+12000． ＝﹣0.4（x2﹣50x+625）+12250 ＝﹣0.4（x﹣25）2+12250． ∵200﹣x≥180， ∴x≤20． ∴当 x＝20 时，利润最大，最大利润为：﹣0.4（20﹣25）2+12250＝12240（元）． 答：y与 x的函数关系式为：y＝﹣0.4x2+20x+12000；每辆轮椅降价 20 元时，每天的销售利润最大，最大 利润为 12240 元； …………………………………………………… (5 分) （2）12160＝﹣0.4（x﹣25）2+12250 0.4（x﹣25）2＝12250﹣12160 0.4（x﹣25）2＝90 （x﹣25）2＝225． 解得：x1＝40（不合题意，舍去），x2＝10． ∴售出轮椅的辆数为：60+4× ＝64（辆）． 答：售出 64 辆轮椅． …………………………………………………… (10 分) 24．（本题满分 10 分）（1）证明：连接OA， BE 是 O 的直径， 90BAE = ， 90BAO OAE + = ， OA OB= ， ABC BAO = ， EAC ABC = ， CAE BAO = ， 90CAE OAE + = ， 90OAC = ， OA是 O 的半径， CA 是 O 的切 线；…………………………(5 分) （2）解： EAC ABC = ， C C = ， ABC EAC△ ∽△ ， AC CE BC AC  = ， 8 4 8BC  = ， 16BC = ， 12BE BC CE = − = ，连接BD， AD平分 BAE ， ∠EAD=∠BAD BD DE= ， BD DE = ， BE 是 O 的直径， 90BDE = ， 2 6 2 2 DE BD BE = = = ．…………………………(10 分) 25．（本题满分 10 分）解：（1）∵点 A（ ，a）在直线 y＝x的图象上， ∴A（ ， ）， ∵点 A（ ， ）在反比例函数 y＝ 的图象上， ∴k＝6，∴反比例函数解析式为 y＝ ； ………………………… (3 分) （2）正比例函数向下平移 n个单位后得到直线 BC的解析式为 y＝x﹣n． 如图，作 BG⊥y轴，CH⊥y轴， ∴BG∥CH， ∴△GBE∽△HCE，∵BE：CE＝3：2，∴ ， 设点 B（3a， ），则 C（﹣2a， ）， ∵点 BC在直线 y＝x+n的图象上， ，解得 ， ………………………… (7 分) ∴直线 BC解析式为 y＝x+1， ∵直线 BC与 BG关于直线 BF成轴对称， ∴E（0，﹣1），D（1，0），B（3，2），G（5，0），C（﹣2，﹣3），∴GD＝4， ∴S△BCG＝S△BDG+S△CDG＝ ＝10． …………………………(10 分) 26．（本题满分 10 分）（1）根据题意，得 AOC B C = + ， ∵OB OC= ，∴ B C = ，∴ 2AOC B =  ，∵OD 平分 AOC ， ∴ 2AOC AOD =  ，∴ B AOD = ，∴OD BC∥ ； ………………………… (5 分) （2）∵ 5 6 OF BF = ， 1PE = ， 不妨设 5 , 6OF x BF x= = ，则 11OB OF BF x OC OE= + = = = ， ∴ 11 1OP OE PE x= + = + ，∵OD BC∥ ，∴ OFE BFC∽ ， OBC POB = ， ∴ 5 6 OE OF BC BF = = ，∴ 11 5 6 x BC = ，解得 66 5 x BC = ，取BC的中点M，连接OM ， 则 33 5 x BM = ∵OB OC= ，∴OM BC⊥ ，∴ 3 cos 5 BM OBM OB  = = ， ∴ 3 cos 5 POB = ，∵ PB是 O 的切线，∴OB PB⊥ ， ∴ 3 cos 5 1 OB OB OB POB OP OE PE OB  = = = = + + ，解得 3 2 OB = ， 故 O 半径的长为 3 2 . …………………………(10 分) 27．（本题满分 10 分）解：（1） 90ACB = ， 90A B + = ， CD AB⊥ ， 90ADC = ， 90A ACD + = ， B ACD = ， A A =  ， ABC ACD ∽ ， AB AC AC AD  = ， 2AC AD AB =  ；…………………………(2 分) （2） AEB是直角三角形；理由如下： ,ACE AFC CAE FAC =  = ACF AEC△ ∽△ ， AC AE AF AC  = ， 2AC AF AE =  ， 由（1）得 2AC AD AB=  ， AF AE AD AB  =  ， AF AD AB AE  = ， FAD BAE = ， AFD ABE△ ∽△ ， 90ADF AEB = = ， AEB 是直角三角形． ………………………… (6 分) （3） ,CEB CBD ECB BCD =  = ， CEB CBD△ ∽△ ， CE CB CB CD  = ， ( ) 2 2 2 6 24CD CE CB  = = = ， 如图，以点A 为圆心，2 为半径作 A，则 ,C D都在 A上，延长CA到 0E ，使 0 6CE = ，交 A于 0D ， 连接 0E E ，则 0 4CD = ，∵ 0CD 为 A的直径，∴ 0 90CDD = ， 0 0 24CD CE CD CE  = =  ，∴ 0 0 CD CD CE CE = ， 0 0ECE D CD = ， 0 0ECE D CD ∽△△ ， 0 0 90CDD CE E = = ， 点E在过点 0E 且与 0CE 垂直的直线上运动， 过点 B 作 0BE E E ⊥ ，垂足为 E，连接CE， ∵垂线段最短，∴当点 E在点 E处时， BE 最小，即 BE 的最小值为BE的 长， ∵ 0 0 0 90CE E E CB BE E  = = = ，∴四边形 0CE E B 是矩形，∴ 0 6BE CE = = ，在 0Rt CE E△ 中根据勾股定理得： ( ) 2 22 6 6 2 15CE = + = ， 即当线段 BE 的长度取得最小值时，线段CE的长为2 15．…………………………(10 分) 28．（本题满分 12 分） 问题背景：∵四边形 ABCD是矩形，∴ 90AB CD EBF C=  = = ， ， ∵E，F 分别是 AB，BC的中点∴ 1 2 BE BF AB BC = = ，即 1 2 BE BF CD BC = = ， ∴ BCD FBE∽△ △ ；…………………………（4 分） 问题探究：如图所示，取BD的中点H ，连接 ,EH HC ， ∵E是 AB的中点，H 是BD的中点，∴ 1 2 EH AD= ，EH AD∥ 又∵ 2AD CF= ，∴EH CF= ，∵ AD BC∥ ， ∴EH FC∥ ∴四边形EHCF 是平行四边形，∴EF CH∥ ∴ GFB HCB = 又∵ 90BCD = ，H 是BD的中点，∴ 1 2 HC BD BH= = ∴ HBC HCB = ∴ GBF GFB = ，∴GB GF= ；…………………………（9 分） 问题拓展：如图所示，过点F 作FM AD⊥ ，则四边形MFCD是矩形，连接 AF ， ∵ 2AD CF CD= = ，∴ 1 2 AM MD FC AD= = = ，设 2AD a= ，则 2MF CD a= = ， AM a= 在Rt AMF 中， ( ) 22 2 5AF a a a= + = ，∵ AG FG= ，由（2）BG FG= ∴ AG BG= ，又∵E是 AB的中点，∴EF 垂直平分 AB∴ AF BF= ， 90BEG = ，在 ,AFG BFG中， AG BG GF GF FA FB =  =  = ∴ ( )SSSAFG BFG≌ 设 GBF GFB  = = ，则 GAF GFA  = = ∴ 2BGE GBF GFB  = + = ，又∵ AD BC∥ ∴ 2MAF AFB GFA GFB  = = + = ∴ MAF EGB = 又∵ 90BEG AFM = = ∴ BEG FMA∽ ∴ 5 55 EG EG AM a GF BG AF a = = = = ．…………………………（12 分）